8,1 Przekaźniki trójpołożeniowe.

Charakterystyka statyczna przekaźnika trójpołożeniowego w przypadku ogólnym jest przedstawiona na rysunku 8,1.

W praktyce znajduje zastosowanie bardzo dużo rozmaitych typów przekaźników trójpołożeniowych. Jako spotykane najczęściej wymienimy przekaźniki elektromechaniczne, elektrotermiczne, hydrauliczne, pneumatyczne, lampowe i magnetyczne bezstykowe. Za klasycznego przedstawiciela przekaźników elektromechanicznych można uważać spolaryzowany przekaźnik elektromagnetyczny którego konstrukcja pokazana jest na rys. 8,2. Wielkością wejściową takiego przekaźnika jest prąd płynący w uzwojeniu między punktami 1-1', wielkością wyjściową zaś - napięcie załączone przez ruchomą kotwiczkę k za pomocą styków 2 lub 2'.

Zasadę działania przekaźnika hydraulicznego przedstawiono na rys. 8,3. Wielkością wejściową jest tu przesunięcie tłoczków w komorze sterującej A, wielkością wyjściową - prędkość poruszania się tłoka w cylindrze B.

Zasadnicza idea konstrukcyjna elektronowych i magnetycznych przekaźników bezstykowych opiera się na pracy elementu wzmacniającego z dodatnim sprzężeniem zwrotnym.

Jeżeli we wzmacniaczu o charakterze elementu inercyjnego pierwszego rzędu o wzmocnieniu
i stałej czasowej T zastosujemy dodatnie sprzężenie zwrotne za pomocą elementu bezinercyjnego o funkcji przejścia
(rys.8,4), to funkcja przejścia otrzymanego układu wyrazi się wzorem:

(8.1.)

Dla sygnału wejściowego

(8.2)

sygnał wyjściowy jest

, (8.3)

a więc

(8.4)

Jeżeli wartości k i β dobraliśmy tak, aby

(8.5)

to jak wynika ze wzoru (8.4), sygnał y(t)narastałby do nieskończoności, gdyby wzmocnienie wzmacniacza k w całym zakresie pracy układu było stałe.

Praktycznie biorąc charakterystyka wzmacniacza jest zawsze ograniczona nasyceniem. Dlatego wzmocnienie k ze wzrostem sygnałów maleje i narastanie skończy się dla takiej wartości
dla której
. Ilustruje to rysunek 8.5. Jeżeli został wzbudzony,

tzn. jego stan określony jest przez punkt A, to dla przejścia od wartości
ponownie do wartości
należy do węzła sumacyjnego doprowadzić sygnał ujemny o wartości bezwzględnej większej od
Wynika stąd przebieg statycznej charakterystyki układu pokazany na rys. 8.6. Jest to charakterystyka przekaźnika dwupołożeniowego za strefą niejednoznaczności
O wartości strefy niejednoznaczności decyduje wartość funkcji przejścia β zastosowanego sprzężenia zwrotnego.

Przesunięcie charakterystyki (rys.8.6) wzdłuż osi x można uzyskać, wprowadzając do węzła sumacyjnego sygnał pokazujący
. Charakterystyka statyczna układu ma wówczas kształt pokazany na rys. 8.7.

Dla uzyskania przekaźnika trójpołożeniowego należy zestawić dwa układy omawiane poprzednio w sposób pokazany na rys.8.8.

Jako przykład praktycznego wykorzystania przekaźnika bezstykowego pokazany jest na rys. 8.9 schemat bezstykowego przekaźnika magnetycznego. Do jego konstrukcji wykorzystano dwa wzmacniacze magnetyczne o układzie szeregowym, w których dla uzyskania działania przekaźnikowego zastosowano dodatnie sprzężenie zwrotne prądowe.

8.2. Funkcja opisująca przekaźniki trójpołożeniowe.

Przekaźnik trójpołożeniowy jest jak wynika z bezpośrednio z jego charakterystyki, elementem nieliniowym. Dla zanalizowania pracy układu automatyki, w którym przekaźnik zostanie zastosowany, trzeba będzie więc korzystać z którejś z metod analizy układów nieliniowych, np. metody pierwszej harmonicznej lub metody płaszczyzny fazowej. Stosując metodę pierwszej harmonicznej należy znać tak zwaną funkcję opisującą dany element nieliniowy, określona wzorem (7.14). Obliczymy tę funkcję dla przekaźnika trójpołożeniowego bez strefy niejednoznaczności, tylko ze strefą nieczułości a. Charakterystyka statyczna takiego przekaźnika przedstawiona jest na rys. 8.10.

Aby obliczyć funkcję opisującą ten przekaźnik, rozpatrzymy przebieg sygnału wyjściowego y, wywołany wprowadzeniem na wejście sygnału sinusoidalnego
.

Przebieg ten jest pokazany na rysunku 8.11. Ponieważ przyjęliśmy jednoznaczną charakterystykę przekaźnika, więc na podstawie wzoru (7.16) jest
.

