Laboratorium Podstaw Fizyki

Nr ćwiczenia 10

Temat ćwiczenia: SPRAWDZANIE PRAWA HOOKE'A I WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA

Nazwisko i Imię prowadzącego kurs: Dr inż. Ewa Oleszkiewicz

Wykonawca: Imię i Nazwisko, nr indeksu	Rafał Ginter 205891	Filip Munko 207511
Kierunek	Zarządzanie i Inżynieria Produkcji
Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina	Piątek, 7:30
Data oddania sprawozdania:	05.04.2013r. (poprawa 19.04)
Ocena końcowa

I. Cel ćwiczenia

1. Sprawdzenie prawa Hooke'a

2. Wyznaczenie modułu Younga badanego drutu metodą pomiaru wydłużenia

II Wstęp teoretyczny:

Prawo Hooke'a wyraża zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem:

Jeżeli występujące w ciele naprężenia są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne. Matematycznie związek powyższy wyrażają różne wzory, zależnie od rodzaju odkształcenia. Dla wymienionych wyżej głównych rodzajów odkształceń ma on odpowiednio następujące postacie:

Współczynniki proporcjonalności 1/E, 1/K, 1/G nazywamy współczynnikami sprężystości, a ich odwrotności - modułami, odpowiednio: E - modułem Younga, K - modułem ściśliwości, G - modułem sztywności. Są to stałe charakterystyczne dla danego rodzaju ciał, tzw. stałe materiałowe.

Wychodząc z prawa Hooke'a można wykazać, że energia sprężysta przypadająca na jednostkę objętości ciała Ep/V=ε, czyli tzw. gęstość energii sprężystej jest z odpowiednim do rodzaju odkształcenia modułem wprost proporcjonalna do kwadratu odkształcenia względnego

Sprawdzenie prawa Hooke'a polega na wykonaniu kilku pomiarów wydłużenia l stalowego drutu pod wpływem znanego obciążenia Q = mg i sporządzenia wykresu(Δl=f(Q) oraz zbadanie czy (ewentualnie. do jakiego punktu) jest on prostoliniowy. Dla ostatniego punktu (Δl=f(Q), który można uznać za leżący jeszcze na odcinku prostoliniowym wykresu należy obliczyć moduł Younga. W tym celu należy wykonać dodatkowo pomiary długości drutu l oraz jego średnicy d. wzór na moduł Younga wynosi:

III. Schemat układu pomiarowego

IV. Spis przyrządów :

- przymiar liniowy o dokładności 1 mm

- śruba mikrometryczna o dokładności 0,01 mm

- mikroskop do pomiaru wydłużenia o dokładności 0,01mm

V Tabele Pomiarowe:

Długość badanego pręta : l₀=(0,84±0,001)m

Pomiar średnicy druta:

Cechowanie mikroskopu:

Pomiar średnicy wskaźnika mikroskopu a=(0,57±0,01)mm

Pomiar dolny [dz]	Pomiar górny [dz]	Δad	Δag	a'	Δa'	w [mm/dz]	Δw [mm/dz]
6,52	4,37	0,011	0,011	2,15	0,022	0,27	0,011

Zależność wydłużenia drutu od siły:

mi [kg]	Δmi [kg]	a0 [dz]	ai [dz]
0	0,0001	6,52	6,52
0,9978					6,0
1,9953					5,57
2,9933					5,2
3,9907					4,86
4,9886					4,51
3,9907					4,76
2,9933					5,1
1,9953					5,43
0,9978					5,87
0					6,33

Fi	Δfi	S	ΔS	σi	Δσi
[N]	[N]	[m^2]	[m^2]	[N/m^2]	[N/m^2]
50,000	0,001	6*10^-^7	0,05*10^-7	833*10^5	7*10^5

Δli	Δ(Δli)	(Δli/lo)		Ε	ΔΕ	ΔΕ/Ε
[m]	[m]	%		[N/m^2]	[N/m^2]	%
				GPa	GPa
14*10^-05	5*10^-^5	0,016		131	14	10,3
25*10^-05			0,03
35*10^-05			0,042
44*10^-05			0,052
53*10^-05			0,063
47*10^-05			0,056
38*10^-05			0,045
29*10^-05			0,034
17*10^-05			0,02
5*10^-05			0,006

li to suma pojedynczych wychyleń Δli, więc Δl=53*10^-5 m przy obciążeniu 4,9886 kg

VI Wzory i przykłady obliczeń :

- średnia arytmetyczna:

n - liczba pomiarów xj - pomiar j-ty

Odchylenie dla pręta: odchylenie_standardowe*t, t-współczynnik Studenta dla czterech pomiarów 0,00577*1,142=0,00659 ≈ 0,007[mm].

- wartość działki „w” w=rx/rxm

rx - średnica wskaźnika zmierzona śrubą mikrometryczną [mm]

rxm - średnica wskaźnika zmierzona mikroskopem [mm]

np. w=0,57/2,15=0,265116≈0,27[mm]

Δw=w(
np. Δw=0,265*(0,01837/0,57+(0,0106+0,0106)/(6,52-4,37)) = 0,01116≈0,01[mm]

- wydłużenie [m]

, Δ(Δl)=Δw*
+w*
(obliczone za pomocą arkusza kalkul. )

w - wartość działki

a0 - poziom odniesienia dolnego wskaźnika [mm]

ai - przesunięcie górnego wskaźnika [mm]

Siła F=mg, ΔF=Δm*g. Pole przekroju S=π*(d/2)², ΔS=0,5*π*d*Δd

Naprężenie
,
. Np.

Moduł Younga
,
≈ 131*10⁹

), Np. ΔE=

VII Podsumowanie:

Z powyższych danych możemy powiedzieć jasno że ,pomimo błędu pomiaru rzędu 10%, prawo Hook'a, które stwierdza że dla dostatecznie małych obciążeń działających na ciało wydłużenie jest proporcjonalne. Powyższy wykres jest podobny do znanego wykresu zależności naprężeń do odkształceń. Błąd wynika z niedokładności przyrządów pomiarowych ale też trudności odczytu wyników z mikroskopu.

Śr. średnica pręta d=0,865mm

Odchylenie standardowe 0,006mm

Z uwzględni. Współczynnika Studenta 0,007mm

Pomiary 1÷5 przeprowadzono dla zwiększającego się obciążenia, pomiary 6÷10 dla zmniejszającego się obciążenia. Pomiar 10. sprzwdza czy pręt wraca do wymiarów początkowych.

wzrastające/ malejące obc.

---