ZAŁOŻENIA POMIAROWE (CECHY POMIARÓW):

- wielkość mierzona jest zbiorem zdarzeń losowych

- wartość pomiaru zawiera się w obszarze od -∞ do +∞

- pomiar wykonywany jest z niedokładnością różną od 0

- przyjmuje się, że przyrządy mają charakterystyki liniowe

- sygnał pomiarowy posiada 3 dziedziny, dla których wyznacza się funkcje będące wynikiem pomiaru (czasu, amplitudy, częstotliwości)

- losowy sygnał pomiarowy będzie traktowany jako proces stochastyczny i stacjonarny w szerszym sensie i globalnie ergodyczny

NARZĘDZIA POMIAROWE (MIERNICZE). WZORCE

Narzędzia pomiarowe dzieli się na wzorce i narzędzia pomiarowe. Cechy jednostek miar wzorców:

- niezmienność w czasie. Warunek ten jest niezgodny z założeniem, że pomiar wykonywany jest z niedokładnością różną od zera i dlatego zapiszemy to w postaci równania X = W₀ + f(t), gdzie W₀ - jest stałe, a f(t) jest losową funkcją czasu.

- łatwość odtworzenia

- łatwość stosowania

- największa dokładność odczytu.

Wzorce dzielą się na podstawowe, I rzędu, II rzędu. Wzorce podstawowe są zdefiniowane zgodnie z układem SI. Jednostkami podstawowymi będącymi wzorami podstawowymi zgodnie z układem SI są: metr, kilogram, sekunda, Amper, Kelwin, Kandela, Mol

POMIAR - czynność pobrania ze zbioru x wielkości xi i przyporządkowania do uporządkowanego zbioru y: yi ≤ xi ≤ yi+1

W pomiarze biorą udział dwa zbiory:

x - zbiór wielkości mierzonych (nieuporządkowany)

y - zbiór wielkości pomierzonych (uporządkowany wg wartości lub innych elementów)

Niedokładność pomiaru yi+1 - yi = 2εi > 0 2ε jest to niedokładność pomiaru , którego wartość jest symetrycznie rozłożona po dwóch stronach osi symetrii rozkładu prawdopodobieństwa wystąpienia błędu.

PARAMETRY CHARKT. PRZYRZĄD POMIAROWY:

nazwa (powinna zawierać rodzaj wielkości mierzonej, metodę pomiaru, sposób przekazywania wyniku)

klasa niedokładności (każdy przyrząd pomierzony posiada graniczną wielkość błędu. Niedokładność podawana jest w %)

błędy dodatkowe (powstają gdy pomiar był dokonywany w warunkach odmiennych od warunków w których było dokonywane skalowanie)

właściwości dynamiczne przyrządu (zdolność przyrządu do pomiaru wielkości zmianującej się w czasie. Odnoszone do przetwarzania dynamicznego posiadają zakresy zmiany w 3 dziedzinach: amplitudy, czasu, częstotliwości)

niezawodność przyrządu (prawdopodobieństwo bezbłędnego wykonania określonego pomiaru)

CECHY METRO. PRZYRZĄDÓW POMIAROWYCH:

- wskaźniki ograniczające miarę - obszar mierniczy narzędzia

- skala (podziałki) - czułość przyrządu

- działka elementarna - dokładność przyrządu

- wartość działki elementarnej - przełożenie wskazań

- obszar mierniczy podziałki - błąd wskazań przyrządu

PRZETWARZANIE WIELK. MIERZONEJ NA POMIERZONĄ:

Istnieje dwa rodzaje przetwarzań:

Statyczne - zbiór wielkości mierzonej zamieniony zostaje na 1 wartość. Tych wartości może być tyle, ile razy został wykonany proces zamiany

Dynamiczne - zbiór wielkości mierzonych został przetworzony w całości na zbiór wielkości pomierzonych. Zbiór wielkości pomierzonych został uporządkowany według zmiennej niezależnej, jaką jest czas. Przetwarzanie statyczne jest szczególnym przypadkiem przetwarzania dynamicznego.

WPŁYW PRZYRZĄDU POMIAR. NA WIELKOŚĆ MIERZONĄ

Przyrząd (przetwornik do przetwarzania dynamicznego) nie może wpływać na wartość mierzoną, ponieważ musi posiadać cechy:

- wartość sygnału pomierzonego powinna być zależna tylko i wyłącznie od wartości sygnału mierzonego.

