REFERAT

Dla nauczycieli zespołu przedmiotów matematyczno- przyrodniczych

Publicznego Gimnazjum w Parczewie

Konstrukcja wielokątów foremnych środkami klasycznymi.

Zagadnienia konstrukcyjne zawsze były ulubionym tematem w geometrii. Można wykonać wiele różnorodnych konstrukcji posługując się wyłącznie cyrklem i linijką, można podzielić na połowę odcinek lub kąt, z danego punktu poprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej, itp. Tradycyjne ograniczenie do tych przyrządów sięga starożytności, chociaż sami Grecy nie unikali stosowania innych przyborów. Gdy mamy do czynienia z konstrukcją geometryczną, wówczas nie wolno zapominać, że problem nie polega na praktycznym narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, ale na tym, czy można znaleźć rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze narzędzia są idealnie precyzyjne.

Spośród wszystkich konstrukcji zagadnienie zbudowania wielokąta foremnego o n- bokach jest najbardziej interesujące. Dla pewnych wielkości np. n = 3,4,5,6 -rozwiązania były znane już w starożytności.

Wiadomo z geometrii elementarnej, że możemy środkami klasycznymi skonstruować trójkąt foremny, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt i dziesięciokąt foremny, wpisany w dany okrąg. Należy, więc postawić pytanie, co można powiedzieć o liczbie n- boków n-kąta foremnego, który można za pomocą środków klasycznych skonstruować mając dany promień okręgu opisanego na tym wielokącie i jakie warunki odnoszące się do liczby n wystarczają by taką konstrukcję dało się wykonać.

Sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających konstruowalności środkami klasycznymi n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg wymaga pewnych twierdzeń pomocniczych dotyczących własności równań

ich pierwiastków, oraz sum tych pierwiastków.

Moim zamiarem nie jest przeprowadzenie teoretycznego rozpatrywania tego zagadnienia, lecz przedstawienie tylko tych twierdzeń, które nauczycielom warto przedstawić i poruszyć wnioski z nich płynące. Do napisania tego artykułu skłoniła mnie chęć pokazania nauczycielom, że za pomocą środków klasycznych mogą zbudować dowolny wielokąt foremny. A oto przekład takiej konstrukcji.

Podział okręgu na dowolną liczbę równych części, np. 11 ( rys. 1).

rys. 1

Konstrukcja ogólna. Przez punkt A prowadzimy styczną do okręgu o promieniu r. Ze środka O prowadzimy prostą OB. pod kątem 30^o do OA. Od punktu B na stycznej odmierzamy 3r = BC. Łączymy punkt C z punktem D prostą. Odcinek CD dzielimy na 11 równych części znanym sposobem. Od punktu D odmierzamy 2/11 CD = DE, a następnie odcinamy na stycznej odcinek AF = DE. Od punktu D odkładamy odcinek DG = r. Prosta FG przetnie okrąg w punkcie H, odcinek AH jest bokiem 11 - kąta „foremnego”.

Konstrukcja geometrycznie poprawna, ale gdy mamy do czynienia z konstrukcją geometryczną środkami klasycznymi, wówczas nie wolno nigdy zapominać, że zagadnienie nie polega na praktycznym narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, lecz na tym czy można znaleźć rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze narzędzia są idealnie precyzyjne.

Twierdzenia stanowiące podstawę do sformułowania i dowodu warunków koniecznych

i wystarczających konstruowalności n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg.

Twierdzenie 1

Jeżeli n jest liczbą pierwszą, α liczbą naturalną, to do tego, by można było środkami klasycznymi skonstruować wielokąt foremny o liczbie boków
, wpisany w okrąg o danym promieniu, potrzeba i wystarcza, by zachodził jeden z przypadków:

1. α = 1 i n jest liczbą postaci
   , gdzie r jest liczbą całkowitą nieujemną;

2. 
   i n = 2.

