Ć w i c z e n i e 5

BADANIE DRGAŃ UKŁADU DWÓCH

SPRZĘŻONYCH WAHADEŁ

5.1. Opis teoretyczny

Aby rozpatrzyć zachowanie dwóch sprzężonych identycznych wahadeł należy przyswoić
podstawowe wiadomości dotyczące pojedynczego wahadła matematycznego oraz fizycznego,
co można znaleźć w ćwiczeniu Nr 4.

Ruch układu opiszemy współrzędnymi

1

ϕ

,

2

ϕ

, czyli kątami wychylenia obu wahadeł od

położenia równowagi.

Rys.5.1. Dwa identyczne wahadła, gdzie masa m zawieszona na nieważkim pręcie o

długości l i sprzężone za pomocą sprężyny o stałej k w odległości a od miejsca

zawieszenia.

Aby napisać równania ruchu skorzystamy z zasady najmniejszego działania zwanej często
zasadą Hamiltona. Aby wyznaczyć funkcję Lagrange’a L=T-V określimy energię kinetyczną
T i potencjalną V układu.
Energia kinetyczna układu równa się sumie energii kinetycznych obu mas w ruchu po okręgu
o promieniu równym długości wahadeł ze zmienną w czasie prędkością kątową.





























+













=

2

2

2

1

2

2

1

dt

d

dt

d

ml

T

ϕ

ϕ

(5.1)

Energia potencjalna wynika ze zmiany położenia mas w polu grawitacyjnym oraz ze zmiany
rozciągnięcia sprężyny sprzęgającej o stałej sprężyny k.

(

)

(

)

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

+

=

ka

mgl

V

(5.2)

k

a

l

m

1

ϕ

2

ϕ

Z zasady najmniejszego działania otrzymujemy układ 2 równań różniczkowych:

0

=

∂

∂

−













∂

∂

k

k

L

L

dt

d

ϕ

ω

gdzie:

dt

d

k

k

ϕ

ω

=

; dla

k=1,2

(5.3)

Stąd otrzymujemy układ równań różniczkowych tzw. równania ruchu:

(

)

0

2

2

12

1

2

12

2

11

2

1

2

=

−

+

+

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

dt

d

(5.4)

(

)

0

1

2

12

2

2

12

2

11

2

2

2

=

−

+

+

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

dt

d

,

(5.5)

gdzie:

l

g

=

2

11

ω

;

2

2

2

12

ml

ka

=

ω

Przewidujemy całki szczególne układu równań w formie:

)

sin(

)

(

1

1

1

δ

ω

α

ϕ

+

=

t

t

(5.6)

)

sin(

)

(

2

2

2

δ

ω

α

ϕ

+

=

t

t

(5.7)

Podstawiając przewidywane całki szczególne (5.6) i (5.7) do równań ruchu (5.4) i (5.5)
uzyskujemy układ równań dla amplitud :

(

)

0

2

2

12

1

2

2

12

2

11

=

−

−

+

α

ω

α

ω

ω

ω

(5.8)

(

)

0

2

2

2

12

2

11

1

2

12

=

−

+

+

−

α

ω

ω

ω

α

ω

(5.9)

Warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań układu równań (5.8) (5.9) jest, aby wyznacznik
charakterystyczny był równy zero.

0

2

2

12

2

11

2

12

2

12

2

2

12

2

11

=

−

+

−

−

+

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

(5.10)

Rozwijając uzyskuje się równanie kwadratowe typu

0

2

=

+

+

c

bx

ax

w postaci:

(

)

(

)

0

2

4

12

2

2

12

2

11

2

2

12

2

11

4

=

−

+

+

+

−

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

(5.11)

uzyskuje się dwa rozwiązania na częstości drgań własnych zwanych normalnymi układu:

l

g

=

=

2

11

2

1

ω

ω

;

2

2

2

12

2

11

2

2

2

2

ml

ka

l

g +

=

+

=

ω

ω

ω

(5.12)

Można wykazać, że najbardziej ogólny ruch układu o dwóch stopniach swobody, jakim są
wahadła sprzężone, stanowi superpozycja czyli złożenie dwóch niezależnych jednoczesnych

ruchów harmonicznych. Te ruchy nazywamy drganiami normalnymi lub własnymi danego
układu. Dobierając odpowiednio warunki początkowe czyli położenie wahadeł i ich prędkości
w chwili początkowej (t=0) można doprowadzić, że układ będzie wykonywał drgania
normalne tylko jednej lub drugiej postaci. Do właściwości drgań normalnych należy to, że
każdy z elementów układu porusza się prostym ruchem harmonicznym, wszystkie elementy
oscylują z tą samą częstotliwością

1

ω lub

2

ω i jednocześnie mijają położenie równowagi czyli

mają identyczne przesunięcie fazowe.
Postaciami drgań nazywamy wszystkie całki szczególne rozwiązań czyli:

)

sin(

)

