Uzupełnienie wykładu 1
/wprowadzenie do Ekonometrii/
Przykłady modeli
Metody doboru zmiennych objaśniających modelu ekonometrycznego
,
, gdzie: E - energia,
m - masa,
c - prędkość światła.
,
, gdzie: DNB - wartość
dochodu narodowego
brutto,
K - nakłady kapitału,
L - nakłady pracy.
,
gdzie: D - popyt,
S - podaż,
P - cena.
Model gospodarki narodowej
Tożsamości:
Definicja dochodu narodowego brutto - GNP
Ct + It +Gt + Et - (IM)t = Xt,
Równoważność wiążąca GNP oraz NI
/National Income -dochód narodowy/
pt Xt -T1t - pt Dt = Yt + T2t + T3t - Trt,
Definicja dochodu narodowego NI:
wt Lt + Pt = Yt + T2t + T3t - Trt,
Definicja zasobów majątku trwałego K:
Kt = Kt-1 + It - Dt,
Relacje behawiorystyczne i technologiczne:
Funkcja konsumpcji C:
Ct = α0 +α1 (
) + α2 Ct-1 + u1t,
Funkcja inwestycji I:
It = β0 + β1 Xt + β2 rt + β3 Kt-1 + u2t,
Funkcja eksportu E:
Et = γ0 +γ1 WTt + γ2 (
) + γ3 Et-1 + u3t,
Funkcja importu IM:
IMt = δ0 + δ1 Xt + δ2 (
) + δ3 IMt-1 + u4t,
Funkcja produkcji /wyznacza zapotrzebowanie na siłę roboczą L/:
ln Lt = ε0 + ε1 ln Xt + ε2 ln Kt-1 + ε3 ln Lt-1 + u5t,
Równanie kształtowania cen p:
Pt = ζ0 + ζ1 (
) + ζ2 pmt + u6t,
Równanie kształtowania płac w:
Δln wt = η0 + η1 (
) + η2 Δln pt + u7t,
Współczynnik aktywności zawodowej (LF)/N:
(LFt)/Nt = θ0 + θ1 (
) +θ2 (
) + u8t,
Równanie szybkości obiegu pieniądza (pX)/M:
ln (
) = τ0 + τ1 rt + τ2 Δln pt + u9t,
10. Równanie deprecjacji D:
Dt = χ Kt-1 + u10t,
Równania prawne i instytucjonalne
Równanie podatków pośrednich T1:
T1t = Γ10 + Γ11 (pt Xt) + u11t,
Równanie bezpośrednich podatków osobistych T2:
T2t = Γ20 + Γ21 Yt + u12t,
Równanie bezpośrednich podatków przedsiębiorstw T3:
T3t = Γ30 + Γ31 pt + u13,
Równanie transferów Tr:
Tr = Γr0 + Γr1 (LFt - Lt ) + Γr2 wt +u14t.
Zmienne endogeniczne:
Ct - realne wydatki konsumentów,
Yt - nominalne dochody osobiste do dyspozycji,
pt - ogólny poziom cen,
It - realny przyrost majątku (inwestycji),
Xt - produkt społeczny brutto (GNP),
rt - nominalna stopa procentowa (interest rate),
Kt - zasób realnego majątku trwałego,
Et - realny eksport,
IMt - realny import,
Lt - zatrudnienie,
wt - średnia płaca,
LFt - siła robocza,
Dt - realne zużycie majątku (deprecjacja),
T1t - nominalne podatki pośrednie,
T2t - nominalne podatki osobiste (bezpośrednie),
T3t - nominalne bezpośrednie podatki przedsiębiorstw,
Trt - nominalne transfery na rzecz osób fizycznych,
Pt - nominalne dochody niepłacowe (zyski).
Zmienne egzogeniczne:
Gt - realne wydatki rządowe na dobra i usługi,
WTt - realny wolumen handlu światowego,
pwt - ceny w handlu światowym,
pmt - ceny importu,
Nt - liczba ludności,
Mt - nominalna podaż pieniądza.
Niech Yt = α0 + α1X1t + α2X2t + α3X3t + α4X4t + ξt, gdzie:
Yt - zmiany produkcji w przedsiębiorstwie [mld zł],
X1t - zatrudnienie [tys. osób],
X2t - wartość maszyn i urządzeń [mld zł],
X3t - czas przestoju maszyn [liczba dni],
X4t - nakłady inwestycyjne [mln zł],
t € [1991 - 2000].
