WSTĘP

Poniższe opracowanie ma na celu oszacowanie modelu ekonometrycznego. Wykorzystane dane zostały pobrane z Internetu z głównej strony Głównego Urzędu Statystycznego. Analizą zostały objęte dwie zmienne: Produkt Krajowy Brutto przypadający na 1 mieszkańca oraz przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto . Przyjęto, iż zmienną zależną jest PKB na 1 mieszkańca, natomiast zmienną niezależną jest przeciętne miesięczne wynagrodzenie. Wykorzystane dane są danymi rocznymi, z lat 2001-2010.

Oszacowanie parametrów modelu ekonometrycznego Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK)

Ogólna postać modelu: Y= β₀ + β₁X_n+ξ_t

gdzie:

Y- Produkt Krajowy Brutto na 1 mieszkańca w zł

X- Przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto w zł

β₀,β₁ - nieznane parametry strukturalne

ξ_t - składnik losowy

t- numer obserwacji

Postać modelu po oszacowaniu MNK:

∧

Yt=(-6058,78)+12,6066X₁

_{(± 1710,05) (± 0,625886)}

Interpretacja parametrów strukturalnych

• β₀ wyraz wolny oszacowano na poziomie (-6058,78) ze średnim błędem szacunku na poziomie ± 1710,05;

• β₁ jeżeli wynagrodzenie wzrośnie o jednostkę, to PKB na jednego mieszkańca wzrośnie o 12,6066 zł ze średnim błędem szacunku ± 00,625886( ceteris paribus)

Interpretacja ogólnych miar dopasowania

• Współczynnik R² na poziomie równym 0,980662 informuje, że model empiryczny wyjaśnia 98,07% całkowitej, rzeczywistej zmienności PKB na 1 mieszkańca;

• Współczynnik determinacji skorygowany R=0,978245 różni się od współczynnika determinacji zaledwie o około 0,2417%, co w miarę dobrze wyrokuje dla sporządzanego modelu.

• Współczynnik ϕ² =1- R², wyniósł wartość 0,019338, co oznacza iż 1,93% zmienności zmiennej objaśnianej (PKB) nie zostało wyjaśnione przez model empiryczny.

• Współczynnik ϕ² równy 0 po skorygowaniu wynosi 0,021755; 2,175 % zmienności całkowitej zmiennej objaśnianej nie zostało przez dany model wyjaśnione;

• Średni błąd resztowy ϕ_ξ= 896,0583 informuje, że rzeczywiste wartości PKB na 1 mieszkańca odchylają się średnio w okresie 10 lat od wartości teoretycznych, czyli oszacowanych na podstawie modelu, o (+896,0583 zł.);

• Współczynnik zmienności losowej V=3,21064% , przeciętne odchylenie od wartości teoretycznych od empirycznych zmiennej objaśnianej stanowi 3,21 % przeciętnego poziomu tej zmiennej;

∧

Yt=(-6058,78)+12,6066X₁

Wykres przedstawia rzeczywiste wartości PKB w przeliczeniu na 1 mieszkańca oraz wartości oszacowane w modelu. Krzywe obrazujące przebieg danych rzeczywistych oraz te oszacowane modelu mają dość zbliżony przebieg. Tendencja ta, może świadczyć, że model dobrze odwzorowuje rzeczywisty poziom zmiennej objaśnionej.

Badanie istotności parametrów strukturalnych.

Aby ustalić czy zmienna objaśniająca ma statystycznie istotny wpływa na zmienną objaśnianą przeprowadzono weryfikację istotności parametru zmiennej objaśniającej. Przyjęto poziom istotności 0,05,oznaczający 5% ryzyko popełnienia błędu pierwszego rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

Badanie istotności parametrów strukturalnych polega na sprawdzeniu czy różnią się one istotnie od zera.

Liczba stopi swobody w analizowanym modelu wyniosła 8.

Hipotezy istotności

1. Badanie istotności wyrazu wolnego β₀:

H₀ : β₀ = 0 ( zmienna o wpływie statystycznie nieistotnym)

H₁ : β₀ ≠ 0 ( zmienna o wpływie statystycznie istotnym)

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że wyraz wolny β_0, nie różni się statystycznie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H₁ zakłada, że wyraz wolny β₀ różni się statystycznie istotnie od 0,przy przyjętym poziomie istotności.

Dla wyrazu wolnego β_0:

Wartość statystyki „t” dla β₀ wynosi :

│t₁│= (-3,543) < 2,306 p=0,0076 czyli p> α

Na poziomie istotności α= 0,05 nie odrzucamy hipotezy zerowej na rzecz alternatywnej. Zatem wyraz wolny β_0, nie różni się statystycznie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru β₁ mają postać:

H₀ : β₁ = 0

H₁ : β₁ ≠ 0

Wartość statystyki „t” dla β₁ wynosi :

│t₁│= 20,14 > 2,306 p=0,0000 czyli p< α.

Zatem odrzucamy hipotezę alternatywną na rzecz hipotezy zerowej, wyraz wolny β₁ statystycznie istotnie różni się od 0,przy przyjętym poziomie istotności.

Przedziały ufności

- dla parametrów strukturalnych modelu dla parametru β_0:

P (- 10002,2 ≤ β₁ ≤ -2115,39), gdzie β₀= (-6058,78)

W przedziale (-10002,2;-2115,39 z prawdopodobieństwem 0,95 znajduję się nieznana, rzeczywista wartość wyrazu wolnego β_0. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywista wartość wyrazu wolego β_0.