Liczby pierwsze postaci
nazywamy liczbami Fermata. Z powyższego twierdzenia wynika, że

w okrąg o danym promieniu można środkami klasycznymi wpisać te, i tylko te, wielokąty o liczbie boków pierwszej, których liczba boków jest liczbą Fermata.

Wielokąty takie są `wyjątkami ' w zbiorze wielokątów foremnych.

Istotnie, dla

Ogólny przypadek, gdy liczba boków wielokąta jest dowolną liczbą naturalną warunkuje następne twierdzenie 2, które zawdzięczamy genialnemu matematykowi niemieckiemu F. Gaussowi.

Twierdzenie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby można było skonstruować n-kąt foremny wpisany w okrąg o danym promieniu jest, żeby liczba n była liczbą postaci

lub
,

gdzie α - jest liczbą naturalną, większą od 1,
-jest liczbą całkowitą nieujemną,

- różnymi liczbami pierwszymi Fermata dla i=1,2,...,s.

Przykłady konstrukcji wielokątów środkami klasycznymi.

1. Konstrukcje wielokątów o liczbie boków
, n = 0,1,....

Spośród wszystkich wielokątów foremnych sześciokąt jest najłatwiejszy do skonstruowania ( rys. 2 ).

rys. 2

Zaczynamy konstrukcję od okręgu o promieniu r. Długość boku sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg jest także równa r. Wielokąt można, zatem konstruować odmierzając od dowolnego punktu kolejno cięciwy o długości r aż do uzyskania wszystkich sześciu wierzchołków sześciokąta. Łącząc, co drugi wierzchołek sześciokąta foremnego otrzymamy trójkąt foremny wpisany w ten okrąg.

Z foremnego n-kąta możemy otrzymać foremny 2n-kąt przecinając w połowie łuki okręgu opisanego odpowiadające każdemu bokowi n-kąta, korzystając z konstrukcji dwusiecznej kąta. Znalezione w ten sposób punkty wraz z wierzchołkami n-kąta są wierzchołkami dla szukanego 2n-kąta. Zaczynając od średnicy okręgu ( od 2-kąta') możemy skonstruować 4-kąt, 8-kąt, 16-kąt, ...,2n-kąt ( rys. 3 ). Podobnie możemy otrzymać 12-kąt,

24-kąt, 48-kąt itd. z sześciokąta foremnego ( rys. 2), oraz 20-kąt, 40-kąt, itd. z dziesięciokąta foremnego.

rys. 3

2. Konstrukcje dziesięciokąta i pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.

I. W `Elementach' Euklides oparł konstrukcję pięciokąta foremnego na tzw. ciągłym podziale odcinka, zwanym także podziałem złotym. Do tego samego podziału sprowadzamy najczęściej konstrukcję dziesięciokąta foremnego.

Jeżeli AB jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg
,

to
(rys. 4).

rys. 4

Wtedy
, wobec tego prowadząc dwusieczną BD kąta OBA otrzymujemy trójkąty równoramienne DBA i BOA. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcja

. (1)

Ale
, ponieważ
, bo
. Wobec tego
i z napisanej poprzednio proporcji (1) otrzymamy

.

Odcinek OD jest więc złotą częścią odcinka OA, zatem AB równa się złotej części odcinka OA. Stąd wniosek:

Bok dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jest złotą częścią promienia tego okręgu.

Wtedy

Rozwiązując ostatnie równanie ze względu na
i odrzucając pierwiastek ujemny, otrzymujemy wzór na długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r:

. (2)

Aby skonstruować odcinek równy bokowi dziesięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg. Dzielimy promień tego okręgu w stosunku złotym lub wykonujemy konstrukcję bezpośrednio według wzoru (2).