Lata |
Yt |
X1t |
X2t |
X3t |
X4t |
1991 |
10 |
6 |
8 |
14 |
12 |
1992 |
10 |
6 |
8 |
14 |
12 |
1993 |
16 |
10 |
12 |
18 |
12 |
1994 |
16 |
10 |
12 |
18 |
14 |
1995 |
12 |
8 |
8 |
18 |
10 |
1996 |
14 |
10 |
8 |
18 |
12 |
1997 |
20 |
12 |
14 |
24 |
14 |
1998 |
20 |
12 |
16 |
24 |
12 |
1999 |
20 |
12 |
16 |
26 |
12 |
2000 |
22 |
14 |
18 |
26 |
10 |
Eliminacja zmiennych quasi - stałych
Niech νi oznacz poziom zmienności zmiennej
gdzie:
=
oraz (i = 1,2, … n),
xi - średnia arytmetyczna zmiennej Xit,
Si - odchylenie standardowe zmiennej Xit,
,
Niech ν* oznacza wartość krytyczną poziomu zmienności:
H0 ={ νi ≤ ν*; zmienna Xi quasi - stała },
H1 ={ νi > ν*; zmienna Xi istotnie opisuje zmiany Yt }.
Współczynnik poziomu zmienności:
ν1 = 0,251, ν2 = 0,307, ν3 = 0,219, ν4 = 0,105.
Niech ν* = 15%. Wniosek?
Analiza macierzy współczynników korelacji.
Zdefiniujmy macierz U = [
], gdzie elementy macierzy U są wartościami współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmiennymi Xi oraz pomiędzy zmiennymi Xi a Xj.
Ponadto wyznaczmy:
Statystyka I* ma rozkład t - Studenta o parametrach rozkładu (α; n-2)
Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne, dla których zachodzi nierówność:
[ri] ≤ r*;
zmienne Xit są nieistotnie skorelowane ze zmienną objaśnianą.
Spośród pozostałych zmiennych jako zmienną objaśniającą wybiera się taką zmienną Xht, dla której:
[rh] =max {[ri]};
zmienna Xht jest nośnikiem największego zasobu informacji o zmiennej objaśnianej Yt.
Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne, dla których:
[rhi] > r*;
są to zmienne zbyt silnie skorelowane ze zmienną objaśniającą Xht, a więc powielające dostarczone przez nią informacje.
Postępowanie przedstawione w punktach 1, 2, i 3 kontynuuje się aż do momentu wyczerpania zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.
Elementy macierzy U są równe:
,
Dla rozkładu (8; 0,02);I* = 2,897, stąd r* = 0,7155.
C. Metoda wskaźników pojemności informacyjnej
Dana relacja R(Yt, X1t, … Xkt), zdefiniujmy wszystkie podzbiory zbioru {X1t, … Xkt}, ich liczba jest równa L = 2k - 1.
Definiujemy wskaźnik pojemności indywidualnej zmiennych:
gdzie: (lj = 1,…,L, j = 1,…,ml)
gdzie lj oznacza numer podzbioru utworzonego ze zbioru zmiennych objaśniających wstępnie ustalonych, ml natomiast oznacza liczbę zmiennych objaśniających podzbioru „lj”.
Wskaźnik pojemności integralnej podzbioru o numerze „l”:
Indywidualne oraz integralne wskaźniki pojemności informacyjnej są unormowane i przyjmują wartości z przedziału [0, 1]. Przyjmują tym większe wartości, im zmienne objaśniające są silniej skorelowane ze zmienną objaśniana oraz im słabiej skorelowane są między sobą.
Ostatecznie jako zmienne objaśniające wybiera się te, które należą do podzbioru o maksymalnej pojemności integralnej.
