Przekazniki, Księgozbiór, Studia, Maszynoznastwo i Automatyka

Przekaźnik bez strefy nieczułości i bez strefy niejednoznaczności.

Charakterystyka przekaźnika bez strefy nieczułości i bez strefy niejednoznaczności przedstawiona jest na rys. 8.20a. Jak wynika bezpośrednio z tego rysunku w tym przypadku jest

(8.1)

równanie (8.18) ma więc postać

(8.19)

Prawa strona równania (8.20) jest funkcją nieciągłą o jednym punkcie nieciągłości, e=0. Prosta o równaniu e=0, czyli oś e będzie w tym przypadku tak zwaną prostą przełączeń lub komutacji. Prosta ta dzieli płaszczyznę fazową na dwie półpłaszczyzny:

lewą e<0 i prawą e>0. W każdym z tych obszarów przebiegi regulacyjne określone będą równaniem

(8.21)

przy czym znak + odnosi się do lewej strony, a znak - do prawej półpłaszczyzny.

Dla obliczenia trajektorii fazowych przedstawiamy równanie (8.21) w postaci

, (8.22)

skąd po scałkowaniu

, (8.23)

gdzie C - stała określona warunkami początkowymi.

Trajektorie fazowe, narysowane na podstawie równania (8.23) przedstawione są na rys. 8.20b.

Przekaźnik ze strefą nieczułości

Charakterystyka przekaźnika ze strefą nieczułości, ale bez strefy niejednoznaczności, przedstawiona jest na rys. 8.21a. W tym przypadku charakterystykę przekaźnika określają równania:

Prawa strona równania (8.18) jest w tym przypadku funkcją o dwóch punktach nieciągłości
i
. Prostymi komutacji będą więc dwie proste o równaniach
i
, czyli proste równoległe do osi
i oddalone od niej o odcinek a ,jedna na lewej, druga zaś na prawej półpłaszczyźnie. Podzielą one płaszczyznę na trzy obszary: I, II, III, jak zaznaczono na rys. 8.21.b.

W obszarach I i III trajektorie fazowe opisane są identycznym jak w poprzednim przypadku wzorem (8.21). W obszarze II jest natomiast

a stąd

(8.24)

gdzie
i
oznaczają warunki początkowe.

Trajektorie fazowe narysowane na podstawie wzorów (8.24) i (8.21) przedstawiona są na rysunku 8.21b.

Przekaźnik ze strefą niejednoznaczności

Charakterystyka przekaźnika ze strefą niejednoznaczności, ale bez nieczułości przedstawiona jest na rysunku 8.22a. W tym przypadku charakterystykę przekaźnika określają równania:

Liniami przełączeń będą więc w tym przypadku dwie półproste: e = b w górnej i e = -b w dolnej półpłaszczyźnie, jak pokazano na rys. 8.22b. Podzielą one płaszczyznę fazową na dwa obszary, w których trajektorie fazowe określone będą wzorem (8.23). Przebieg ich będzie taki jak pokazano na rys. 8.22b.

Przekaźnik ze strefą niejednoznaczności i strefą nieczułości.

Charakterystyka przekaźnika ze strefą niejednoznaczności i strefą nieczułości przedstawiona jest na rys. 8.23a. W tym przypadku, jak bezpośrednio wynika z charakterystyki przekaźnika, liniami komutacji są:

w I ćwiartce półprosta e = a+b,

w II ćwiartce półprosta e = a,

w III ćwiartce półprosta e = -a-b,

w IV ćwiartce półprosta e = -a

W poszczególnych obszarach , na jakie tymi prostymi została podzielona płaszczyzna fazowa, trajektorie fazowe są określone odpowiednio wzorami (8.23) i (8.24), Ich przebiegi są przedstawione na rys. 8.23b.

---------------- ----------------------- --------

Przeanalizujemy jeszcze wpływ czasu opóźnienia T₀w działaniu przekaźnika na przebieg procesu regulacji w badanym układzie. Załóżmy, że charakterystyka przekaźnika ma strefę nieczułości, ale nie ma strefy niejednoznaczności, jak pokazano na rys. 8.24a.

Czas opóźnienia przekaźnika T₀ można uwzględnić przez wprowadzenie do schematu analizowanego układu członu o funkcji przejścia
, jak przedstawiona na rys. 8.24. Uwzględniając oznaczenia na rys. 8.24, możemy napisać, że:

------------- ---------------- --------------------------------

W przypadku gdy
, można przyjąć, że po zaburzeniu jednostkowym sygnał e zmienia się liniowo, wtedy

czyli

Liniami przełączeń będą proste

Trajektoria fazowa układu z opóźnieniem przedstawiona jest na rys. 8.25. Widać z niej wyraźnie niekorzystny wpływ czasu opóźnienia na stabilność.

