POLITECHNIKA OPOLSKA

WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA I INŻYNIERII PRODUKCJI

KIERUNEK ZARZĄDZANIE I MARKETING

PRACA SEMESTRALNA Z PRZEDMIOTU „MATEMATYCZNE METODY ZARZĄDZANIA”

TEMAT:

ANALIZA PRZEBIEGU PROCESU PRODUKCYJNEGO DENKA RYNNY PÓŁOKRĄGŁEJ, POPRZEZ ZASTOSOWANIE METOD SIECIOWYCH TAKICH JAK CPM, CPM - COST I PERT.

PROWADZĄCY: WYKONAŁY:

OPOLE 2003

SPIS TREŚCI

SPIS RYSUNKÓW

..............................................................................44

SPIS TABEL

1. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

1. METODY SIECIOWE W PLANOWANIU PRZEDSIĘWZIĘCIA

Metody sieciowe należą do grupy zagadnień programowania matematycznego opierająca się na teorii grafów. Grafy stosowane są do opisu zależności jakie występują pomiędzy czynnościami wchodzącymi w skład realizacji danego przedsięwzięcia Są zatem jego graficznym przedstawieniem, zawierającym wszystkie zdarzenia i czynności. Kolejność występowania poszczególnych czynności oraz sposób rozmieszczenia zdarzeń decyduje o postaci grafu .Elementy składowe grafu to węzły i łuki. Jeżeli każdemu łukowi w grafie przyporządkuje się określoną nieujemną liczbę, wówczas graf określany jest mianem sieci.

Metody sieciowe umożliwiają kompletny i spójny opis przebiegu prac, pomagają w osiągnięciu przejrzystej prezentacji przebiegu projektu, przyczyniają się do wczesnego rozpoznawania zagrożeń odnośnie terminów, kosztów oraz zaangażowanych środków.

1. PODZIAŁ METOD PLANOWANIA SIECIOWEGO

Metody planowania sieciowego można podzielić z punktu widzenia różnych aspektów. Kierując się przebiegiem procesu wyróżnia się :

• metody sieciowe o strukturze stochastycznej,

• metody sieciowe o strukturze logicznej zdeterminowanej.

Do planowania projektów stosowane są przede wszystkim sieci o strukturze deterministycznej. Plan sieciowy każdego przedsięwzięcia składa się z :

• czynności,

• zdarzeń,

• relacji.

Realizacja czynności wymaga zaangażowania pewnego czasu. Każda czynność charakteryzuje się trwaniem, terminem rozpoczęcia i zakończenia oraz ilością zaangażowanych środków. Dla każdej czynności wyznacza się najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne momenty rozpoczęcia i zakończenia oraz zapasy czasu. Na tej podstawie określa się końcowy czas realizacji całego przedsięwzięcia oraz ścieżkę krytyczną

Natomiast zdarzenie charakteryzowane jest jako stan wyróżniony w przebiegu procesu, moment rozpoczęcia lub zakończenia czynności bądź też koniec jednej, a początek drugiej czynności. Zdarzenie charakteryzowane jest jako zjawisko fizyczne, posiadające swoje miejsce w czasie i przestrzeni, a w modelu sieciowym charakteryzuje natomiast stan zaawansowania prac przy realizacji przedsięwzięcia. Ze zdarzeniem nie wiąże się zużycie czasu ani środków.

Dla każdego zdarzenia w sieci wyznacza się :

• najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia (t),

• najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia (T),

• zapas czasu (L).

nr zdarzenia

t T

Rys.1.1. Graficzne przedstawienie zdarzenia

Relacje natomiast określają następstwo zdarzeń lub czynności realizowanych w ramach przedsięwzięcia.

W rozważanej klasie metod sieciowych o strukturze zdeterminowanej optymalizacja przedsięwzięcia przebiega w następujących etapach:

WYSZCZEGÓLNIENIE ZADAŃ CZĄSTKOWYCH

OCENA PARAMETRÓW POSZCZEGÓLNYCH CZYNNOŚCI I ZDARZEŃ

TWORZENIE SIECI ZALEŻNOŚĆI

WYZNACZENIE PODSTAWOWYCH CHARAKTERYSTYK SIECI DOTYCZĄCYCH POSZCZEGÓLNYCH CZYNNOŚCI I ZDARZEŃ, JAK TEŻ CAŁEGO PROJEKTU

WYZNACZANIE ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ

Konstruowanie sieci czynności dla dowolnego projektu wymaga posiadania niezbędnych informacji związanych z czynnościami wchodzącymi w skład przedsięwzięcia. Wyróżnia się czynności początkowe, pośrednie i końcowe, dlatego też istotnym elementem jest ustalenie kolejności ich występowania.

Z. Zbichorski zwraca uwagę na przestrzeganie następujących zasad:

- zdarzenie początkowe nie ma czynności poprzedzających,

- zdarzenie końcowe nie ma czynności następujących,

- wykres sieciowy może mieć kilka początkowych i kilka końcowych zdarzeń, konieczne jest wówczas wprowadzenie czynności pozornych, które połączą je w jedno zdarzenie początkowe i jedno zdarzenie końcowe,

- dane zdarzenie nie może nastąpić dopóki nie zakończą się wszystkie czynności prowadzące do niego i warunkujące zajście tego zdarzenia,

- żadna kolejna czynność nie może się rozpocząć, dopóki nie zaistnieje zdarzenie kończące czynności poprzedzające,

- dwa kolejne zdarzenia mogą być połączone tylko jedną czynnością,

- każde zdarzenie w sieci, z wyjątkiem początkowego i końcowego, powinno być początkiem i końcem jednej lub kilku czynności,

- wektory czynności skierowane są z lewej strony do prawej,

- wektory nie powinny się krzyżować,

- wykres sieciowy rozgałęzia się w kierunku wykonywania czynności od strony lewej do prawej,

• nie należy tworzyć pętli łączących dwukrotnie te same zdarzenia.

Etapy, z których składa się proces tworzenia sieci czynności, zilustrowano na poniższym przykładzie. Budowana sieci dotyczy przygotowania przedstawienia na miejski festyn.

1. Ustalenie listy czynności

W zadaniu tym można wyodrębnić następujące czynności:

A - wybór miejsca, w którym ma odbyć się przedstawienie,

B - przygotowanie terenu,

C - przygotowanie sceny,

D - dowóz zespołu,

E - przygotowanie repertuaru (próby),

F - ustalenie kolejności wszystkich występów,

G - rozpoczęcie przedstawienia.