- dla parametrów strukturalnych modelu dla parametru β_1:

P (11,1633 ≤ β₁ ≤ 14,0499), gdzie β₁= 12,6066

W przedziale (11,1633;14,0499) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość parametru strukturalnego β_1. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną rzeczywistą wartość parametru strukturalnego β_1.

Żaden oszacowany przedział ufności nie zawiera 0, potwierdza to wnioski dotyczące istotności parametrów strukturalnych.

Badanie autokorelacji składników losowych.

Do zbadania istotności autokorelacji składników losowych, należy porównać statystykę DW z wartościami krytycznymi d1 i d2,odczytanych z tablic dla odpowiedniej liczby obserwacji T-10 i liczby zmiennych egzogenicznych k-1 oraz założonego poziomu istotności α= 0,05, oznaczającego 5% ryzyko popełnienia błędu pierwszego rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

Statystyka Durbina- Watsona wynosi: 1,189357

DWϵ (0,2) - podejrzewamy autokorelację dodatnią

H₀:ρ₁=0

H₁:ρ₁<0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada brak statystycznie istotniej autokorelacji składników losowych. Hipoteza alternatywna H₁ zakłada występowanie statystycznie istotniej dodatniej autokorelacji składników losowych.

Mamy dL< DW< dU

Stwierdza się, że statystyka DW znajduję się w obszarze niekonkluzywności. Za pomocą tego testu nie można rozstrzygnąć hipotez.

Badanie jednorodności ( heteroskedastyczność) wariancji składnika losowego za pomocą testu White'a

Przyjęty poziomi istotności α= 0,05 oznacza 5 % ryzyko popełnienia błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

H₀: E (ξ_t²)=σ_ξ² -( homoskedastyczność)

H₁: E (ξ_t²)=σ_ξ² (Ey_t)² - ( heteroskedastyczność)

Statystyka z próby odczytana z wyników testy White'a wynosi TR²=2,022375

Wartość prawdopodobieństwa empirycznego wynosi p=0,363787

Wartość krytyczna testu χ²_α(2) odczytujemy z tablic rozkładu chi- kwadrat wartość ta przy poziomie istotności α= 0,05 ma postać χ²_0,05 (2)=5,99146. Stąd spełnione są następujące zależności.

TR² < χ²_0,05 (8); p> α

Zatem nie podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H₀. Wariancja składnika losowego jest jednorodna ( składnik losowy jest homoskedastyczny).

Badanie normalności rozkładu składników losowych testu Doornika- Hansena

Przyjęty poziom istotności α= 0,05 oznacza 5% ryzyko popełnienia błędu pierwszego rzędu polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

H₀: ξ_t=N (0,σ² )

H_A: ξ_t≠N (0,σ² )

Hipoteza zerowa H_o zakłada, że rozkład składników losowych nie odbiega statystycznie istotnie od rozkładu normalnego.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że rozkład składników losowych odbiega statystycznie istotnie od rozkładu normalnego.

χ ²(2)=1,780; p=0,41073; α= 0,05

Czy na poziomie istotności zachodzi χ ²< χ ²_0,05(2); p> α

Zatem niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H₀, rozkład składnika losowego nie odbiega statystycznie od rozkładu normalnego przy przyjętym poziomie istotności.

Badanie liniowości modelu - Test Ramsaya RESET

Hipotezy mają postać:

H₀: ( postać analityczna modelu jest właściwa)

H₁: ( postać analityczna modelu jest nie właściwa)

Wartość krytyczna testu dla α= 0,05 odczytana z tablic F- Snedecora wynosi F_0,05;6=5,14325_, natomiast statystyka F z próby oraz wartość prawdopodobieństwa empirycznego p, odczytane z wyników testu liniowości wynoszą odpowiednio F=0,959388, p=0,435.

Zatem mamy zależność F< F_0,05;8; p> α na podstawie czego stwierdza się, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, stąd model mam własność analityczną liniową.

Badanie stabilności parametrów strukturalnych modelu

H₀: (model charakteryzuje się stałością parametrów)

H₁: (model charakteryzuje się stałością parametrów)

Dla testowania tej hipotezy posługuje się testem Chowa ze statystyką testową F.

Statystyka F z próby oraz wartość początkowa prawdopodobieństwa empirycznego p, odczytane z wyników testu Chowa wynoszą odpowiednio F=3,25748; p=0,1102;

Wartość krytyczna odczytana dla k+1=2 i α= 0,05 wynosi F_0,05;2;6=4,45897_,

Wartość statystyki F=3,25748 z prawdopodobieństwem empirycznym p=0,1102;

Zatem zależność F<F _α,1,8; p α. Stąd wnioskujemy, że na poziomie istotności α=0,05 istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej na korzyść alternatywnej, która mówi, iż model nie charakteryzuje się stałością parametrów w czasie.

Podsumowanie:

Ogólne miary dopasowanie świadczą o tym, iż oszacowany model w poprawny sposób opisuje zmienność PKB na jednego mieszkańca w zależności od wysokość średniego wynagrodzenia (średnia krajowa w danym roku). Wzrost wynagrodzenia o jednostkę spowoduje wzrost PKB na jednego mieszkańca o 12,6066 zł. Ze średnim błędem szacunku=0,625886 . Odchylenie wartości teoretycznych od empirycznych zmiennej objaśnianej stanowi jedynie 3,21 % tej zmiennej. Na podstawie skonstruowanego modelu można uznać, że znaczący wpływ na zmianę wielkości PKB ma średnia wysokość wynagrodzenia w Polsce.

Załącznik: dane do modelu

---