DRGANIA DYSKRETNE O WIĘCEJ NIŻ JEDNYM STOPNIU SWOBODY.

W przypadku drgań o wielu stopniach swobody analizujemy widmo częstości i jego postać tzn. ilorazy amplitud poszczególnych mas dla danej częstości rezonansowej.

Sposób analizy może być prowadzony różnymi metodami :

• klasyczną (Newton, d'Alembert)

• macierzy przeniesienia

• grafów liczb strukturalnych

• za pomocą formalizmu Lagrange'a

• sztywnych elementów skończonych (SES)

• elementów skończonych (MES)

Metoda klasyczna.

Metodę klasyczną przeanalizujemy na przykładzie układu dyskretnego o trzech stopniach swobody. Przy czym układ rozpatrujemy w stanie statycznym położenia równowagi (sprężyny napięte kompensują siły, ciężary grawitacji).

(8.1)

(8.2)

Otrzymaliśmy układ równań różniczkowych drugiego rzędu.

Porządkując i dzieląc obydwie strony przez m mamy :

(8.3)

(8.4) (8.5)

Uwzględniając 8.4 i 8.5 w 8.3 otrzymujemy :

(8.6)

Otrzymaliśmy algebraiczny układ ze względu na poszukiwane amplitudy A₁, A₂ i A₃.

Można to również zapisać w postaci macierzowej :

(8.7)

Można macierz zapisać w innej postaci :

(8.8)

gdzie :

(8.9) (8.10) (8.11)

Równanie (8.8) można zapisać prościej :

(8.12)

Chcąc znaleźć równanie charakterystyczne wystarczy wyznaczyć wyznacznik z równania (8.7). Wiemy bowiem z teorii równań różniczkowych, a także równań algebraicznych jednorodnych, że rozwiązanie istnieje gdy wyznacznik jest równy zero.

Z tego wyznacznika wyznaczamy równanie charakterystyczne (rozwijając względem pierwszego wiersza) :

W rezultacie otrzymujemy wynik :

,,

Uzyskujemy ostatecznie:

Uzyskamy w ten sposób trzy częstości z₁,z₂,z₃ (wykres będzie miał trzy piki).

Metoda macierzy przeniesienia.

Bazuje na przedstawieniu elementów dyskretnych czwórnikami, a ponadto wykorzystuje pojęcia wektora stanu i macierzy przejścia. Wektor stanu inaczej macierz kolumnowa zmiennych opisujących stan elementu w rozważanym przypadku będzie posiadała zmienne przemieszczenia x i siłę wewnętrzną panującą w elemencie.

Z analizy przemieszczeń sprężyny i sił w niej występujących można napisać, że :

Natomiast przemieszczenie :

Ostatecznie :

Równania możemy zapisać macierzowo wyrażając wektor stanu w położeniu 2 przez wektor stanu jaki jest w początkowym miejscu sprężyny 1.

T_p - macierz polowa przejścia

Macierz punktowa czwórnika masy.

Możemy skonstruować wektor stanu tego czwórnika masy :

Tak więc :

Możemy równania zapisać :

T_m - macierz punktowa masy

Skonstruujemy macierz przejścia dla oscylatora harmonicznego.

Wyznaczając wektor stanu :

Następny krok to analiza warunków brzegowych :

x₃ ≠ 0 x₁ = 0

F₃ = 0 F₁ ≠ 0

Uwzględniając te warunki :

Rozwiązując ten układ otrzymujemy :

skąd :

Z przedstawionego wynika, że metoda macierzy przeniesienia może służyć jako dogodny algorytm wyznaczania częstości drgań własnych.

Wystarczy dla układu o n stopniach swobody :

Metoda grafów liczb strukturalnych.

Przyporządkowujemy elementom sprężystym i masą odpowiednie dwójniki (masie mω² z wagą sztywności, sprężynie z

wagą c).

Siły bezwładności są równe siłą grawitacyjnym tzn., że krawędzie wszystkich mas będą zrelacjonowane z biegunem O.

Konstruujemy graf :

Otrzymaliśmy graf biegunowy, który reprezentuje nam drgający układ mechaniczny.

Wystarczy znaleźć liczbę strukturalną dwóch niezależnych odcięć (liczba odcięć n-1).

Liczba strukturalna reprezentuje symboliczne oznaczenia wchodzące w ten wierzchołek krawędzi.

Równanie charakterystyczne Δ(ω) będzie funkcją wyznacznikową detA dla zbioru liczb podatności mechanicznej.

WYKŁAD 7.

---