2. Ustalenie zdarzenia początkowego i końcowego przedsięwzięcia

Zdarzenie początkowe - Podjęcie decyzji o organizacji przedstawienia.

Zdarzenie końcowe - Rozpoczęcie przedstawienia.

3. Określenie kolejności wykonywania czynności

Tabela 1.1. Kolejność wykonywania czynności

Czynności	Czynności bezpośrednio:
		Poprzedzające	Następujące
A B C D E F G	- A B - D E C,F	B C G E F G -

4. Numerowanie wierzchołków

Przy numerowaniu wierzchołków sieci należy uwzględnić, że następują one w określonej kolejności oraz to, że zdarzenie będące początkiem czynności powinno mieć numer mniejszy niż zdarzenia, które jest końcem tej czynności.

Sieć przedstawiona jest na poniższym rysunku.

B C G

A

F

D

E

Rys.1.2. Sieć zależności

1. WYZNACZANIE ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ

Podczas budowania sieci poprzez łączenie czynności, zaczyna wyłaniać się seria zadań, które mogą wpłynąć na datę zakończenia przedsięwzięcia, są to tzw. czynności krytyczne. Jeżeli wystąpi opóźnienie zakończenia którejkolwiek z tych czynności , nastąpi również opóźnienie czasu zakończenia całego projektu. Czynności krytyczne łącznie określane są mianem ścieżki krytycznej. Po wykonaniu zadania krytycznego zmienia się ono na niekrytyczne, ponieważ nie może już wpłynąć na wykonanie przyszłych zadań.

Kluczowym elementem podczas wyznaczania ścieżki krytycznej są relacje pomiędzy zadaniami. Precyzyjne i dokładne wyznaczenie ścieżki krytycznej możliwe jest w sytuacji gdy :

• dokonano prawidłowego podziału przedsięwzięcia na zadania,

• zostały ustalone relacje łączące zadania,

• istnieją poprawne estymacje czasowe zadań.

Ścieżka krytyczna często nazywana jest ścieżką pełną, łączącą zdarzenie początkowe ze zdarzeniem końcowym, dla której czas trwania jest najdłuższy.

Ścieżka krytyczna wyznacza długość trwania projektu. Jest to zbiór występujących po sobie czynności, zależnych od siebie. Ponieważ projekt kończy się w momencie zakończenia ostatniego zadania, jest to najdłuższa ścieżka. Czynności nie leżące na ścieżce krytycznej można przedłużyć o pewien czas, bowiem nie spowoduje to dłuższego czasu trwania przedsięwzięcia. Natomiast każda czynność leżąca na ścieżce krytycznej, poddana skróceniu, ma wpływ na uzyskanie krótszego łącznego czasu trwania projektu. Zatem zadaniami nie leżącymi na ścieżce należy manipulować tak, aby ułatwić realizację zadań leżących na ścieżce krytycznej.

W każdej sieci może istnieć jedna lub więcej ścieżek krytycznych. Wyznacza ona najkrótszy możliwy czas realizacji całego przedsięwzięcia. Czynności i zdarzenia leżące na niej mają zerowe zapasy czasu. Wyznaczenie ścieżki ułatwia kontrolę przebiegu realizacji przedsięwzięcia i dotrzymanie terminu końcowego.

Wyznaczanie ścieżki krytycznej przebiega według następującego algorytmu:

- zakłada się , że termin zdarzenia rozpoczynającego jest równy 0;

• wyznaczenie najwcześniejszych terminów zdarzeń (j) (związane z warunkiem zakończenia wszystkich czynności poprzedzających to zdarzenie) - wyznacza się sumując czas czynności, dla której zdarzenie jest końcowym, oraz najwcześniejszy termin zdarzenia poprzedniego (i) dla tej czynności;

Czas trwania czynności i-j oznacza się jako t_i-j , np. dla zdarzenia 2 wzór przedstawia się następująco :

t ₂ = t ₁ + t _1-2

Jeżeli takich sum można wyznaczyć więcej niż jedną, wybrać należy maksymalną, tzn.

t _j = max {t _i + t _i-j}

ⁱ

• zakłada się, że najpóźniejszy termin wystąpienia zdarzenia kończącego przedsięwzięcie jest równy najwcześniejszemu terminowi wystąpienia tego zdarzenia, tzn.

T_n = t_n

• wyznaczenie najpóźniejszych terminów zdarzeń, otrzymuje się odejmując od najpóźniejszego terminu wystąpienia zdarzenia kończącego czas trwania czynności. Jeśli wykres za zdarzeniem się rozgałęzia należy wybrać wartość najmniejszą;

T _i = min {T _j - t _i-j}

^j

• wyznaczenie zdarzeń krytycznych;

• mając wyznaczone najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne momenty zaistnienia zdarzeń, możliwe jest obliczenie zapasu czasu dla poszczególnych zdarzeń, co przedstawia poniższy wzór:

L _j = T _j - t _j

• określenie wielkości zapasu na poszczególnych czynnościach - zapas jest równy różnicy najpóźniejszego i najwcześniejszego terminu;

Z _ij = (T _j - t _i-j) - t _i

Czynności leżące na ścieżce krytycznej maja zapas równy 0.

Głównym celem optymalizacji przedsięwzięcia jest udoskonalenie sieci poprzez skrócenie ścieżki krytycznej za pomocą modyfikacji czynności na niej leżących.

W tym celu wg. Tadeusza Śmigaja należy :

• wyeliminować zadania znajdujące się na ścieżce krytycznej,

• skrócić trwanie zadań na ścieżce krytycznej,

• skrócić najwcześniejsze, najdłuższe i najłatwiejsze zadania,

• skrócić zadania, do których istnieje możliwość ściągnięcia zasobów,

• skrócić zadania, których koszty przyspieszenia są najmniejsze.

