IMIĘ I NAZWISKO Mariusz Kijak	Ćwiczenie M-12 BADANIE DRGAŃ WAHADEŁ SPRĘŻONYCH
ROK I KIERUNEK Fizyka rok I
		OCENA	OCENA	OCENA
PROWADZĄCY Prof. Krzesińska	DATA PODPIS	DATA PODPIS	DATA PODPIS

1. Cel ćwiczenia

Badanie drgań wahadeł sprzężonych

2. Część teoretyczna

Przeprowadzone doświadczenie miało na celu zapoznanie ćwiczącego z mechanizmem działania wahadeł sprzężonych.

Wahadło sprzężone - układ dwóch wahadeł fizycznych zaopatrzonych w urządzenie służące do przekazywania energii drgań od jednego wahadła do drugiego.

Sprzężenie obydwu wahadeł może następować pośrednio poprzez statyw, na którym zawieszone są oba wahadła lub bezpośrednio przez sprężynę, albo poprzez obciążoną w środku nić. Pierwszy rodzaj sprzężenia dla wahadeł zawieszonych na sztywnych statywach jest bardzo słaby, stąd w doświadczeniach stosujemy sprzężenie bezpośrednie.

Ruch, którym poruszały się wahadła nazywa się ruchem harmonicznym prostym, drgania - drganiami harmonicznymi prostymi.

Drganiami harmonicznymi prostymi - drgania odbywające się pod działaniem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej.

F = -kx

gdzie:

k - współczynnik proporcjonalności

x - wychylenie z położenia równowagi

W moim przypadku, w przypadku drgań bryły sztywnej, niektóre współczynniki należy zastąpić innymi:

silę F - na moment siły M

wychylenie x - kątem skręcenia φ

Wiedząc, że moment siły M jest równy Iά

M = Iά

I - moment bezwładności

ά - przyśpieszenie kątowe

mogę zapisać:

(bryła sztywna)

(punkt materialny)

Z powyższych dwóch równań wynika, że :

- częstość kołowa

Po podstawieniu otrzymujemy równania ruchu harmonicznego prostego

Natomiast równania ruchu harmonicznego prostego dla wahadeł sprzężonych, w zależności od kąta skręcenia, są równe:

gdzie:

k(φ₁- φ₂) oraz k(φ₂- φ₁) uwzględnia napięcie sprężyny proporcjonalne do różnicy kąta skręcenia obu wahadeł.

Wzór
odpowiada ruchowi, w którym oba wahadła wykonują ruch drgający prosty o tej samej częstotliwości.

Można powiedzieć, że oba wahadła wychylone są w tym samym kierunku, o ten sam kąt φ₁(0) = φ₂(0). Jest to pierwsze drganie normalne tzw. synfazowe (zgodne w fazie). Szczególną własności takich drgań jest to, że oba wahadła zachowują się tak jakby były swobodne.

Istniej jeszcze inne rodzaje ruchów wahadeł sprzężonych. Kolejnym ich rodzajem, którym się zajmowałem (pierwszym były drgania synfazowe) były drgania przeciw fazowe

Przypadek, w którym oba wahadła wychylimy o jednakowe kąty w przeciwnych kierunkach φ₁(0) = -φ₂(0)

Równanie ruchu dla obu tych wahadeł przyjmuje postać:

z czego
jest równe

Kolejnym zjawiskiem, które obserwowałem były dudnienia.

Dudnienia - zjawisko polegające na interferencji dwóch fal o różniących się częstościach. Amplituda drgań zmienia się okresowo w czasie daje wrażenie dudnienia.

Przebiega to w następujący sposób:

W chwili początkowej, kiedy wahadło nr 2 pozostaje w spoczynku, wprawiam wahadło nr 1 w ruch. Wtedy wahadło numer dwa zaczyna drgać z coraz to większą amplitudą, podczas gdy amplituda wahadła nr 1 maleje. Kiedy amplituda wahadła nr 2 osiągnie maksimum, wahadło nr 1 zatrzymuje się. Zjawisko to zaczyna się powtarzać, tylko, że w sposób odwrotny. - wahadło nr 2 zwalnia, a jego amplituda maleje, a wahadło nr 1 przyśpiesza i zwiększa się amplituda drgań wahadła. Ruch ten trwa tak na zmianę dopóty, dopóki oba wahadła nie zatrzymają się.

Czas, po którym amplituda drgań jednego z wahadeł wraca do początkowej wartości nazywamy okresem dudnień T_D, a odpowiadającą mu częstość ώ_D - częstością dudnień.