Podzbiory jedno-elementowe |
Podzbiory dwu-elementowe |
Podzbiory trój-elementowe |
Podzbiory cztero-elementowe |
C1 = {X1t} |
C5 = {X1t, X2t} |
C11 = {X1t, X2t, X3t} |
C15={X1t,X2t,X3t,X4t} |
C2 = {X2t} |
C6 = {X1t, X3t} |
C12 = {X1t, X2t, X4t} |
|
C3 = {X3t} |
C7 = {X1t, X4t} |
C13 = {X1t, X3t, X4t} |
|
C4 = {X4t} |
C8 = {X2t, X3t} |
C14 = {X2t, X3t, X4t} |
|
|
C9 = {X2t, X4t} |
|
|
|
C10 = {X3t, X4t} |
|
|
Wskaźniki pojemności indywidualnej:
Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych |
Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe |
Wskaźniki zbiorów trój-elementowe |
Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe |
H1 = r12 |
H51 = r12/(1+[r12]) |
H H111 = r12/(1+[r12]+[r13]) |
H151 = r12/(1+[r12]+[r13]+[r14] |
H2 = r22 |
H52 = r22/(1+[r21]) |
H112 = r22/(1+[r21]+[r23]) |
H152 = r22/(1+[r21]+[r23]+[r24] |
H3 = r32 |
H61 = r12/(1+[r13]) |
H113 = r32/(1+[r31]+[r32]) |
H153 = r32/(1+[r31]+[r32]+[r34] |
H4 = r42 |
H63 = r32/(1+[r31]) |
H121 = r12/(1+[r12]+[r14]) |
H154 = r42/(1+[r41]+[r42]+[r43] |
|
H71 = r12/(1+[r14]) |
H122 = r22/(1+[r21]+[r24]) |
|
|
H74 = r42/(1+[r41]) |
H124 = r42/(1+[r41]+[r42]) |
|
|
H82 = r22/(1+[r23]) |
|
|
|
H83 = r32/(1+[r32]) |
H131 = r12/(1+[r13]+[r14]) |
|
|
H92 = r22/(1+[r24]) |
H133 = r32/(1+[r31]+[r34]) |
|
|
H94 = r42/(1+[r42]) |
H134 = r42/(1+[r41]+[r43]) |
|
|
H103 = r32/(1+[r34]) |
H142 = r22/(1+[r23]+[r24]) |
|
|
H104 = r42/(1+[r43]) |
H143 = r32/(1+[r32]+[r34]) |
|
|
|
H144 = r42/(1+[r42]+[r43]) |
|
Macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi modelu:
Stąd wskaźniki pojemności indywidualnej są odpowiednio równe:
Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych |
Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe |
Wskaźniki zbiorów trój-elementowe |
Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe |
0,960227273 |
0,505285023 |
0,338279507 |
0,338279507 |
0,915106952 |
0,481542079 |
0,324937643 |
0,324937643 |
0,916666667 |
0,495423668 |
0,321177561 |
0,313256502 |
0,005681818 |
0,472948827 |
0,505285023 |
0,005299369 |
|
0,960227273 |
0,481542079 |
|
|
0,005681818 |
0,005681818 |
|
|
0,477641532 |
|
|
|
0,478455627 |
0,495423668 |
|
|
0,915106952 |
0,455970728 |
|
|
0,005681818 |
0,005299369 |
|
|
0,85496489 |
0,477641532 |
|
|
0,005299369 |
0,461087116 |
|
|
|
0,005299369 |
|
Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych |
Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe |
Wskaźniki zbiorów trój-elementowe |
Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe |
0,960227273 {X1t} |
{X1t,X2t} |
|
|
0,915106952 {X2t} |
0,986827102 |
{X1t,X2t,X3t} |
|
0,916666667 {X3t} |
{X1t,X3t} |
0,984394711 |
{X1t,X2t,X3t,X4t} |
0,005681818 {X4t} |
0,968372494 |
|
0,981773021 |
|
{X1t,X4t} |
{X1t,X2t,X4t} |
|
|
0,965909091 |
0,992508921 |
|
|
{X2t,X3t} |
|
|
|
0,956097159 |
{X1t,X3t,X4t} |
|
|
{X2t,X4t} |
0,956693764 |
|
|
0,92078877 |
|
|
|
{X3t,X4t} |
{X2t,X3t,X4t} |
|
|
0,86026426 |
0,944028017 |
|
D. Współczynnik korelacji wielorakiej
Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarą siły związku liniowego zmiennej objaśnianej Yt ze zmiennymi objaśniającymi {X1t, … Xkt}. Zdefiniowany jest następująco:
Współczynnik korelacji wielorakiej jest unormowany w przedziale [0, 1], przyjmuje tym większe wartości im związek zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi jest silniejszy.
Współczynnik korelacji wielorakiej wyznaczamy dla każdego podzbioru zbioru {X1t, … Xkt}.