1. PRZEGLĄD WYBRANYCH METOD PLANOWANIA SIECIOWEGO

Efektywne zarządzanie projektami wymaga stosowania odpowiednich metod oraz narzędzi do planowania i kontroli realizacji projektów. Prawdą okazują się słowa Jerrego Maddena że „ zasady zarządzania ciągle są te same, tylko narzędzia się zmieniają”. Aby narzędzia te były skuteczne, czyli umożliwiały uzyskanie optymalnych rozwiązań, powinny być:

• elastyczne - używane przez nowicjuszy jak i ekspertów,

• pewne - zapewniać kontrolę nad projektami,

• komunikatywne - zapewniające łatwą współpracę i możliwość porozumiewania się pomiędzy uczestnikami projektu,

• modyfikowane - możliwe do modyfikacji i poszerzania w miarę potrzeb użytkownika.

Do najbardziej znanych i powszechnie stosowanych metod analizy sieciowej należą:

• CPM - Critical Path Method,

• PERT - Program Evalution and Review Technique.

Wspólnym elementem obydwu metod jest sieć zależności pomiędzy czynnościami i zdarzeniami. Jedyną rzeczywistą różnicą między sieciami ścieżki krytycznej CPM i PERT jest sposób określania czasu trwania projektu.

CPM zakłada stały, znany czas trwania czynności, natomiast PERT przyjmuje pewne rozbieżności czasów o znanych rozkładach prawdopodobieństwa.

1.3.1. Metoda CPM

Metoda CPM zwana inaczej metodą ścieżki krytycznej, w której ustalone zależności poszczególnych czynności przedstawia się w postaci sieci czynności, pozwala na prezentację i ocenę projektu z wielu perspektyw i w wielu formatach. Przejrzysty i łatwy do zrozumienia układ informacji stwarza możliwość koncentracji uwagi na czynnościach limitujących całe przedsięwzięcie, a jednocześnie najbardziej istotnych w danym projekcie.

Metoda CPM skupia się na porównywaniu efektywności różnych sposobów rozwiązywania zagadnień i poszukiwania rozwiązywania optymalnego. Pozwala przeanalizować wybrany fragment rzeczywistości i ocenić ilościowo rezultaty możliwych do podjęcia decyzji, a także:

• pomaga w zaplanowaniu harmonogramu realizacji przedsięwzięcia w taki sposób, by jego czas realizacji był najkrótszy,

• koncentruje się na zadaniach krytycznych, które najprawdopodobniej zaważą na wykonaniu harmonogramu,

• jest powodem wzrostu jakości planowania i koordynacji działań podczas realizacji złożonych przedsięwzięć.

Metoda CPM stosowana jest w sytuacji gdy istnieje dostateczna ilość danych aby określić czas trwania czynności - każdej czynności przypisuje się jeden ściśle określony czas trwania. Przy pomocy sieci CPM odwzorowywane są relacje następstwa i poprzedzania, istniejące pomiędzy czynnościami realizowanymi w ramach przedsięwzięcia. Czynności następują po sobie bez występowania przerw czasu, niemożliwe jest rozpoczęcie czynności następnej przed zakończeniem poprzedniej. Relacje następstwa i poprzedzania wyrażane są przy pomocy łuków. Każdy łuk obrazujący czynność posiada wierzchołek początkowy i końcowy, które odwzorowują zdarzenia. Poszczególne zdarzenia przedstawione są w postaci kółek, w których zawarty jest numer zdarzenia, najwcześniejszy możliwy termin zaistnienia danego zdarzenia oraz najpóźniejszy dopuszczalny termin wystąpienia zdarzenia, a także zapas czasu będący różnicą tych dwóch wielkości.

Szczególną cechą sieci CPM jest możliwość wprowadzania tzw. czynności pozornych. Przedstawione są za pomocą łuków rysowanych przerywaną linią. Czas trwania czynności pozornych wynosi zero.

Istotę wyżej przedstawionej metody przedstawia poniższy przykład.

Przedsięwzięcie P charakteryzują dane zawarte w tablicy 1.2. Należy wyznaczyć najkrótszy termin realizacji przedsięwzięcia oraz ścieżkę krytyczną. Rozwiązanie przedstawia rys. 1.3.

Tabela 1.2. Wykaz czynności oraz czasów ich trwania

Czynność	Czas trwania
1-2	15
1-4	10
2-3	8
3-6	9
4-5	11
5-6	20

8

15 9

10 20

11

Rys.1.3. Sieć CPM

Ścieżka krytyczna - 1 - 4 - 5 - 6. Układ czynności na ścieżce krytycznej wskazuje, w jakiej kolejności powinny następować czynności krytyczne aby czas wykonania całego przedsięwzięcia był jak najkrótszy.

Najkrótszy czas realizacji przedsięwzięcia P wynosi 35 jednostek czasu. Przekroczenie terminu zakończenia którejkolwiek czynności krytycznej spowoduje opóźnienie wykonania całego przedsięwzięcia.

1.3.2. Metoda CPM - COST

Wyżej omawiana metoda CPM analizuje przedsięwzięcie tylko ze względu na czas jego realizacji. Ograniczoność środków czy też koszt realizacji przedsięwzięcia w określonym czasie nie były rozpatrywane. Wiele czynności przedsięwzięcia można wykonać w czasie krótszym, jednak powoduje to wzrost kosztów. Zależność tą prezentuje poniższa krzywa.

Koszt przedsięwzięcia

. k₁ G

k A

.

k ₂ N

t ₁ t t ₂ Czas zakończenia

Rys.1.4. Zależność czas-koszt przedsięwzięcia

Każda czynność należąca do sieci opisana jest najkrótszym t₁ i najdłuższym t₂ czasem trwania. Są one zdeterminowane warunkami techniczno - ekonomicznymi, jakie towarzyszą realizacji danego przedsięwzięcia. Czasowi t₁ odpowiada największy koszt bezpośredni k₁, a czasowi t₂ najmniejszy koszt bezpośredni k₂.

Punkt G jest punktem granicznym, a jego współrzędne - czasem i kosztem granicznym. Z kolei punkt N to punkt normalny, jego współrzędne natomiast - czasem i kosztem normalnym.

Każdy punkt krzywej reprezentuje dopuszczalne czasowo - kosztowe wykonanie przedsięwzięcia. W celu skrócenia czasu przedsięwzięcia niezbędne jest skrócenie czasu trwania pewnych czynności, co powoduje większe zapotrzebowanie na środki. Czasy nie wszystkich czynności muszą ulec skróceniu. Postępować należy w ten sposób, aby wielkość redukcji czasu przypadająca na jednostkę środka była największa.