(

1

1

11

11

δ

ω

α

ϕ

+

=

t

t

)

sin(

)

(

2

2

12

12

δ

ω

α

ϕ

+

=

t

t

(5.13)

)

sin(

)

(

1

1

21

21

δ

ω

α

ϕ

+

=

t

t

)

sin(

)

(

2

2

22

22

δ

ω

α

ϕ

+

=

t

t

(5.14)

Amplitudy przy tych samych częstościach wiąże układ równań dla amplitud drgań własnych
(5.8), (5.9). Z układu określa się współczynniki rozkładu:

1

2

12

2

1

2

12

2

11

1

21

11

=

−

+

=

=

ω

ω

ω

ω

µ

α

α

1

2

12

2

2

2

12

2

11

2

22

12

−

=

−

+

=

=

ω

ω

ω

ω

µ

α

α

(5.15)

Zatem drgania swobodne układu wahadeł można opisać rozwiązaniami ogólnymi w formie
układu równań:

)

sin(

)

sin(

)

(

2

2

12

1

1

11

1

δ

ω

α

δ

ω

α

ϕ

+

+

+

=

t

t

t

(5.16)

)

sin(

)

sin(

)

(

2

2

12

1

1

11

2

δ

ω

α

δ

ω

α

ϕ

+

−

+

=

t

t

t

(5.17)

Rozpatrzmy kilka różnych warunków początkowych zilustrowanych schematycznie na
Rys 5.2

a)

b)

c)

Rys. 5.2. Schematy sprzężenia dla różnych warunków początkowych

Ad a)

0

2

1

)

0

(

)

0

(

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

0

)

0

(

)

0

(

2

1

=

=

ω

ω

(5.18)

Wstawiając powyższe warunki początkowe do równań (5.16) i (5.17) uzyskuje się:

0

11

ϕ

α

=

0

12

=

α

2

/

2

1

π

δ

δ

=

=

(5.19)

Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:

)

cos(

)

(

)

(

1

0

2

1

t

t

t

ω

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

(5.20)

Przy wychyleniu obu wahadeł o te same kąty

0

2

1

)

0

(

)

0

(

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

i puszczeniu tj. pobudzeniu

bez prędkości początkowej

0

)

0

(

)

0

(

2

1

=

=

ω

ω

oba wahadła czyli układ będzie drgał z

częstością pierwszego drgania normalnego

1

ω według wzoru 5.12. Amplituda drgań

określona jest przez wychylenie wahadeł przy pobudzeniu tj.

0

ϕ

Ad b)

0

1

)

0

(

ϕ

ϕ

=

0

2

)

0

(

ϕ

ϕ

−

=

0

)

0

(

)

0

(

2

1

=

=

ω

ω

(5.21)

Wstawiając powyższe warunki początkowe do równań (5.16) i (5.17) uzyskuje się:

0

11

=

α

0

12

ϕ

α

=

2

/

2

1

π

δ

δ

=

=

(5.22)

Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:

)

cos(

)

(

)

(

2

0

2

1

t

t

t

ω

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

=

(5.23)

Przy wychyleniu jednego wahadeł o kąt

0

1

)

0

(

ϕ

ϕ

=

zaś drugiego o kąt

0

2

)

0

(

ϕ

ϕ

−

=

i

puszczeniu tj. pobudzeniu bez prędkości początkowej

0

)

0

(

)

0

(

2

1

=

=

ω

ω

oba wahadła czyli

układ będzie drgał z częstością drugiego drgania normalnego

2

ω określonego wzorem (5.12).

Amplituda drgań określona jest przez wychylenie wahadeł przy pobudzeniu tj.

0

ϕ

.

Ad c)

0

1

)

0

(

ϕ

ϕ

=

0

)

0

(

2

=

ϕ

0

)

0

(

)

0

(

2

1

=

=

ω

ω

(5.24)

Wstawiając do równania (5.16) i (5.17) uzyskuje się:

2

0

12

11

ϕ

α

α

=

=

2

/

2

1

π

δ

δ

=

=

(5.25)

Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:













+













−

=

t

t

t

2

cos

2

cos

)

(

2

1

1

2

0

1

ω

ω

ω

ω

ϕ

ϕ

(5.26)













+













−

=

t

t

t

2

sin

2

sin

)

(

2

1

1

2

0

2

ω

ω

ω

ω

ϕ

ϕ

(5.27)

Przy wychyleniu jednego z wahadeł o kąt

0

1

)

0

(

ϕ

ϕ

=

zaś pozostawienie drugiego w położeniu

równowagi

0

)

0

(

2

=

ϕ

( brak wychylenia) i puszczeniu tj. pobudzeniu układu bez prędkości

początkowej

0

)

0

(

)

0

(

2

1

=

=

ω

ω

każde z wahadeł wykonuje drgania z częstością

2

2

1

ω

ω

ω

+

=

śr

(5.28)

równą średniej arytmetycznej częstości drgań normalnych.
Amplitudy drgań obu wahadeł są różne i zależne od wychylenia początkowego

0

1

)

0

(

ϕ

ϕ

=

oraz od częstości modulacji:

2

1

2

mod

ω

ω

ω

−

=

(5.29)

Zatem maksymalnemu wychyleniu jednego z wahadeł odpowiada minimalne wychylenie
drugiego.

