Aproksymacja za pomocą

stycznej do

krzywej miejsca zerowe

go funkcji:

Aproksymacja za pomocą

siecznej dowolnej

krzywej funkcji =

interpolacja liniowa

Algorytm w którym nawet zwiększając

dokładność danych wejściowych otrzymujemy

złe rozwiązania jest algorytmem niestabilnym

numerycznie

Wskaźnik uwarunkowania algorytmu:

Błędy danych wejściowych: błędy pomiarowe,

dokładność stałych użytych w obliczeniach.

Błędy zaokrągleń: precyzja zapisu liczb,

- zaokrąglenia i obcięcia liczb, przenoszenie się

błędów w działaniach arytmetycznych.

Błędy obcięć: obcięcia nieskończonych szeregów,

- skończona liczba kroków iteracji,

- dyskretyzacja procesów ciągłych w tym zamiana

pochodnych na ilorazy różnicowe,

aproksymacje.

Błędy modelu numerycznego:

idealizacje matematyczne rzeczywistości,

Błędy człowieka:

nieoptymalna metoda, algorytm, procedura,

pomyłki, błędne założenia itp.

Błąd bezwzględny ၥ:

Błąd względny r:

2)BISEKCJA- Przebieg algorytmu:Należy sprawdzić, czy pierwiastkiem równania jest punkt , czyli czy f(x1) = 0. Jeżeli tak jest, algorytm kończy się. W przeciwnym razie x1 dzieli przedział [a,b] na dwa mniejsze przedziały [a,x1] i [x1,b]. Następnie wybierany jest ten przedział, dla którego spełnione jest drugie założenie, tzn. albo f(x1)f(a) < 0 albo f(x1)f(b) < 0.

Cały proces powtarzany jest dla wybranego przedziału. Działanie algorytmu kończy się w punkcie 2, lub po osiągnięciu żądanej dokładności przybliżenia pierwiastka.

MET. NEWTONA-Założenia metody są następujące:

W przedziale [a,b] jest dokładnie jeden pierwiastek.

Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj.

Działanie met Newtona,(4 pierwsze kroki).

1)metody wybierany jest ten kraniec przedziału, dla którego znak funkcji i drugiej pochodnej są równe, z tego punktu (albo (a,f(a)) albo (b,f(b))) wyprowadzana jest styczna. Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią OX jest pierwszym przybliżeniem rozwiązania (ozn. x1).

Jeśli przybliżenie nie jest satysfakcjonujące, to punkt (x1,f(x1)) jest wybierany jako koniec przedziału i wszystkie czynności są powtarzane. Proces jest kontynuowany, aż dostaniemy wystarczająco dobre przybliżenie pierwiastka.

MET. SIECZNYCH-Metoda analogiczna do metody Newtona, ale pochodną przybliżamy ilorazem różnicowym:

UWAGA: nie należy wymnażać ostatniego wyrażenia

MET. PKT STAŁEGO-Problem f(x)=0 zamieniamy na problem g(x)=x

W ogólności g(x)Ⴚf(x)+x , ale funkcję g(x) możemy otrzymać także przez proste inne operacje matematyczne.

Punkt stały iteracji:

3)WIELOMIANY

Schemat Kornera-stopnia n dla ustalonej wartości argumentu x polega na rozwinięciu wielomianu wg potęg dwumianu

w(x) = (...((((a0x + a1) x + a2) x + a3) x +... an-1) x + an

Zauważmy, że tak zapisany wielomian możemy obliczać w kolejnych krokach:

w0 = a0
w1 = w0 x + a1
W2 = w1 x + a2

w3 = w2 x + a3 .....

Wn = w n-1 x + an 

 wykonując o wiele mniej obliczeń arytmetycznych.

Scemat Hornera n dodawań i n mnożeń (podstawianie)

Metoda iteracyjna Laguerre'a-

Powiązanie metody siecznych i wielokrotnego dzielenia syntetycznego:Algorytm

1. 
   Obliczamy współczynniki:

2Obliczamy pochodne:

3Obliczamy wyrażenie:

4Wzór iteracyjny:

4) Metoda eliminacji Gaussa

Eliminacja niewiadomych w pewien systematyczny sposób dający układ trójkątny,który następnie można rozwiązać przez podstawienie wstecz.

Eliminujemy z równań 2,3, ... ,n zmienną x1 przez odjęcie od i-tego równania pierwszego równania pomnożonego przez:

otrzymujemy:

Eliminujemy z równań 3,4 ... ,n zmienną x2 przez odjęcie od i-tego równania drugiego równania pomnożonego przez:

Rozwiązanie układu trójkątnego

Mamy z podstawiania wstecz:

Wartości i wektory własne macierzy-

Macierz A (nxn) posiada niezerowe wektory własne xi wtedy gdy spełniają one następującą relację:

A xi = ၬi xi (i=1,2, ... ,n)

Liczby ၬi nazywamy wartościami własnymi macierzy A.

METODA ANALITYCZNA:

Wartości własne obliczamy z relacji (wielomianu charakterystycznego n-tego stopnia):

W(ၬ)=det(A-ၬI) = 0

Znając n wartości własnych, wektory własne obliczamy z relacji:(A - ၬi I ) xi = 0

Z drugiej strony znając wektory własne xi wartości własne obliczamy ze wzoru:

5) METODA PROSTOKĄTÓW (punktu środkowego)

Ustalamy wagi: Ai = h

Metoda jednopunktowa - wybieramy punkt środkowy

przedziału elementarnego: x = (xi-1+xi)/2

Wzór dla metody punktu środkowego:

METODA TRAPEZÓW

Ustalamy wagi: Ai-1= Ai = h/2

Metoda dwupunktowa - wybieramy punkty skrajne

przedziału elementarnego: xi-1 , xi

Wzór dla metody trapezów:

METODA PARABOL (Metoda Simpsona):

Ustalamy wagi:

Ai-1 = h/6 Ai-1,i = 4h/6 Ai = h/6

Metoda trójpunktowa - wybieramy punkty skrajne i środkowy przedziału elementarnego: xi-1 , (xi-1+xi)/2 , xi

Wzór dla metody Simpsona:

Błąd:

Metoda Gaussa

Ustalamy wagi: Ai-1 = h/2 Ai = h/2

Metoda dwupunktowa - wybieramy punkty wewnątrz przedziału elementarnego:

Wzór dla metody Gaussa:

suma=suma+a[n]

i=i+1

Wpisz

x,a[i],n

+

il=il*x

k=k+1

k<(n-i)

k=1, il=1

+

K

i=0, suma=0

i=n

suma=suma+il*a[i]

S

Algorytm

---