Imię i nazwisko:	Ćwiczenie nr M12 Badanie drgań wahadeł sprzężonych
Kierunek i rok:	Ocena z kolokwium: ....................................... data ....................... podpis...........................	Ocena ze sprawozdania: ....................................... data ....................... podpis...........................	Ocena końcowa: ....................................... data ....................... podpis...........................
Nazwisko prowadzącego zajęcia:

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod działaniem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej:

F = - kx

Współczynnik proporcjonalnoÅ›ci k [N m²] nazywamy siÅ‚Ä… kierujÄ…cÄ….

W przypadku drgań torsyjnych bryły sztywnej siłę F należy zastąpić momentem siły M, a wychylenie x kątem skręcenia φ:

Współczynnik proporcjonalności D [N m rad^-1] nazywamy momentem kierującym.

Korzystając z równania ruchu obrotowego bryły sztywnej, moment siły możemy wyrazić wzorem:

I - moment bezwładności

α - przyspieszenie kątowe, które można wyrazić wzorem:

Równanie ruchu będzie miało następującą postać:

,

a dla punktu o masie m przyjmie postać:

Z powyższego równań wynika, że:

,

ω₀ nazywamy czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ… drgaÅ„.

Otrzymujemy taką postać równania ruchu harmonicznego prostego:

Wahadłami sprzężonymi nazywamy układ dwóch wahadeł fizycznych, zaopatrzonych w urządzenie służące do przekazywania energii drgań od jednego wahadła do drugiego.

1. Wahadła sprzężone.

Sprzężenie obydwu wahadeł może następować pośrednio poprzez statyw, na którym zawieszone są oba wahadła lub bezpośrednio przez sprężynę, albo poprzez obciążoną w środku nić. Pierwszy rodzaj sprzężenia dla wahadeł zawieszonych na sztywnych statywach jest bardzo słaby, stąd w doświadczeniach stosujemy sprzężenie bezpośrednie.

2. Wahadła sprzężone - sprzężenie bezpośrednie (za pomocą sprężyny).

Moment kierujący każdego z wahadeł, zgodnie z wzorem wynosi:

D = mgl

m - masa wahadła,

l- odległość środka ciężkości od osi obrotu.

Ponadto w przypadku wahadeł sprzężonych występuje moment sprzęgający D_s. Wartość tego momentu zależy od odległości s punktu zaczepienia siły sprzęgającej, od osi obrotu oraz od różnicy faz obydwu wahadeł.

D_s = D_s(s, Ï•₁-Ï•₂)

Dla wahadeł sprzężonych równia ruchu drgającego przyjmą postać:

Istnieją dwa przypadki, w których oba wahadła wykonują drgania normalne o tej samej częstotliwości, co matematycznie oznacza sprowadzenie powyższych równań do identycznej postaci.

* Pierwszy przypadek odpowiada sytuacji, gdy w chwili poczÄ…tkowej wahadÅ‚a sÄ… wychylone w tym samym kierunku o ten sam kÄ…t tj. φ₁(0) = φ₂(0). Oba równania sprowadzajÄ… siÄ™ wtedy do postaci:

co odpowiada drganiu z częstością ω_o, jak gdyby wahadła były swobodne. Jest to pierwsze drganie normalne tzw. synfazowe (zgodne w fazie).

* Drugi przypadek drgania normalnego odpowiada sytuacji, gdy w chwili poczÄ…tkowej wahadÅ‚a wychylimy o jednakowe kÄ…ty w kierunkach przeciwnych i puÅ›cimy swobodnie tj. φ₁(0) = - φ₂(0). wahadÅ‚a wykonujÄ… wtedy drganie przeciwfazowe, a równanie ruchu dla obu wahadeÅ‚ przyjmuje postać:

co odpowiada drganiu z częstością
.

Jak widać częstość drgań przeciwfazowych jest wyższa od częstotliwości drgań wahadła swobodnego, czy też drgań zgodnych w fazie.