Podzbiory dwuelementowe:
{X1t,X2t}
,
,
,
det(R)=0,19; det(U)=0,002, stąd Rw=0,995
{X1t,X3t}
,
,
,
det(R)=0,12; det(U)=0,003, stąd Rw=0,986
{X1t,X4t}
,
,
,
det(R)=1,00; det(U)=0,034, stąd Rw=0,983
{X2t,X3t}
,
,
det(R)=0,161; det(U)=0,007, stąd Rw=0,978
{X2t,X4t}
,
,
det(R)=1,00; det(U)=0,079, stąd Rw=0,96
{X3t,X4t}
,
,
det(R)=0,995, det(U)=0,062; stąd Rw=0,968
Podzbiory trójelementowe:
{X1t,X2t,X3t}
,
,
,
det(R)=0,208, det(U)=0,00; stąd Rw=1,000,
{X1t,X2t,X4t}
,
,
,
det(R)=0,379, det(U)=0,001; stąd Rw=0,999,
{X1t,X3t,X4t}
,
,
,
det(R)=0,305, det(U)=0,002; stąd Rw=0,997,
{X2t,X3t,X4t}
,
,
,
det(R)=0,346, det(U)=0,005; stąd Rw=0,993,
Podzbiory czteroelementowe:
{X1t,X2t,X3t,X4t}
,
,
,
det(R)=0,207, det(U)=0,00; stąd Rw=1,00,
Zestawienie współczynników korelacji wielorakiej wszystkich podzbiorów zbioru {X1t, X2t, X3t, X4t}:
Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów jednoelementowych |
Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów dwuelementowych |
Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów trójelementowych |
Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów czteroelementowych |
{X1t} |
{X1t,X2t} - 0,995 |
{X1t,X2t,X3t} - 1,000 |
{X1t,X2t,X3t,X4t}-1,00 |
{X2t} |
{X1t,X3t} - 0,986 |
{X1t,X2t,X4t} - 0,999 |
|
{X3t} |
{X1t,X4t} - 0,983 |
{X1t,X3t,X4t} - 0,997 |
|
{X4t} |
{X2t,X3t} - 0,978 |
{X2t,X3t,X4t} - 0,993 |
|
|
{X2t,X4t} - 0,960 |
|
|
|
{X3t,X4t} - 0,968 |
|
|
E. Efekt katalizy w modelu ekonometrycznym.
Efekt katalizy w liniowym modelu ekonometrycznym oznacza silną korelację zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi przy wysokiej wartości współczynnika korelacji wielorakiej spowodowanej silną korelacją zmiennych objaśniających pomiędzy sobą. Oczywiście zmienne objaśniające, które wywołały efekt katalizy należy wyeliminować z modelu.
Jeśli dla każdego i = 1, …, k współczynniki korelacji ri wektora R0 są dodatnie oraz uporządkowane niemalejąco, to parę (R,R0) nazywamy regularną parą korelacyjną. Dla takiej pary, macierz Q postaci:
Q = [qij];
gdzie;
, dla (i >j), nazywa się macierzą neutralną.
Wielkość qij jest wartością neutralną współczynnika korelacji rij = R(Xi, Xj).
Jeśli (R, R0) jest regularną parą korelacyjną oraz dla każdego i, j = 1, …, k zachodzi równość rij= qij, to współczynnik korelacji wielorakiej Rw = rk, gdzie rk = max{ri} a zmienne {X1,…,Xk-1} nie wnoszą dodatkowych informacji o zmiennej objaśnianej Yt w porównaniu ze zmienną objaśniającą Xk.
Jeśli dla każdego i, j = 1,2, …, k (i ≠ j) spełniona jest nierówność:
r2ij < q2ij,
to R2w > r2k. w tym każdym przypadku każda ze zmiennych objaśniających dostarcza pewien zasób informacji o zmiennej objaśnianej.
W przypadku gdy ma miejsce nierówność:
r2ij > q2ij,
następuje również wzrost kwadratu współczynnika korelacji wielorakiej w stosunku do maksymalnej wartości współczynnika korelacji rk, lecz wzrost ten jest spowodowany wystąpieniem efektu katalizy.
Tak więc efekt katalizy wystąpi wówczas gdy:
rij < 0 lub gdy: rij > ri/rj.
Zmienna Xi nazywa się zmienną katalityczną lub katalizatorem.
Do wykrywania efektu katalizy w modelu ekonometrycznym wykorzystuje się wskaźnik:
Ul = R2l - Hl,
gdzie: l oznacza dowolny podzbiór zmiennych objaśniających {X1, …, Xk},
Hl - wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej l - tego podzbioru.
,
;
, to
, stąd
,
Wszystkie elementy
dla
ale jednocześnie r34 < 0, stąd zmienna X3t wywołuje efekt katalizy w zbiorze {X1t,X2t,X3t,X4t}.