3. Przyrządy pomiarowe

• wahadło sprzężone wraz z oprzyrządowaniem

4. Przebieg ćwiczenia

• Ustawiam ciężarki obu wahadeł na dolnej części prętów w jednakowej odległości.

• Włączam czujnik fotoelektryczny

• Wychylam oba wahadła w tę samą stronę o ten sam kąt (około 5°) i puszczam.

• Zliczanie okresów uruchamia się samoczynnie, a po dziesięciu okresach T wyłączam licznik.

• Pomiar powtarzam trzykrotnie dla trzech innych położeń ciężarków.

• Wychylam wahadła o ten sam kąt w przeciwną stronę (około 5°) i puszczam

• Odczytuję czas trwania dziesięciu okresów T

• Pierwsze wahadło wychylam o dowolny kąt i puszczam. Obserwuje dudnienia.

• Włączając i wyłączając licznik w odpowiednim momencie wyznaczam czas trwania dudnień.

• Obliczam częstość dudnień.

• Pomiary zapisuję w tabelkach

5. Tabele wyników

1. Drgania zgodne w fazie

Położenie obręczy	L.p.	10 T0 [s]	T0 [s]	[Hz]	[Hz]
0	1 2 3	12.676 12.675 12.676	1.2676 1.2675 1.2676	min 4.9568 4.9571 4.9568	4.9569
1	1 2 3	12.058 12.057 12.056	1.2058 1.2057 1.2056	5.2108 5.2112 5.2117	5.2112
2	1 2 3	11.443 11.444 11.442	1.1443 1.1444 1.1442	5.4909 5.4904 5.4914	5.4909
3	1 2 3	10.837 10.836 10.836	1.0837 1.0836 1.0836	5.7979 5.7984 max 5.799	5.7984

2. Drgania przeciwne w fazie

Położenie obręczy	L.p.	10 T1 [s]	T1 [s]	[Hz]	[Hz]
0	1 2 3	10.930 10.931 10.929	1.0930 1.0930 1.0929	5.7486 min 5.7480 5.7491	5.7486
1	1 2 3	10.271 10.270 10.270	1.0271 1.0270 1.0270	6.1174 6.1180 6.1180	6.1178
2	1 2 3	9.622 9.622 9,623	0.9622 0.9622 0.9623	6.5300 6.5300 6.5293	6.5298
3	1 2 3	8.977 8.977 8.978	0.8977 0.8977 0.8978	max 6.9992 6.9992 6.9984	6.9989

3. Dudnienia

Położenie obręczy	L.p.	TD [s]	[Hz]	[Hz]
0	1 2 3	8.907 8.909 8.907	0.7054 0.7053 min 0.7053	0.7053
1	1 2 3	7.248 7.247 7.248	0.8669 0.8669 0.8669	0.8669
2	1 2 3	6.872 6.871 6.871	0.9143 0.9144 0.9144	0.9144
3	1 2 3	5.423 5.423 5.423	max 1.1587 1.1587 1.1587	1.1587

6. Obliczenia

1. drgania zgodne w fazie

Wyznaczam częstotliwość drgań zgodnych w fazie ze wzoru:

1. 
   
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Wyznaczam wartości średnie częstotliwości ze wzoru:

0. 
   

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Wyznaczam ∆ώ_0śr

Wyznaczam niepewność procentową

2. drgania przeciwne w fazie

Wyznaczam częstotliwość drgań przeciwnych w fazie ze wzoru:

0. 
   

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Wyznaczam wartość średnią ze wzoru:

0. 
   

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Wyznaczam ∆ώ_1śr

Wyznaczam niepewność procentową

Wyznaczam stałą sprzężenia k

0. 
   

1. 
   

2. 
   

3. 
   

3. dudnienia

Obliczam częstość dudnień ze wzoru:

0. 
   

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Wyznaczam wartość średnią ze wzoru:

0. 
   

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Wyznaczam niepewność procentową:

7. Wnioski

• niedokładność wyników może być spowodowana następującymi czynnikami

• zmysły ludzkie nie są doskonałe

• położenia obręczy tylko pozornie są jednakowe

• kąt wychylenia tylko w przybliżeniu jest taki sam

• częstotliwość drgań zgodnych w fazie nie zależy od stałej sprzężenia k

• wraz z przesuwaniem ciężarka do góry częstotliwość drgań rosła

• czas jednego okresu zmieniał się niewiele podczas przesuwania ciężarka w drganiach zgodnych w fazie oraz przeciwnych w fazie

• w dudnieniach różnice pomiędzy poszczególnymi okresami były już większe

---