W przypadku wahadeł sprzężonych występują tzw. dudnienia - zjawisko polegające na interferencji dwóch fal o mało różniących się częstościach. Amplituda drgań zmieniająca się okresowo w czasie daje wrażenie dudnienia. Przebiega to w następujący sposób:

W chwili początkowej wahadło II jest nieruchome, natomiast wahadło I wykonuje drgania. Wtedy wahadło II (nieruchome) zacznie drgać i jego amplituda stale rośnie, natomiast amplituda drgań wahadła I maleje. Amplituda drgań wahadła II rośnie do chwili, gdy amplituda drgań wahadła I zmaleje do zera. Następnie drgania przekazywane są znowu do wahadła I.

3. Drgania dwóch równych wahadeł sprzężonych (dudnienia).

Czas, po którym amplituda drgań jednego z wahadeł wraca do początkowej wartości nazywamy okresem dudnień T_d, a odpowiadającą mu częstość ω_d- okresem dudnień.

Wyznaczanie częstotliwości drgań zgodnych w fazie:

Wyznaczanie częstotliwości średniej drgań zgodnych w fazie:

Wyznaczanie niepewności pomiaru:

A) DRGANIA ZGODNE W FAZIE.
Położenie sprężyny	l.p.	t10 [s]	T [s]	ω0 [Hz]	ω0śr [Hz]
3	1	12,276	1,2276	5,1157	5,11368
		2	12,270	1,2270		5,1182
		3	12,288	1,2288		5,1107
		4	12,278	1,2278		5,1148
		5	12,292	1,2292		Min:5,1090
	4	1	12,245	1,2245		5,1286	5,12736
		2	12,245	1,2245		5,1286
		3	12,246	1,2246		5,1282
		4	12,251	1,2251		5,1261
		5	12,253	1,2253		5,1253
	5	1	12,216	1,2216		Max:5,1408	5,13778
		2	12,222	1,2222		5,1383
		3	12,227	1,2227		5,1362
		4	12,225	1,2225		5,1370
		5	12,226	1,2226		5,1366
	6	1	12,241	1,2241		5,1303	5,13172
		2	12,235	1,2235		5,1328
		3	12,236	1,2236		5,1324
		4	12,245	1,2245		5,1286
		5	12,231	1,2231		5,1345
	7	1	12,254	1,2254		5,1249	5,12496
		2	12,256	1,2256		5,1240
		3	12,252	1,2252		5,1257
		4	12,254	1,2254		5,1249
		5	12,253	1,2253		5,1253
ω0śr = 7,845428 Δω0śr = ± 2,0095

Wyznaczanie niepewności procentowej:

Wyznaczanie częstotliwości drgań przeciwnych w fazie:

Wyznaczanie częstotliwości średniej drgań przeciwnych w fazie:

Wyznaczanie niepewności pomiaru:

B) DRGANIA PRZECIWNE W FAZIE.
Położenie sprężyny	l.p.	t10 [s]	T1 [s]	Ω1[Hz]	ω1śr [Hz]
3	1	6,279	0,6279	10,0016	9,8345
		2	6,296	0,6296		9,9746
		3	6,823	0,6823		9,2042
		4	6,274	0,6274		Max:10,0096
		5	6,291	0,6291		9,9825
	4	1	7,143	0,7143		8,7918	8,79334
		2	7,163	0,7163		8,7673
		3	7,141	0,7141		8,7943
		4	7,139	0,7139		8,7968
		5	7,123	0,7123		8,8165
	5	1	8,045	0,8045		7,8061	7,80608
		2	8,062	0,8062		7,7896
		3	8,029	0,8029		7,8216
		4	8,049	0,8049		7,8022
		5	8,040	0,8040		7,8109
	6	1	9,215	0,9215		6,8150	6,79132
		2	9,213	0,9213		6,8165
		3	9,258	0,9258		6,7833
		4	9,272	0,9272		6,7731
		5	9,278	0,9278		6,7687
	7	1	10,460	1,0460		6,0038	6,0019
		2	10,461	1,0461		6,0033
		3	10,480	1,0480		5,9924
		4	10,483	1,0483		Min:5,9906
		5	10,433	1,0433		6,0194
ω1śr = 7,845428 Δω1śr = ± 2,0095

Wyznaczanie niepewności procentowej:

Wyznaczanie stałej sprzężenia k:

1)

2)

3)

4)

5)

Wyznaczanie częstotliwości dudnień:

Wyznaczanie częstotliwości średniej dudnień:

Wyznaczanie niepewności pomiaru:

C) DUDNIENIA.
Położenie sprężyny	l.p.	t1 [s]	TD [s]	ωD [Hz]	ωDśr [Hz]
3	1	12,210	1,2210	5,1433	5,12908
		2	12,286	1,2286		5,1115
		3	12,286	1,2286		5,1115
		4	12,192	1,2192		Max:5,1509
		5	12,246	1,2246		5,1282
	5	1	12,941	1,2941		4,8528	4,90996
		2	12,934	1,2934		4,8554
		3	12,938	1,2938		4,8539
		4	12,222	1,2222		5,1383
		5	12,950	1,2950		4,8494
	7	1	15,936	1,5936		Min:3,9408	3,98694
		2	15,588	1,5588		4,0287
		3	15,768	1,5768		3,9827
		4	15,722	1,5722		3,9944
		5	15,747	1,5747		3,9881
ωDśr = 4,6753 ΔωDśr = ± 0,60505

Wyznaczanie niepewności procentowej:

WNIOSKI

Uzyskane przeze mnie wyniki pomiarów prowadzą do następujących wniosków.

Częstotliwości drgań zgodnych w fazie niewiele się różnią na poszczególnych położeniach objem mocujących sprężyny. Okresy drgań, a tym samym ich częstotliwości nie zależą od stałej sprzężenia k. Częstotliwości kołowe drgań zgodnych w fazie są równe częstotliwości drgań wahadła swobodnego. Wynika to również z równania ruchu dla wahadeł sprzężonych o drganiach zgodnych w fazie.

, gdzie ω₀ = ω₁

ω₀ - czÄ™stotliwość drgaÅ„ wahadÅ‚a swobodnego,

ω₁ - czÄ™stotliwość drgaÅ„ wahadeÅ‚ sprzężonych zgodnych w fazie.

W przypadku drgań przeciwnych w fazie różnice częstotliwości w różnych położeniach objem mocujących sprężyny są znaczne. Różnią się także od częstotliwości drgań zgodnych w fazie, a tym samym od częstotliwości drgań wahadła swobodnego. Zauważymy to także analizując równanie ruchu dla wahadeł sprzężonych o drganiach przeciwnych w fazie.

, gdzie

ω₀ - czÄ™stotliwość drgaÅ„ wahadÅ‚a swobodnego,

ω₂ - czÄ™stotliwość drgaÅ„ wahadeÅ‚ sprzężonych przeciwnych w fazie.

Jak widać częstotliwość ta zależy od stałej sprzężenia k, a ty samym od siły sprzęgającej. Im wyżej położona sprężyna, tym stała sprzężenia k mniejsza, a tym samym i częstotliwość drgań jest mniejsza.

W przypadku dudnień na częstotliwość drgań ma również wpływ siła sprzęgająca. Podobnie jak w drganiach przeciwnych w fazie, w zjawisku dudnienia częstotliwość drgań zmniejsza się wraz z podnoszenie objem mocujących sprężyny. Jednak okresy dudnień są dłuższe niż okresy drgań wahadeł przeciwnych w fazie, a z tego wynika, że częstotliwości dudnień są mniejsze.

Obliczenia z odchyleniem standardowym:

Wyznaczanie częstotliwości drgań zgodnych w fazie:

Wyznaczanie częstotliwości średniej drgań zgodnych w fazie:

Wyznaczanie odchylenia standardowego od wartości średniej:

Wyznaczanie niepewności pomiaru:

Wyznaczanie niepewności procentowej:

Tabela wyników pomiarów dla drgań zgodnych w fazie:

A) DRGANIA ZGODNE W FAZIE.
Położenie sprężyny	l.p.	t10 [s]	T [s]	ω0 [Hz]	ω0śr [Hz]
3	1	12,276	1,2276	5,1157	5,11368 σ = 0,00168
		2	12,270	1,2270		5,1182
		3	12,288	1,2288		5,1107
		4	12,278	1,2278		5,1148
		5	12,292	1,2292		Min:5,1090
	4	1	12,245	1,2245		5,1286	5,12736 σ = 0,00069
		2	12,245	1,2245		5,1286
		3	12,246	1,2246		5,1282
		4	12,251	1,2251		5,1261
		5	12,253	1,2253		5,1253
	5	1	12,216	1,2216		Max:5,1408	5,13778 σ = 0,00083
		2	12,222	1,2222		5,1383
		3	12,227	1,2227		5,1362
		4	12,225	1,2225		5,1370
		5	12,226	1,2226		5,1366
	6	1	12,241	1,2241		5,1303	5,13172 σ = 0,00103
		2	12,235	1,2235		5,1328
		3	12,236	1,2236		5,1324
		4	12,245	1,2245		5,1286
		5	12,231	1,2231		5,1345
	7	1	12,254	1,2254		5,1249	5,12496 σ = 0,00028
		2	12,256	1,2256		5,1240
		3	12,252	1,2252		5,1257
		4	12,254	1,2254		5,1249
		5	12,253	1,2253		5,1253
ω0śr = 7,845428 Δω0śr = ± 2,0095 σ = 0,00400