Dla poprawy własności dynamicznych układów regulacji przekaźnikowej wprowadza się często na wejście przekaźnika pochodną sygnału błędu, jak to przedstawiono na schemacie (rys. 8.26). Funkcja f(e) będzie w tym przypadku miała postać

------------------- --------------------- --------------------------

a stąd równanie prostych przełączeń

Trajektoria fazowa układu z wprowadzoną z wprowadzoną pochodną przedstawiona jest na rys. 8.27.Widać z niej dobrze, że wprowadzenie pochodnej poprawia warunki stabilności układu. Często dla zmniejszenia przeregulowań lub stabilizacji układu stosuje się dodatkowe sztywne sprzężenia zwrotne z wyjścia serwomotoru (rys. 8.28). W tym przypadku

Na podstawie rys. 8.28 znajdujemy

skąd

lub w postaci czasowej

-------------- ------------ ------------

Równania prostych przełączeń będą

. (8.26)

Proste te przecinają oś e w punktach

. (8.27)

Sztywne sprzężenie zwrotne zmniejsza więc również strefę nieczułości. Wskutek pochylenia prostych przełączeń w lewo ulegają zmniejszeniu przeregulowania (rys. 8.29).

8.5. Analiza pracy układów regulacji trójpołożeniowej

w przestrzeniach metrycznych .

Niech będzie dany układ regulacji trójpołożeniowej przedstawiony na rys. 8.30. Składa się on z elementu całkującego z inercja o funkcji przejścia

i przekaźnika o charakterystyce

(8.28)

Równanie części liniowej układu jest więc

, (8.29)

----------- ----------------------------

Równanie węzła sumacyjnego

. (8.30)

Zakładając s=const otrzymamy

lub oznaczając

,
,

. (8.31)

Przekaźnik bez histerezy

Przyjmujemy jako miarę odległości punktu o współrzędnych
od początku układu wyrażenie

. (8.32)

Tak określona funkcja
będzie funkcją dodatnią i będzie spełniać aksjomaty metryki, jeżeli charakterystyka przekaźnika f(e) będzie bez histerezy i będzie położona w ćwiartce pierwszej i trzeciej płaszczyzny [f(e),e] tak jak to pokazano na rys. 8.31.

Zastępując
przez
i całkując obie strony równania (8.31) otrzymamy

, (8.33)

stąd

, (8.34)

oraz

Wynika stąd, że jedynym warunkiem stabilności układu z rys. 8.30 jest, aby charakterystyka przekaźnika była jednoznaczna (bez histerezy) i była położona w pierwszej i trzeciej

------------ --------

ćwiartce płaszczyzny [f(e),e] (rys.8.32). Wtedy bowiem wyrażenie określone wzorem (8.32) spełnia warunki odległości, a pochodna tej odległości wzdłuż trajektorii równania (8.31) jest ujemna i równa zeru tylko dla
.

Tak więc układ regulacji przekaźnikowej z rys. 8.30 jest stabilny dla dowolnych wartości wzmocnienia k i stałej czasowej T, jeżeli tylko przekaźnik jest bez histerezy.

Przekaźnik z histerezą

Charakterystyka przekaźnika z histerezą, na przykład przedstawiona na rys. 8.33, nie jest jednoznaczna. W takim przypadku całka

może być ujemna, mimo że charakterystyka f(e) będzie położona w pierwszej lub trzeciej ćwiartce, tak jak to pokazuje rys.8.34

W tym przypadku, mimo że wartości k i T będą dodatnie, a charakterystyka f(e) będzie położona w pierwszej i trzeciej ćwiartce, wyrażenie

może być ujemne.

To tłumaczy znane zjawisko, że układ przedstawiony na rys. 8.30 jest stale stabilny, jeżeli przekaźnik jest bez histerezy, a może być niestabilny, jeżeli przekaźnik posiada histerezę.

Zbadajmy teraz stabilność układu z rys. 8.30, przyjmując jako miarę odległości punktu
od początku układu współrzędnych

. (8.35)

Będzie ona spełniać warunki dodatniości , gdy T>0, co zachodzi.

------------ ----------------------- -------------------

Obliczamy pochodną tej odległości wzdłuż trajektorii równania (8.31). Otrzymamy

(8.36)

Wykorzystując równanie (8.31) i eliminując
otrzymujemy

Aby pochodna była ujemna wystarczy, aby były spełnione następujące nierówności:

,
. (8.37)

Jeżeli te warunki są spełnione, to układ jest stabilny bez względu na to, czy przekaźnik posiada histerezę, czy nie.

Stabilizacja przez wprowadzenie pochodnej.

Załóżmy, że przekaźnik w schemacie na rys.8.30 posiada histerezę i spróbujmy zapewnić stabilność tego układu przez wprowadzenie pochodnej sygnału błędu (odpowiedni schemat połączeń przedstawiony jest na rys. 8.35).

Działanie tego układu opisane jest następującymi równaniami:

obiekt
, (8.38)