Procedura pozwalająca wyznaczyć czynności, których czasy wykonania mogą ulec skróceniu oraz wielkość takiej redukcji, wymaga obliczenia następujących wielkości:

- oczekiwanego (bądź danego) kosztu wykonania czynności w zależności od oczekiwanego (danego) czasu jej trwania,

- czasu granicznego tzn. najkrótszego możliwego czasu trwania czynności przy największym zużyciu środków,

- kosztu granicznego, kosztu odpowiadającego najkrótszemu możliwemu czasowi wykonania czynności.

Maksymalna wielkość czasu o którą można skrócić daną czynność wyrażona jest różnicą czasu normalnego i czasu granicznego.

Celem analizy czasowo - kosztowej jest wyznaczenie terminu zakończenia przedsięwzięcia, przy którym całkowity koszt realizacji jest minimalny. Czas trwania poszczególnych czynności odgrywa w tej sytuacji podstawową rolę. Należy więc wyznaczyć czasy trwania czynności tak, aby całkowity koszt realizacji przedsięwzięcia był minimalny.

W celu skrócenia terminu zakończenia przedsięwzięcia skraca się czasy trwania kolejnych czynności krytycznych. Podczas ich zmniejszania w pierwszej kolejności należy brać pod uwagę te czynności, którym odpowiada najmniejszy wzrost nakładów. Redukcję przeprowadza się dopóty dopóki uzyska się pożądany termin jego realizacji lub wyczerpanie się możliwości dalszego skracania czasów trwania poszczególnych czynności.

1.3.3. Metoda PERT

Metoda PERT to forma planowania sieciowego wykorzystująca zdarzenia jako elementy struktury procesu. Czynności realizowane w ramach projektu mają znaczenie drugorzędne. Istotne są natomiast zdarzenia ograniczające czynności t_j - zdarzenie początkowe i końcowe. Istotnym elementem tej metody jest sposób oceny czasu trwania czynności. Z jednej strony nie możliwe jest oszacowanie danego czasu metodami statystycznymi, z drugiej zaś nie ma możliwości normowania czynności. Losowy czas trwania czynności powoduje, że analiza sieci wymaga posiadania informacji o charakterystykach rozkładu czasu trwania działań, w celu planowania i kontroli realizacji procesu.

Nazwy zdarzeń w metodzie PERT wpisywane są w okręgach wraz z podaniem numeru zdarzenia. Ponad łukami wpisywane są trzy wartości czasów, a pod nimi oczekiwana wartość czasu. Brak konieczności jednoznacznego określania czasów trwania czynności prowadzi do bardziej realistycznego oszacowania czasów. Wadą takiego podejścia jest obowiązek oszacowania trzech wartości czasów dla każdej czynności.

Cechą charakterystyczną metody PERT jest fakt, że parametry opisujące poszczególne czynności projektu mogą mieć charakter probablistyczny. Czasy trwania poszczególnych czynności są zmiennymi losowymi. Aby rozkład czasu trwania czynności mógł być wykorzystany w metodzie PERT, istotne są następujące właściwości :

- niewielka liczba parametrów,

- niesymetryczność - pochylony w lewo,

- wartości powinny leżeć w ograniczonym przedziale,

- parametry łatwe do obliczenia lub oszacowania.

Rozkład prawdopodobieństwa spełniający wymienione warunki odpowiada rozkładowi beta, którego szczególnym przypadkiem jest rozkład normalny.

Dla każdej czynności podane są trzy oceny czasu jej trwania :

a - czas optymistyczny, w którym realizacja czynności przebiega w warunkach idealnych (brak zakłóceń),

b - czas pesymistyczny, który zakłada możliwość wystąpienia zakłóceń w trakcie realizacji przedsięwzięcia,

m - czas modalny, najbardziej prawdopodobny, jest to czas przeciętny czasów trwania wielokrotnej realizacji danej czynności.

Spełniona jest przy tym relacja a ≤ m ≤ b.

Na podstawie wyżej wymienionych ocen oblicza się oczekiwany czas trwania czynności Te wg wzoru:

te = ( a +4m +b) / 6

i wariancję:

W = (b - a / 6) ²

która jest miarą rozbieżności pomiędzy ocenami czasu trwania czynności - optymistyczną i pesymistyczną. Im bliższa jest zeru, tym większe prawdopodobieństwo, że czynność zostanie zrealizowana w średnim oczekiwanym czasie.

Wyznaczenie ścieżki krytycznej w oparciu o średnie oczekiwane czasy trwania czynności to jedno z założeń metody PERT, natomiast celem najważniejszym jest ocena prawdopodobieństwa zaistnienia wybranych zdarzeń w założonym czasie.

Istotę wyżej przedstawionej metody przedstawia poniższy przykład.

Mając dane oszacowania czasów trwania poszczególnych czynności (tab.1.3.), należy znaleźć najkrótszy czas trwania przedsięwzięcia. Jakie jest prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego?

Tabela 1.3. Czasy trwania poszczególnych czynności

Czynność	Czasy
		A	M	b	Te
1-2 1-3 2-4 2-5 3-6 3-7 4-9 5-8 5-9 6-8 7-8 7-10 8-9 9-10	3 3 7 10 1 5 6 4 1 4 10 5 5	4 3 9 12 5 10 12 6 1 4 15 5 8 5	5 3 17 14 9 15 18 14 7 4 20 11 11 9	4 3 10 12 5 10 12 7 2 4 15 6 8 5

6, 12, 18

12

7,9,17 10

1,1,7

10,12,14 2

12 4,6,14 5,8,11 8 1,5,9 5

3,4,5 7

4

4,4,4

3,3,3 1,5,9 4

3 5 5,5,11

5,10,15 10,15,20 6

10 15

Rys.1.5. Sieć PERT

Najkrótszy czas - 41 jednostek

Ścieżka krytyczna - 1 - 3 - 7 - 8 - 9 - 10

Wariancja czynności krytycznych:

W = (b - a / 6) ²

W _1-3 = (3 - 3 / 6) ²= 0

W _3-7 = (15 -5 / 6) ² = 25 / 9

W _7-8 = (20 -10 / 6) ² = 25/9

W _8-9 = (11 -5 / 6) ² = 1

W _9-10 = (9 - 1 / 6) ² = 64/36 = 1,7

Σ W² = 25 / 9 +25/9 + 1 + 1,7 = 8,7

Σ W = 2,85 - jest to spodziewana wielkość odchylenia od terminu końcowego

Prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego:

td - 30 jednostek - termin dyrektywny

tw - 32 jednostki - termin rzeczywisty

X = td - tw / √ Σ W² = 30 - 32 / 7.7 = - 0.72

Prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego

P { td ≤ te} = F(x)

F(-0.72) = 0.235

Wartości prawdopodobieństwa dotrzymania terminu planowanego wynoszą 0.25 - 0.6.