Wyznaczanie częstotliwości drgań przeciwnych w fazie:

Wyznaczanie częstotliwości średniej drgań przeciwnych w fazie:

Wyznaczanie odchylenia standardowego od wartości średniej:

Wyznaczanie niepewności pomiaru:

Wyznaczanie niepewności procentowej:

Tabela wyników pomiarów dla drgań przeciwnych w fazie:

B) DRGANIA PRZECIWNE W FAZIE.
Położenie sprężyny	l.p.	t10 [s]	T1 [s]	Ω1[Hz]	ω1śr [Hz]
3	1	6,279	0,6279	10,0016	9,8345 σ = 0,1611
		2	6,296	0,6296		9,9746
		3	6,823	0,6823		9,2042
		4	6,274	0,6274		Max:10,0096
		5	6,291	0,6291		9,9825
	4	1	7,143	0,7143		8,7918	8,79334 σ = 0,0248
		2	7,163	0,7163		8,7673
		3	7,141	0,7141		8,7943
		4	7,139	0,7139		8,7968
		5	7,123	0,7123		8,8165
	5	1	8,045	0,8045		7,8061	7,80608 σ = 0,0052
		2	8,062	0,8062		7,7896
		3	8,029	0,8029		7,8216
		4	8,049	0,8049		7,8022
		5	8,040	0,8040		7,8109
	6	1	9,215	0,9215		6,8150	6,79132 σ = 0,01025
		2	9,213	0,9213		6,8165
		3	9,258	0,9258		6,7833
		4	9,272	0,9272		6,7731
		5	9,278	0,9278		6,7687
	7	1	10,460	1,0460		6,0038	6,0019 σ = 0,0051
		2	10,461	1,0461		6,0033
		3	10,480	1,0480		5,9924
		4	10,483	1,0483		Min:5,9906
		5	10,433	1,0433		6,0194
ω1śr = 7,845428 Δω1śr = ± 2,0095 σ = 0,6843

Wyznaczanie stałej sprzężenia k:

1)

2)

3)

4)

5)

Wyznaczanie częstotliwości dudnień:

Wyznaczanie częstotliwości średniej dudnień:

Wyznaczanie odchylenia standardowego od wartości średniej:

Wyznaczanie niepewności pomiaru:

Wyznaczanie niepewności procentowej:

Tabela wyników pomiarów dla dudnień:

C) DUDNIENIA.
Położenie sprężyny	l.p.	t1 [s]	TD [s]	ωD [Hz]	ωDśr [Hz]
3	1	12,210	1,2210	5,1433	5,12908 σ = 0,00805
		2	12,286	1,2286		5,1115
		3	12,286	1,2286		5,1115
		4	12,192	1,2192		Max:5,1509
		5	12,246	1,2246		5,1282
	5	1	12,941	1,2941		4,8528	4,90996 σ = 0,05709
		2	12,934	1,2934		4,8554
		3	12,938	1,2938		4,8539
		4	12,222	1,2222		5,1383
		5	12,950	1,2950		4,8494
	7	1	15,936	1,5936		Min:3,9408	3,98694 σ = 0,01405
		2	15,588	1,5588		4,0287
		3	15,768	1,5768		3,9827
		4	15,722	1,5722		3,9944
		5	15,747	1,5747		3,9881
ωDśr = 4,6753 ΔωDśr = ± 0,60505 σ = 0,34996

Położenia sprężyny:

7

6

5

4

3

2

1

Położenia sprężyny:

7

6

5

4

3

2

1

---