- małe oddziaływanie przyrządu na wielkość mierzoną. Ta cecha jest jedną z wymaganych cech przetworników do przetwarzania dynamicznego. Jeżeli już wpływa to powinien w sposób niewielki, albo dający się jednoznacznie określić, co do wielkości.

PRZETWORNIK POMIAROWY - element przyrządu pomiarowego lub przyrząd pomiarowy, który przetwarza wielkość mierzoną na pomierzoną. W metrologii przyjmujemy że mają charaktery liniowe. Do ich opisu używamy parametrów skupionych (równania różniczkowe zwyczajne) lub gdy używamy parametrów rozłożonych (równania różniczkowe cząstkowe). Rodzaje:

- czynne (na wyjściu wielkość pomierzona ma cechy energetyczne)

- bierne (na wyjściu wielk. pomierzona nie ma cech energetycznych)

Cechy przetwornika dynamicznego:

- wartość sygnału y zależy wyłącznie od zmiany wielkości x

- funkcja przetworzenia powinna być jednoznaczna w całym zakresie pomiarowym i być niezależna od czasu

- poch. dy/dx powinna mieć określoną wartość i być niezależna od x

- przetwornik na wyjściu powinien zapewniać dogodną postać energii (najlepiej elektryczną)

- w przetworniku poziom szumów powinien w stosunku do sygnału mierzonego mieć małą wartość

- przetwornik powinien posiadać małe oddziaływanie na wlk. mierzoną

- przetwornik powinien posiadać znane przesunięcie fazowe lub brak

PRZYRZĄD POMIAROWY

Przyrząd można rozłożyć na elementy (elementarny stopień przetwarzania). Te można łączyć w układy:

- otwarty (połączenie elementarnych stopni przetwarzania w obwód szeregowy lub równoległy)

- zamknięty (obwód ze sprzężeniem zwrotnym)

ESP DLA PRZETWARZANIA DYNAMICZNEGO:

Dla przyrządu i przetwarzania dynamicznego rozważamy przypadki:

- na wejściu wielkością mierzoną jest sygnał zdeterminowany. Stosuje się transformatę Laplace'a i uzyskujemy równanie: y(s) = k(s) * x(s) gdzie s = d/dt - operator Laplace'a; k(s) - transmitancja operatorowa elementarnego stopnia przetwarzania.

- mając strukturę przyrządu można znaleźć zależność między wejściem i wyjściem z przyrządu, wprowadzając operator Fouriera s = jω. Otrzymamy wtedy zależność: y(jω) = k(jω) * x(jω) gdzie

k(ωj) - widmowa transmitancja elementarnego stopnia przetwarzania

WYZNACZENIE FUNKCJI CHARAK. SYGNAŁ LOSOWY:

W dziedzinie częstotliwości:

Jest konieczne ze wg na zdefiniowanie zależności między wejściem a wyjściem w elementarnym stopniu przetworzenia, gdy na wejściu jest sygnał losowy.

Wyznaczenie funkcji gęstości widmowej mocy metodą analogową:

F - filtr pasmowy; UC - układ całkujący;

K - kwadrator; T - czas trwania analizy

Funkcja koherencji przybiera wartość z przedziału [0,1]. W zależności od wartości z przedziału, możemy mieć do czynienia z jednym z przypadków:

- wyniki pomiaru są obarczone błędem wynikającym z obecności szumów zewnętrznych

- układ wiążący sygnały x(t) i y(t) jest nieliniowy

- sygnał y(t) jest wynikiem nie tylko oddziaływania na wejściu x(t), ale również innych sygnałów pojawiających się na wejściu.

W dziedzinie czasu:

Realizacja - sygnał będący funkcją czasu. Sygnał przedstawiony przez jedną realizację musi posiadać własności stacjonarności w szerszym sensie i być globalnie ergodyczny.

Funkcja autokorelacji - wyznaczamy ją zakładając, że wartość średnia jest równa 0.

Funkcja autokowariancji - dla
jest to funkcja średniokwadratowa. Jeżeli wartość średnia jest różna od 0.

ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY DZIEDZINAMI SYGNAŁU:

P(A) - gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy,

k(τ) - funkcja autokorelacji

y(t) - realizacja sygnału będącego procesem stochastycznym

cov(τ) - funkcja autokowariancji

Sy(ω) - gęstość widma mocy

- wartość średnia - moment zwykły I rzędu

δ2 - wariancja

y2 - wartość średniokwadratowa

ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY WYJSCIEM A WEJSCIE ESP:

- przetwarzanie statyczne: y = kx Wartości wyznaczone tworzą ciąg losowych zdarzeń.