Widzimy, że drgania tego typu mają charakter dudnień o częstotliwości

d

ω

, zaś okres

dudnień

d

T , przy czym:

1

2

ω

ω

ω

−

=

d

1

2

2

ω

ω

π

−

=

d

T

(5.30)

1

2

3

4

5

6

t

-1

-0.5

0.5

1

W1

1

2

3

4

5

6

t

-1

-0.5

0.5

1

W2

Rys. 5.5 Na rysunku górnym przedstawiono zależność W1(t) =

0

1

/

)

(

ϕ

ϕ

t

Rysunek dolny

przedstawia W2(t)=

0

2

/

)

(

ϕ

ϕ

t

. Obwiednie stanowią zależności od czasu unormowanej

amplitudy drgań wahadła pierwszego i drugiego odpowiednio.

5.2. Opis układu pomiarowego

W skład układu służącego do badania zjawiska sprzężenia dwóch wahadeł wchodzą -dwa
identyczne wahadła fizyczne, z których każde złożone jest z walca o masie m

w

=2.33

±0.01 kg

i długości l

w

=0.11

±0.01m oraz przytwierdzonego do niego i zaopatrzonego w podziałkę

milimetrową pręta o masie m

r

=0.404

±0.01 kg i długości l

r

=0.82

±0.01m. W górnej części pręt

posiada konwencjonalne zawieszenie zrealizowane za pomocą metalowej krawędzi
pryzmatycznej,
- sprężyna sprzęgająca wahadła z możliwością zmiany jej punktu zamocowania,
- stoper do pomiaru czasu określonej liczby wahnięć.
Takie wahadło fizyczne do celów obliczeń zamodelujemy wahadłem matematycznym o masie
m=m

w

+m

r

umieszczonej w środku ciężkości wahadła fizycznego. Jak łatwo zauważyć długość

takiego wahadła matematycznego wynosi:

w

r

w

r

w

r

r

m

m

m

l

l

m

l

l

+

+

+

=

)

5

.

0

(

5

.

0

(5.31)

5.3. Przebieg ćwiczenia

1. Zmierzyć czas 10 wahnięć pojedynczego wahadła bez sprzężenia,
2. Dokonać sprzężenia wahadeł za pomocą sprężyny w odległości s= 20 cm od osi wahadeł,
3. Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje pierwsze drgania

normalne (Rys. 5.2 a).

4. Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje drugie wahanie

normalne ( Rys. 5.2 b).

5. Zmierzyć czas 2 dudnień, gdy układ jest sprzężony jak poprzednio zaś pobudzony do

drgań przez jedno z wahadeł ( Rys. 5.2 c).

6. Pomiary według punktów 3-5 powtórzyć dla a od 30cm do 60 cm co 5 cm.

5.4. Opracowanie wyników pomiarów

1. Obliczyć okresy drgań własnych (bez sprzężenia),jako średnią arytmetyczną uzyskanych

wyników pomiarów.

2. Obliczyć okresy dla pierwszego i drugiego drgania normalnego przy różnych

sprzężeniach, jako średnią arytmetyczną uzyskanych wyników pomiarów dla
poszczególnych sprzężeń.

3. Obliczyć okresy dudnień przy różnych sprzężeniach.

4. Obliczyć częstości drgań i dudnień uwzględniając, że

T

/

2

π

ω

=

5. Sprawdzić słuszność relacji teoretycznej

1

2

ω

ω

ω

−

=

d

, obliczając prawą stronę równania i

porównując ją ze stroną lewą.

6. Wykonać wykres

)

(

2

2

2

a

f

=

ω

. Jak widać z zależności (5.12) powinna to być linia prosta

typu:

B

Ax

y

+

=

(5.32)

gdzie:

2

2

ω

=

y

,

l

g

B

= ,

2

2

l

m

k

A

=

,

2

a

x

=

Aproksymacji dokonać metodą najmniejszych kwadratów opisaną w rozdziale
„Metoda najmniejszych kwadratów”.

7. Wykorzystując uzyskane parametry prostej (5.32) wyznaczyć stałą sprężyny k.
8. Obliczyć niepewności uzyskanych rezultatów.
9. Przedstawić wnioski odnośnie uzyskanych rezultatów.

L i t e r a t u r a

[1] Bartnicki S. Borys W. Kostrzyński T. Fizyka ogólna Ćwiczenia laboratoryjne, Skrypt

WAT

[2] Demianiuk M., Wykłady z fizyki dla inżynierów, Skrypt WAT