Dla obliczenia funkcji opisującej należy znaleźć tylko współczynnik
według wzoru (7.15):

Na podstawie rysunku 8.11jest:

(8.6)

Ponieważ
, więc

(8.7)

Ostatecznie jest

(8.8)

gdzie:

(8.9)

(8.10)

8.3. Analiza pracy układów regulacji przekaźnikowej metodą pierwszej harmonicznej.

Schemat blokowy prostego układu regulacji trójpołożeniowej przedstawiony jest na rys. 8.15. Składa się on z części liniowej o funkcji przejścia K(p) i przekaźnika o funkcji opisującej
. Warunek wzbudzenia takiego układu można w przybliżeniu określić według wzoru:

,

w którym
jest charakterystyką częstotliwościową części liniowej układu,
zaś funkcją opisującą elementu nieliniowego.

W przypadku przekaźnika jest według wzoru (8.8)

.

Warunek powstania oscylacji można więc napisać w postaci

(8.11)

lub

Przebieg
na płaszczyźnie
pokazano na rys. 8.16.

Symbol
oznacza częstotliwość, dla której przesunięcie fazowe miedzy sygnałem wprowadzonym na wejście części liniowej układu a sygnałem otrzymanym na wyjściu wynosi
. Symbol
oznacza wzmocnienie dla tej częstotliwości.

Z rysunku 8.16 widać, że warunkiem absolutnej stabilności układu z przekaźnikiem trójpołożeniowym jest

,

czyli

. (8.12)

Jeżeli

. (8.13)

a więc krzywa
jest styczna do krzywej
, to odpowiada to stanowi układ na granicy stabilności. Jeżeli natomiast

. (8.14)

(co na rys. 8.16 oznaczono linią przerywaną), to dla zaburzeń z<A₂ układ będzie stabilny, zaś dla zaburzeń z>A₂ nastąpi wzbudzenie z amplitudą A₁ i częstotliwością
. W układach nieliniowych jest to jednak, w porównaniu z układami liniowymi, pojęcie bardzo subtelne i lepsze zrozumienie tego zjawiska może dać metoda płaszczyzny fazowej, omawiana w następnym paragrafie.

Z rysunku 8.16 wynikają wprost trzy najprostsze sposoby ustabilizowania takiego układu w przypadku wzbudzenia :

1. zmniejszenie wzmocnienia części liniowej,

2. zmniejszenie wartości sygnału B załączonego przez przekaźnik,

3. zwiększenie strefy nieczułości a przekaźnika,

Są to jednak sposoby najprostsze, pociągające za sobą pogorszenie własności dynamicznych układu.

Metody stabilizacji, nie powodujące niekorzystnych zmian własności dynamicznych układu, polegają na zastosowaniu dodatkowych sprzężeń zwrotnych. Wygodnie jest przedstawić korzystając z metody płaszczyzny fazowej i dlatego zostaną omówione w paragrafie poświęconym tej metodzie.

Przykład. Proponujemy obliczyć warunek stabilności układu regulacji automatycznej, składającego się z obiektu astatycznego o funkcji przejścia
i przekaźnika trójpołożeniowego o strefie nieczułości a i bez strefy niejednoznaczności. Należy uwzględnić, że przekaźnik działa z opóźnieniem T.

Czas opóźnienia T w działaniu przekaźnika można uwzględnić przez wprowadzenie do schematu analizowanego układu członu o funkcji przejścia
, jak to przedstawiono na rys. 8.17. Układ można więc podzielić na część liniową o funkcji przejścia

i część nieliniową o funkcji opisującej

gdzie B i a - parametry przekaźnika,
- unormowana funkcja opisująca.

Wzajemne usytuowanie charakterystyki części liniowej i funkcji opisującej na płaszczyźnie
pokazano na rys. 8.18.

Oznaczymy symbolem
częstotliwość, dla której po raz pierwszy następuje przecięcie charakterystyki częstotliwościowej części liniowej z osią rzeczywistych. Częstotliwość tę możemy obliczyć z warunku

Ponieważ

więc

,

a stąd

.

Część rzeczywista funkcji przejścia dla częstotliwości
jest

.

Warunkiem stabilności jest więc

,

a stąd

.

8.4. Analiza pracy układów regulacji trójpołożeniowej

metodą płaszczyzny fazowej.

Niech będzie dany układ regulacji trójpołożeniowej przedstawiony na rys. 8.19. Składa się on z obiektu astatycznego z inercją o funkcji przejścia
oraz z przekaźnika o charakterystyce

(8.15)

Równanie obiektu jak wynika z funkcji przejścia, jest

(8.16)

a równanie węzła sumacyjnego

(8.17)

Zakładając, że sygnał sterujący s ma wartość stałą, otrzymamy na podstawie wzorów (8.15), (8.16), (8.17)

(8.18)

7

---