- przetwarzanie dynamiczne: na wejściu sygnał zdeterminowany

w dziedzinie amplitudy mocy: y(s) = k(s) * x(s)

w dziedzinie częstotliwości: y(jω) = k(jω) * x(jω)

na wejściu sygnał losowy: SY(jω) = |k(jω)|^2 * SX(jω) gdzie SX(jω) - gęstość widmowa na wejściu; SY(jω) - na wyjściu

PRZEJŚCIE MIĘDZY DZIEDZINAMI ω, A, t:

ω A: jeżeli znamy gęstość widmową mocy, która powstała z funkcji korelacji k(τ) to możemy wyznaczyć moment I rzędu E(x)

ω t: mając gęstość widmową mocy SY(ω) możemy przejść do funkcji autokorelacji cov(τ) przez odwrotną trans. Fouriera F-1

t ω: poprzez trans. Fouriera F lub szybką trans. Fouriera FFT

t A: dla τ = 0 z funkcji korelacji k(τ) wyznaczam wartość średniej kwadratowej y2 albo wartość wariancji δ2

A t: stosuje się generator liczb losowych na podstawie którego wyznacza się funkcję korelacji k(τ)

A ω: przez analizę rozkładu gęstości prawdopodobieństwa P(A)

KLASYFIKACJA SYGNAŁÓW LOSOWYCH:

PROCES IDENTYFIKACJI

Zbiór czynności, który prowadzi do zdefiniowania struktury. Identyfikacja pełna - identyfikuje się parametry niezbędne do sformułowania modelu matematycznego.

ZBIÓR UPORZĄDKOWANY I NIEUPORZĄDKOWANY

Zbiór nieuporządkowany - jego elementy nie są uszeregowane w żadnej ustalonej kolejności i każdy z nich jest traktowany tak samo

Zbiór uporządkowany - przetworzony przez relacje porządkującą zbiór X. Funkcja porządkująca powinna być relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze X.

BŁĄD GRUBY - błąd, którego wartości przekraczają pewną wartość zwaną graniczną. Zakładając, że pomiary należą do rozkładu normalnego możemy odrzucić te wartości, które nie mieszczą się w 99,7% rozkładu normalnego czyli nie spełniają równania
gdzie
- wartość średnia,
- odchylenie standardowe. Przyczynami błędów grubych są: pomyłki, wadliwe funkcjonowanie urządzenia pomiarowego. Wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest niewiarygodny i nie jest brany pod uwagę. Błąd gruby eliminujemy za pomocą testu Romanowskiego.

BŁĄD SYSTEMATYCZNY - błąd, w którym znamy źródło jego powstawania. Jest on co do znaku i wartości stały.

Wyzna. MAX i MIN wartości realizacji procesu stochastycznego:

- mamy histogram a następnie funkcję gęstości prawdopodobieństwa, wielkości max i min i znajdujemy odp. jakie jest prawdo. wystąpienia tych max i min.

- mamy histogram a następnie funkcję gęstości prawdo. Przyjmujemy, że interesuje nas aby wartości max i min wystąpiły z prawdo. 1 - α, zakładamy wielkość α, jeśli te wielkości są poza tą granicą to obliczamy je i powtarzamy procedurę.

TEST ROMANOWSKIEGO:

- z danych eksperymentalnych wyznaczamy x(t) wartość średnią oraz wartości min i max

- przyjmujemy poziom istotności α oraz dla danej N odczytujemy z tablic t

- jeśli są spełnione nierówności To należy odrzucić wartości min i max jako obarczone błędem grubym na poziomie istotności α. Następnie powtarzamy obliczenia wartości średniej oraz wariancji i odchylenia standardowego, powtarzamy procedurę tak długo aż ilorazy będą mniejsze od t.

GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA wystąpienia amplitudy

- wyznaczenie funkcji największej wiarygodności a następnie wyznaczenie parametrów, które występują w zależnościach analitycznych

- wybór testu zgodności

- przyjęcie poziomu istotności α, dla którego jest przeprowadzony test zgodności

- weryfikacja hipotezy Ho

METODY TESTOWANIA HIPOTEZY Ho

Dokonuje się weryfikacji hipotezy Ho , która mówi, że dwa rozkłady teoretyczny i praktyczny nie mogą być opisane tą samą zależnością matematyczną. W naszym przypadku zgodność tych dwóch krzywych to odrzucenie hipotezy Ho. Otrzymujemy rezultaty hipotezy Ho dla każdego przedziału xi + Δx. Może okazać się, że dla różnych przedziałów mogą być różne rezultaty, raz odrzucimy hipotezę Ho, raz tę hipotezą przyjmiemy. Można więc dokonać testowania hipotezy Ho w każdym przedziale.