Nasza wartość nie mieści się w tym przedziale. Jest znikoma szansa dotrzymania terminu dyrektywnego, wynoszącego 30 jednostek

2. CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

2. CEL PRACY

Celem pracy jest identyfikacja czynności powodujących opóźnienie czasu realizacji wybranych przedsięwzięć. Ponadto przeprowadzona zostanie także optymalizacja czasu i kosztów poprzez modyfikację czynności leżących na ścieżce krytycznej. Z wykorzystaniem metod sieciowych, analizie zostanie poddana realizacja przedsięwzięcia, którym jest produkcja denka rynny.

3. ANALIZA PRZEBIEGU PROCESU PRODUKCYJNEGO DENKA RYNNY PÓŁOKRĄGŁEJ POPRZEZ ZASTOSOWANIE METOD SIECIOWYCH

3.1. PROCES PRODUKCYJNY DENKA RYNNY PÓŁOKRĄGŁEJ

Produkcja denka rynny półokrągłej realizowana jest na dwóch maszynach: prasie z narzędziem wykrawającym, gdzie z kawałka blachy wycinany jest odpowiedni kształt, a następnie na prasie mimośrodowej z narzędziem formującym następuje tłoczenie formy i kształtu.

Analiza przeprowadzana jest dla partii 100 sztuk

OPIS CZYNNOŚCI

1 - 1 Podjęcie decyzji o produkcji denka;

1 - 2 Dobór odpowiednich maszyn;

1 - 3 Przygotowanie materiału;

2 - 4 Montaż odpowiednich narzędzi;

3 - 5 Umieszczenie materiału w prasie;

4 - 5 Ustawienie parametrów na każdej z maszyn;

5 - 6 Wykrawanie odpowiedniego kształtu;

6 - 7 Przejście na prasę mimośrodową;

7 - 8 Tłoczenie formy i kształtu na prasie mimośrodowej z narzędziem formującym;

8 - 9 Przejście na stanowisko pakowania;

9 - 10 Pakowanie i opisanie;

10 - 11 Przewóz do magazynu.

3.2. WYZNACZANIE NAJKRÓTSZEGO TERMINU REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘCIA ZA POMOCĄ METODY CPM

Analizowany przykład dotyczy procesu produkcyjnego denka rynny półokrągłej. Kolejność wykonywania czynności składających się na to przedsięwzięcie oraz czasy ich trwania (min) uzyskane w wyniku mierzenia czasów w trakcie produkcji denka zestawiono w tabeli 3.1. Za kryterium optymalności przyjęto minimalizację czasu realizacji projektu.

Produkcja denka do rynny półokrągłej nie należy do procesów skomplikowanych, proces produkcyjny odbywa się na dwóch maszynach tj. na prasie z narzędziem wykrawającym oraz na prasie mimośrodowej z narzędziem formującym. Ze względu na tak niewielką liczbę maszyn uczestniczących w tym przedsięwzięciu właściwy ich dobór trwa ok. 1 min. Materiał potrzebny w procesie jest w postaci zwoju, jego odpowiednie przygotowanie (przyniesienie z magazynu, rozpakowanie) trwa 5 min. Montaż narzędzi wymaga dokładności i precyzji, niedopuszczalne są jakiekolwiek uchybienia, w związku z tym czas potrzeby na ich zamontowanie wynosi 30 min. Na prasę mimośrodową materiał umieszczany jest w zwoju. Po wykonaniu wyżej wymienionych czynności przed rozpoczęciem produkcji należy ustawić parametry na każdej z maszyn, po czym można przystąpić do wykrawania odpowiedniego kształtu. W cyklu ręcznym czas potrzebny na wykrojenie jednego elementu to 6 sek. Ponieważ rozważana partia liczy 100 sztuk, czas potrzebny na wykonanie tej czynności wynosi 10 min. Przejście na prasę mimośrodową zajmuje 15 sek. = 0,25 min. Tłoczenie formy i kształtu, 100 szt. wcześniej wykrojonych elementów, w cyklu ręcznym na prasie mimośrodowej trwa 10 min.

Etap końcowy to pakowanie. Przejście na stanowisko pakowania to 15 sek. = 0,25 min, a samo pakowanie trwa 5 minut. Czynność kończąca ten proces to przewóz do magazynu, który trwa 2 minuty.

Tabela 3.1. Czasy trwania poszczególnych czynności

CZYNNOŚCI	CZAS TRWANIA	CZYNNOŚCI	CZAS TRWANIA
1 - 2 1 - 3 2 - 4 3 - 5 4 - 5 5 - 6	1 5 30 8,3 3 10	6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10 10 - 11	0,25 10 0,25 5 2

3.2.1. Budowa sieci, wyznaczanie najwcześniejszego możliwego terminu końcowego przedsięwzięcia oraz ścieżki krytycznej (rys.3.1.)

Budując sieć zależności należy:

• Ustalić listę czynności, z których składa się przedsięwzięcie - czynności zawarte w tabeli 3.1.

• Ustalić zdarzenie początkowe i końcowe:

• zdarzenie początkowe: 1 - 1 podjęcie decyzji o produkcji denka,

• darzenie końcowe: 10 - 11 przewóz do magazynu.

• Określić kolejność wykonywania czynności.

• Ponumerować wierzchołki.