II. Jedną z dawno znanych konstrukcji, która pochodzi od Herona z Aleksandrii, ilustruje rysunek 5.

Niech
będzie danym okręgiem,
. Kreślimy promień OB. Prostopadły do OA. Na odcinku OA jako na średnicy budujemy okrąg. W przecięciu tego okręgu z odcinkiem łączącym jego środek z punktem B otrzymujemy punkt M.

rys. 5

Twierdzimy, że
. Istotnie, stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

,

stąd

III. Znana jest jeszcze inna konstrukcja odcinków
, przedstawia ją rysunek 6.

W kole kreślimy dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Znajdujemy na okręgu punkty C i K takie, że
położone tak jak na rysunku i zakreślamy okrąg
. W przecięciu okręgu z odcinkiem OB. Wyznaczamy punkt D. Twierdzimy, że
. Istotnie,
, więc
, zatem
.

rys. 6

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta COK i otrzymujemy
.

Stosujemy teraz do trójkąta COD uogólnione twierdzenie Pitagorasa:

Ponieważ
, więc

W trójkącie AOD przyprostokątna
, przyprostokątna
, a więc przeciwprostokątna
, na mocy zależności
.

IV. Wśród nowych konstrukcji boku dziesięciokąta foremnego warto wymienić

konstrukcję M. Webera ze względu na jej prostotę ( rys. 7) .

Na rysunku 7 jest
.

rys. 7

V. W praktyce w rysunku technicznym często stosuje się konstrukcję pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg opartą na konstrukcji astronoma greckiego Ptolemeusza (rys.8).

rys. 8

Prowadzimy w okręgu
dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Niech K oznacza środek promienia OA, a D punkt przecięcia promienia OS z okręgiem
. Wtedy
. Istotnie kreśląc z punkty O prostą równoległą do DB otrzymamy w przecięciu tej prostej z KB punkt L. Wtedy
.

3.Konstrukcja wielokątów o liczbie boków złożonej.

Euklides skonstruował piętnastokąt foremny wpisany w dany okrąg w następujący sposób ( rys. 9).

Wybrał punkt A na okręgu i zbudował trójkąt foremny ACF oraz pięciokąt foremny ABCDEFG wpisany w ten okrąg.

Ponieważ

oraz
, więc
.

Zatem odcinek
jest bokiem piętnastokąta foremnego wpisanego w okrąg. W sposobie tym istotną rzeczą jest sprowadzenie konstrukcji kąta
do konstrukcji kątów
.

rys. 9

Metoda ogólna: Jeżeli liczby m, n są liczbami względem siebie pierwszymi i jeżeli umiemy skonstruować środkami klasycznymi kąty
środkowe w danym okręgu, to możemy też skonstruować tymi środkami kąt
środkowy w tym okręgu.

Dowód konstruowalności kąta
środkowego opiera się na twierdzeniu z teorii liczb:

Jeżeli m i n są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to można zawsze dobrać takie dwie liczby całkowite p ,q, że mp+nq=1.

Zatem przy naszych założeniach mamy

.

Na przykład sposób konstrukcji kąta środkowego w danym okręgu równego
kąta pełnego i tym samym 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg, znajdziemy w drodze następującego rozumowania:
.

Zatem

.

Aby zbudować kąt
środkowy w danym okręgu, skonstruujemy siedemnastokąt foremny

i trójkąt foremny wpisany w ten okrąg ( rys. 10).

rys. 10

Wówczas

,

a odcinek BC jest bokiem 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Literatura:

1. Browkin J., „Wybrane zagadnienia algebry”

2. Bryński M., Włodarski L., „Konstrukcje geometryczne”, Biblioteczka DELTY,

3. Courant R., Robbins H., „Co to jest matematyka”,

4. Krygowska Z., „Konstrukcje geometryczne”,

5. Krygowska Z., „Matematyka elementarna z wyższego stanowiska”,

6. Krysicki W., Pisarewska H., Świątkowski T., „Z geometrią za pan brat”,

7. Sierpiński W., „Zasady algebry wyższej”

Opracował: Wojciech Prokopiuk

10