GLOBALNIE ERGODYCZNY I STACJONARNY

Stacjonarny w szerszym sensie: dla procesu stochastycznego x(t) istnieje wartość przeciętna Ex(t) i funkcja korelacyjna KX (t1,t2) jeżeli: Ex(t) = const; KX(t1,t2) = KX(t1-t2) = KX(τ); τ = t1-t2 wartości funkcji autokorelacji zależą tylko od różnicy τ = t1-t2

Globalnie ergodyczny: Ex(i) = lim T∞ (1/To ∫ Txi(t)dt); KX(τ, i) = lim T∞ (1/To ∫ Txi(t) xi(t+τ)dt) są jednakowe dla różnych realizacji

LINIOWOŚĆ + PRZYKŁAD

Zjawisko liniowości wykorzystuje się w przetwornikach pomiarowych

Przyjmuje się, że przyrządy mają charakterystyki liniowe, ale w rzeczywistości wszelkie charakterystyki będą miały mechaniczny charakter. Liniowość gwarantuje że wszystkie przyrządy w danym zakresie pomiarowym mają takie samo położenie niezależnie od wielkości mierzonej. Parametry przyrządu o charakterystyce liniowej nie zmieniają się w czasie. Np. Tensometr - przetwornik o charakterystyce liniowej, jego odkształcenie zmienia się w sposób liniowy w stosunku do rezystancji - gdy jest rozciągany to rezystancja się zwiększa.

CZĘSTOŚĆ ZDARZEŃ (WYSTĘPOWANIA AMPLITUDY)

- wyznaczenie częstości w postaci czasu przebywania realizacji w wielkości xi + Δx, gdzie xi - wartość sygnału; Δx - wartość przedziału, w którym znajduje się realizacja. Txi - czas przebywania wielkości xi w przedziale xi + Δx;

Jeżeli T ∞ a Δx 0 to częstość prawdo.

nxi - liczba zdarzeń, w których nastąpiło przekroczenie realizacji przez poziom xi

n'xi - liczba zdarzeń, w których nastąpiła zmiana znaku pochodnej w i-tym przedziale

HISTOGRAM a KRZYWA SCHODKOWA

Histogram odpowiada f. gęstości prawdopodobieństwa, a krzywa schodkowa dystrybuancie ciągłej.

Założenia dotyczące sygnałów pomiarowych:

- sygnał pomiarowy posiada trzy dziedziny (czasu, amplitudy, częstotliwości), dla których wyznacza się funkcje będące wynikiem pomiaru

- losowy sygnał pomiarowy będzie traktowany jako proces stochastyczny stacjonarny w szerszym sensie i globalnie ergodyczny

METODY WERYFIKCJI HIPOTEZ:

test χ2 - test oparty na rozkładzie χ2. Jest on wykorzystywany do weryfikacji hipotez parametrycznych (dotyczących pomiarów statystycznych) jak i do weryfikacji hipotez nieparametrycznych.

gdzie (n-1) - ilość stopni swobody

test Smirnowa-Kołomogorowa λ - test nieparametryczny używany do porównywania rozkładów jednowymiarowych cech statystycznych. Istnieją dwie główne wersje tego testu - dla jednej i dla dwóch próby.

ZBIORY:

- organiczny (zbór wartości mierzonych)

- nieorganiczny (zbór wartości pomierzonych)

Każdy z tych zbiorów może być przeliczalny (funkcje dyskretne) lub nieprzeliczalny (funkcje ciągłe).

PRZETWARZANIE ANALOGOWO - CYFROWE:

Próbkowanie jest procesem określenia chwil, w których przebieg ma być obserwowany. Natomiast kwantyzacja jest procesem, w którym następuje zamiana wartości analogowych w danym chwilach próbkowania na postać cyfrową. Operacja kwantowania jest to proces polegający na przedstawieniu szeregu dyskretnych wartości próbek o znanych amplitudach w postaci szeregu liczb dyskretnych reprezentujących wartości tych amplitud.

---