Wyznaczenie ścieżki krytycznej dla przedsięwzięcia opisanego daną siecią czynności według algorytmu:

1. Przyjmuje się, że termin zdarzenia rozpoczynającego przedsięwzięcie jest równy 0.

2. Wyznaczanie najwcześniejszych terminów zdarzeń - termin zaistnienia następnego zdarzenia jest równy sumie najwcześniejszego możliwego momentu zaistnienia zdarzenia poprzedniego (i) oraz czasu trwania czynności poprzedzającej do zdarzenia.

t ₂ = t ₁ + t _1-2 = 0 + 1 = 1

t ₃ = t ₁ + t _1-3 = 0 + 5 = 5

t ₄ = t ₂ + t _2-4 = 1 + 30 = 31

t ₅ = t ₄ + t _4-5 = 31 + 3 = 34 w tym przypadku do zdarzenia nr 5 dochodzą dwie czynności , więc

t ₅ = t ₃ + t _3-5 = 3 + 8,3 = 11,3 możliwy moment zaistnienia tego zdarzenia jest równy max wielk.

t ₆ = t ₅ + t _5-6 = 34 + 10 = 44 t ₅ = max { 31+3, 3+8,3} = 34.

t ₇ = t ₆ + t _6-7 = 44 + 0,25 = 44,25

t ₈ = t ₇ + t _7-8 = 44,25 + 10 = 54,25

t ₉ = t ₈ + t _8-9 = 54,25 + 0,25 = 54,5

t ₁₀ = t ₉ + t _9-10 = 54, 5 + 5 = 59,5

t ₁₁ = t ₁₀ + t _10-11 = 59, 5 + 2 = 61,5

Po wyznaczeniu najwcześniejszych możliwych momentów zaistnienia wszystkich kolejnych zdarzeń , odczytuje się najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia końcowego, który wynosi 61,5 minuty.

3. Wyznaczanie najpóźniejszych dopuszczalnych momentów zaistnienia zdarzeń. Przyjmuje się, że najpóźniejszy termin wystąpienia zdarzenia kończącego przedsięwzięcie jest równy najwcześniejszemu terminowi wystąpienia tego zdarzenia.

• Najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia poprzedniego (j) oblicza się odejmując od najpóźniejszego dopuszczalnego terminu zdarzenia następnego (j) czas trwania czynności i - j .

• Jeżeli do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, wybiera się najmniejszą.

T ₁₁ = 61,5

T ₁₀ = t ₁₁ - t _10-11 = 61,5 - 2 = 59,5

T ₉ = t ₁₀ - t _9-10 = 59,5 - 5 = 54,5

T ₈ = t ₉ - t _8-9 = 54,5 - 0,25 = 54,25

T ₇ = t ₈ - t _7-8 = 54,25 - 10 = 44,25

T ₆ = t ₇ - t _6-7 = 44,25 - 0,25 = 44

T ₅ = t ₆ - t _5-6 = 44 - 10 = 34

T ₄ = t ₅ - t _4-5 = 34 - 3 = 31

T ₃ = t ₅ - t _3-5 = 34 - 8,3 = 25,7

T ₂ = t ₄ - t _2-4 = 31 - 30 = 1

T ₁ = t ₂ - t _1-2 = 1 - 1 = 0

4. Obliczenie zapasu czasu w celu wyznaczenia ścieżki krytycznej.

• dla zdarzeń jest to różnica pomiędzy najpóźniejszym dopuszczalnym

a najwcześniejszym możliwym terminem danego zdarzenia L _j = T_j - t_j

L ₁₁ = 61,5 - 61,5 = 0

L ₁₀ = 59,5 - 59,5 = 0

L ₉ = 54,5 - 54,5 = 0

L ₈ = 54,25 - 54,25 = 0

L ₇ = 44,25 - 44,25 = 0

L ₆ = 44 - 44 = 0

L ₅ = 34 - 34 = 0

L ₄ = 31 - 31 = 0

L ₃ = 25,7 - 5 = 20,7

L ₂ = 1 - 1 = 0

L ₁ = 0 - 0 = 0

• dla czynności, który wyznacza się według następującego wzoru

Z_ij = (T _j -t _i-j )- t _i

Z₁₂ = (1-1) - 0 = 0

Z₁₃ = (25,7-5) - 0 = 20,7

Z₂₄ = (31-30) - 1 = 0

Z₄₅ = (34-3) - 31 = 0

Z₃₅ = (34-8,3) - 5 = 20,7

Z₅₆ = (44-10) - 34 = 0

Z₆₇ = (44,25-0,25) - 44 = 0

Z₇₈ = (54,25-10) - 44,25 = 0

Z₈₉ = (54,5-0,25) - 54,25 = 0

Z_{9 10} = (59,5-5) - 54,5 = 0

Z_{10 11} = (61,5-2) - 59,5 = 0

5. Podsumowanie

• najkrótszy termin realizacji przedsięwzięcia 61,5 minuty

• ścieżka krytyczna 1-2-4-5-6-7-8-9-10-11

• zapas czasu 20,7 minut

WNIOSKI

Realizacja przedsięwzięcia, jakim jest proces produkcji partii100 sztuk denka do rynny półokrągłej, trwa 74,8 minuty. Najkrótszy możliwy termin jego realizacji wynosi 61,5 minut. Czas ten uzyskano dzięki zastosowaniu sieci CPM, która pomogła w osiągnięciu przejrzystego obrazu przebiegu całego procesu, a tym samym zwrócenia szczególnej uwagi na przyczyny spowalniające dany proces. Niezwykle ważne jest również by nie przekroczyć terminu zakończenia którejkolwiek czynności krytycznej, ponieważ spowoduje to opóźnienie wykonania całego przedsięwzięcia. W związku z tym należy skupić się przede wszystkim na zadaniach krytycznych, które odgrywają kluczową rolę w przebiegu całego procesu

3.3. ANALIZA CZASOWO - KOSZTOWA PROCESU PRODUKCYJNEGO DENKA RYNNY PÓŁOKRĄGŁEJ POPRZEZ ZASTOSOWANIE CPM - COST

Przyspieszenie terminu wykonania czynności powoduje wzrost kosztów, co kłóci się z oczekiwaniami odbiorców, którzy domagają się efektów przy minimalnych kosztach.

Dane pozwalające na określenie czy rozpatrywane przedsięwzięcie można wykonać w krótszym czasie, bez większych obciążeń finansowych zawarte są w tabeli 3.2.

Czynności przygotowawcze do których należą czynności 1-2, 1-3 ,2-4 ,3-5 ,4-5 oraz czynności 6-7, 8-9, 9-10 i 10-11 wykonywane są przez jednego pracownika. Sprawniejsze działanie zapewni z pewnością współpraca dwóch osób, dzięki czemu czas trwania poszczególnych czynności ulegnie skróceniu. Należy jednak wziąć pod uwagę, iż każdy dodatkowy pracownik na danej zmianie to dodatkowe koszty z tytułu wynagrodzeń, które tym samym przyczyniają się do wzrostu kosztów całkowitych przedsięwzięcia.

Wykrawanie kształtu oraz tłoczenie formy i kształtu na prasach w cyklu ręcznym , dla partii 100 sztuk, trwa po 10 minut na każdej z maszyn. Możliwe jest skrócenie czasu trwania tych czynności do 4 minut każda, jeżeli wykonywane będą w cyklu półautomatycznym. Chociaż maszynogodzina to 42 zł, a roboczogodzina to 15,50 zł (ceny w TOMICZEK), koszt danych czynności wzrośnie w bardzo niewielkim stopniu.

Tabela 3.2. Czasy i koszty poszczególnych czynności

CZYNNOŚCI	tn (min )	tg (min )	Kn (zł )	Kg (zł )	S
1 - 2 1 - 3 2 - 4 3 - 5 4 - 5 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10 10 - 11	1 5 30 8,3 3 10 0,25 10 0,25 5 2 74,8	0,83 4 20 7,5 2,0 4 0,16 4 0,16 4 1,2 47,85	0,26 1,29 7,75 2,14 0,77 2,58 0,06 2,58 0,06 1,29 0,52 19,30	0,43 2,06 10,33 3,87 1,03 2,8 0,08 2,8 0,08 2,06 0,62 26,06	1,00 0,77 0,26 2,16 0,26 0,04 0,22 0,04 0,22 0,77 0,12

gdzie:

t_n - normalny czas trwania czynności, któremu odpowiadają najniższe koszty wykonania czynności K_n

t_g - czas graniczny, najkrótszy możliwy ze względów technicznych i technologicznych czas wykonania czynności przy koszcie granicznym K_g

S - średni gradient kosztu, określa przyrost kosztów wykonania czynności spowodowany skróceniem czasu wykonania czynności o jednostkę

3.3.1. Budowa sieci, wyznaczanie najwcześniejszego możliwego terminu końcowego przedsięwzięcia oraz ścieżki krytycznej (rys.3.1.)

Wszystkie czynności związane z budową sieci, wyznaczaniem terminu realizacji przedsięwzięcia oraz ścieżki krytycznej przebiegają w ten sam sposób jak w punkcie 3.2.1.

• termin końcowy przedsięwzięcia - 61,5 minuty;

• ścieżka krytyczna 1-2-4-5-6-7-8-9-10-11;

• zapas czasu czynności niekrytycznych wynosi 20,7 minuty.

3.3.2. Obliczanie gradientu kosztów dla czynności krytycznych

S = (K_g - K_n) / t_n - t_g

Wartości gradientów dla czynności krytycznych zawiera powyższa tabela.

3.3.3. Skracanie czasu wykonania czynności

Rozpoczyna się od czynności o najniższym gradiencie kosztów S.

Czynnościami o najmniejszych współczynnikach wzrostu kosztów S są czynności 5 - 6

i 7 - 8, dla których S = 0,04. Czasy trwania tych czynności można skrócić do 4 minut ( t_g = 4 min). Tym samym czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 49,5 minuty (rys.3.2.).

Wzrost kosztów spowodowany skróceniem wyniósł :

Czynności Koszt przyspieszenia

5 - 6 0,04 · 6 = 0,24

7 - 8 0,04 · 6 = 0,24

K₁ = 0,48

Kolejna czynność o najniższym gradiencie to czynność 10 - 11, dla której S = 0,12. Czas jej trwania można skrócić do 1,2 minuty. Tym samym czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 48,7 minut (rys.3.3. ).

Wzrost kosztów wyniósł :

K₂ = 0,12 · 0,8 = 0,1

Kolejne to czynności 6 - 7 i 8 - 9, dla których S = 0,22. Czas trwania tych czynności można skrócić do 0,16 minuty . Czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 48,52 minut ( rys.3.4.).

Wzrost kosztów wyniósł :

K3=0,22 0,09 =0,02

Kolejna czynność to czynność 2 - 4, dla której S = 0,26. Czas jej trwania można skrócić do 20 minut. Czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 38,52 minut ( rys.3.5.).

Wzrost kosztów wyniósł :

K₄ = 0,26 · 10 = 2,6

Kolejna czynność to czynność 4 - 5, dla której S = 0,26. Czas jej trwania można skrócić do 2 minut. Czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 37,52 minut ( rys.3.6.).

Wzrost kosztów wyniósł :

K₅ = 0,26 · 1 = 0,26

Kolejna czynność to czynność 9 - 10, dla której S = 0,77. Czas jej trwania można skrócić do 4 minut. Czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 36,52 minut (rys.3.7.).

Wzrost kosztów wyniósł :

K₆ = 0,77 · 1 = 0,77

Kolejna to czynność 1 -2, dla której S = 1. Czas jej trwania można skrócić do 0,83 minuty. Czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 36,35 minut (rys.3.8.).

Wzrost kosztów wyniósł :

K₇ = 1 · 0,17 = 0,17

Wszystkie czynności leżące na ścieżce krytycznej osiągnęły czasy graniczne, dlatego dalsze skracanie czasu realizacji przedsięwzięcia jest niemożliwe.

Całkowity koszt przyspieszenia czasu wykonania przedsięwzięcia jest równy sumie kosztów poniesionych w kolejnych etapach i wynosi :

K_c = K₁ + K₂ + K₃ + K₄ + K₅ + K₆ + K₇ = 0,48 + 0,1 + 0,04 + 2,6 + 0,26 + 0,77 + 0,17 =4,42

K_c = 4,42

WNIOSKI

Czas trwania produkcji denka do rynny został skrócony z 61,5 minuty do 36,35 minut, gdzie koszt przyspieszenia czasu produkcji wyniósł 4,42 złoty.

Koszt normalny wyprodukowania 100 sztuk wynosi 19,30 złoty. Analizując powyższy wynik można stwierdzić, że skrócenie czasu trwania przedsięwzięcia do 36,35 minut jest opłacalne. Koszt produkcji jednej sztuki wzrośnie o 0,05 zł, co w konfrontacji z zaoszczędzonym czasem 25 minut, jest ekonomicznie uzasadnionym działaniem.

3.4. WYZNACZANIE NAJKRÓTSZEGO CZASU TRWANIA PRZEDSIĘWZIĘCIA ORAZ OSZACOWANIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA DOTRZYMANIA TERMINU DYREKTYWNEGO 50 MINUT, STOSUJĄC METODĘ PERT

Mając dane o czasach trwania poszczególnych czynności rozpatrywanego przedsięwzięcia (tabela 3.3.) , możliwe jest określenie najkrótszego czasu jego trwania, a także sprawdzenia jakie jest prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego. W przypadku denka do rynny półokrągłej, termin dyrektywny wynosi 50 minut. Jest to czas zakończenia przedsięwzięcia, założony przez kierownika produkcji, który pozwoliłby zminimalizować cykl produkcyjny, i zmieścić się w czasie zawartym w normach branżowych i standardach spółki TOMICZEK.

Dla każdej czynności podane zostały trzy czasy jej trwania :

a - czas optymistyczny - czas trwania w najbardziej sprzyjających warunkach,

m - czas najbardziej prawdopodobny,

b - czas pesymistyczny - czas trwania w najmniej sprzyjających warunkach.

Czasy te, dla każdej z czynności, pochodzą z materiałów udostępnionych przez firmę TOMECZEK, opartych na obserwacjach procesów, ze szczególnym zwróceniem uwagi na awarie, jak również na częstość ich występowania w trakcie trwania danego przedsięwzięcia. Na tej podstawie, z pośród danych z lat 1999 - 2002, wyznaczone zostały średnie czasy trwania każdej z czynności.

Czas optymistyczny zakłada, że w trakcie wykonywania czynności nie wystąpią

żadne trudności, proces przebiegał będzie w warunkach idealnych. Biorąc pod uwagę doświadczenie pracowników podczas wykonywania czynności przygotowawczych takich jak czynności 1-2, 1-3, 2-4, 3-5, 4-5 sytuacją najodpowiedniejszą będzie długoletnia praca na danym stanowisku, czego efektem jest m.in. krótszy czas trwania poszczególnych czynności.. Z kolei osoba nowo zatrudniona, niedoświadczona może natrafić na różnego rodzaju przeszkody, w trakcie wykonywania prac., powodem których będzie opóźnienie w realizacji przedsięwzięcia.

Podobnie także jest w przypadku maszyn i urządzeń. Nowe maszyny działają z dużo większą wydajnością w porównaniu z urządzeniami wyeksploatowanymi w pewnym stopniu. Wydłużenie czasu trwania poszczególnych czynności może być również spowodowane awarią jednej z maszyn.

Ostatnia kolumna tabeli 3.3. zawiera oczekiwane czasy trwania poszczególnych czynności, które obliczone zostały według wzoru t_e = (a + 4m + b ) / 6.

Tabela 3.3. Czasy trwania poszczególnych czynności

CZYNNOŚĆ	CZASY (min)
		A	m	b	te
1 - 2 1 - 3 2 - 4 3 - 5 4 - 5 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10 10 - 11	0,83 4 20 7,5 2 10 0,16 10 0,16 4 1,2	1 6 40 9,5 3,5 12 0,25 12 0,25 6 2,5	2,5 7 55 10,5 5 15 0,35 15 0,35 8 3	1,22 5,83 39,16 9,33 3,5 12,16 0,25 12,16 0,25 6 2,36

3.4.1. Budowa sieci, wyznaczanie najkrótszego możliwego czasu trwania przedsięwzięcia (rys.3.9.)

• najwcześniejszy oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia wynosi 77,06 minut,

• ścieżka krytyczna 1-2-4-5-6-7-8-9-10-11,

• zapas czasu czynności niekrytycznych wynosi 28,72 minut.

3.4.2. Obliczanie wariancji czasu oczekiwanego dla czynności krytycznych

σ² _{i - j} = (b - a / 6 ) ²

σ² _1-2 = (2,5 - 0,83 / 6 ) ² = 0,082

σ² _2-4 = (55 - 20 / 6 ) ² = 33,98

σ² _4-5 = (5 - 2 / 6 ) ² = 0,25

σ² _5-6 = (15 - 10 / 6 ) ² = 0,689

σ² _6-7 = (0,35 - 0,16 / 6 ) ² = 0,001

σ² _7-8 = (15 - 10 / 6 ) ² =0,689

σ² _8-9 = (0,35 - 0,16 / 6 ) ² = 0,001

σ² _9-10 = (8 - 4 / 6 ) ² = 0,435

σ² _10-11 = (3 - 1,2 / 6 ) ² = 0,09

∑ σ² _{i - j} = 36,22 stąd ∑ σ = 6,01, czyli spodziewana wielkość odchylenia rzeczywistego terminu wykonania przedsięwzięcia od wyznaczonego z sieci terminu oczekiwanego (77,06) wynosi 6,01 (plus lub minus).

3.4.3. Oszacowanie prawdopodobieństwa dotrzymania terminu dyrektywnego 50 minut

Znając oczekiwany termin wykonania oraz jego wariancję, można obliczyć prawdopodobieństwo zakończenia przedsięwzięcia w ciągu 36,35 minut.

W celu określenia tego prawdopodobieństwa oblicza się statystykę wyrażoną

następującym wzorem:

X = ( t_d - t_w ) / ∑ σ²

gdzie: t_d - termin dyrektywny,

t_w - oczekiwany termin wykonania przedsięwzięcia,

∑ σ² - wariancja czasu trwania przedsięwzięcia.

X = ( 50 - 77,06 ) / 36,22

X = - 0,75

Dla obliczonego współczynnika X z tablic odczytuje się prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego tzn. P{ t_d ≤ t_w }= F(X), więc F (-0,75 ) = 0,25.

WNIOSKI

Wartości prawdopodobieństwa dotrzymania terminu planowanego powinny znajdować się w granicach 0,25 do 0,6. W przypadku przedsięwzięcia dotyczącego produkcji denka rynny półokrągłej F(X) = 0,25, co oznacza, że istnieje szansa dotrzymania terminu 50 minut.

ZAŁĄCZNIKI

ZAŁĄCZNIK 1

POSZCZEGÓLNE SIECI

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

2

4

3

2

7

6

5

1

2

• 24

9

3

23 32

9

6

41 41

0

1

• 0

0

5

21 21

0

4

10 10

0

7

13 13

0

3

3 3

0

6

8 24

16

1

0 0

0

10

41 41

0

8

28 28

0

2

4 9

5

5

16 21

5

4

14 25

11

9

36 36

0

---