Matematyka-

Wykład

Macierz - prostokątna tablica, utworzona z liczb, elementów jakiegoś zbioru uszeregowanych w wiersze i kolumny (wymiar)

A,B,C,…..X,Y

A=
B=

Rodzaje macierzy

1. Wierszowe i kolumnowe (macierze wektorowe) składające się z 1 wiersza i dowolnej liczby kolumn

A=
B =

2. Macierze kwadratowe m=n

C=
główna przekątna macierzy

3. Macierze trójkątne (macierz kwadratowa, która powyżej, albo poniżej głównej przekątnej ma same zera).

4. Macierze diagonalne - poniżej i powyżej głównej przekątnej mają same zera.

5. Macierze jednostkowe- macierz diagonalna która na głównej przekątnej ma „1”

In =

6. Macierze zerowe - wszystkie elementy są zerem

O=

Działania na macierzach

Macierze A i B są równe gdy mają te same wymiary i odpowiadające sobie elementy tych macierzy są równe.

Dla i=1,2,3,….,m J = 1,2,3,….,n

A=

B=

Dodawanie

A + B =

Mnożenie

Transponowanie Macierzy

gdzie

c

A=

Macierz symetryczna - jest to macierz kwadratowa dla której zachodzi równość

Mnożenie macierzy

Gdy A jest macierzą kwadratową, można zdefiniować potęgowanie.

A

Przykład

0*0+1*0+2*2 0*1+ 1*0+2*3

1*0+0*0+2*2 1*1+1*0+3*3

Własności działań

1. A + B = B + A przemienność dodawania

2. A+( B + C) = ( A + B )+C łączność dodawania

3. A( B + C ) = AB + AC rozdzielność

4. ( A + B ) * C = AC + BC

5. A ( B C ) = ( A * B ) C łączność

6. 
   

7. A In = Im A

AA- macierz m*n Im, In - macierze jednostki

8. 
   

9. 
   

10. 
    

Przykłady zastosowania rachunku macierzowego

Macierze są wygodnym środkiem (narzędziem) służącym do przedstawiania, przekształcania i analizy różnorodnych danych.

Przykład

1 2 3 4

L- listopad;

1- komputery

2- drukarki

3- aparaty cyfrowe

4- odtwarzacze DVD

Wektor cen jednostkowych Łączny utarg

p- cena jednostkowa towaru

Przykład

2 3

1

4

5

- macierz połączeń

aij = 1 gdy istnieje bezpośrednie połączenie lotnicze między miastem i oraz miastem j

aij = 0 gdy brak bezpośredniego połączenia lotniczego między tymi miastami.

Element Macierzy
(k = 1, 2, 3, …) reprezentują liczbę połączeń z k-1 przesiadkami z miasta „i” do miasta „j”

Wyznacznik Macierzy

Słowo wyznacznik pochodzi z łac. „determini” = wyznaczam.

Wyznacznik jest pewną liczbą przyporządkowaną macierzy kwadratowej, oznaczoną symbolami:

det A ,

det
;

Niech:

Będzie dowolną macierzą kwadratową stopnia n

Rekurencyjna definicja wyznacznika

1. jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia pierwszego

to

2. jeżeli A jest macierzą stopnia „n” to
   obliczamy w następujący sposób:

• wybieramy dowolny wiersz( lub kolumnę) macierzy A

• dla każdego elementu wybranego wiersza (kolumny) obliczamy dopełnienie algebraiczne wg wzoru

`

3. Obliczanie
   ze wzoru

Rozwinięcie wyznacznika wg i-tego wiersza

lub wzoru:

Rozwinięcie wyznacznika wg j-tej kolumny (Rozwinięcie Laplace'a wyznacznika macierzy

Twierdzenie 1

Wyznacznik A określony definicją 1 nie zależy od wyboru wiersza (kolumny), według którego rozwijamy ten wyznacznik.

Definicja

Macierz kwadratową
, dla której
nazywamy osobliwą. Macierz której
nazywamy nieosobliwą

Przykład

Prosty sposób = (1*4)-(2*3)= -2

Przykład

Sposób II - metoda Sarrusa (tylko macierze 3-go stopnia)

-3 1 2 3 0

-2 0 1 2 0

0 4

-5 + 4 = -1

Własności wyznacznika

1.Jeżeli macierz A ma wiersz(kolumnę) złożona z samych (zer) ”0”, to

2. Jeżeli macierz A ma dwa proporcjonalne wiersze (kolumny), to

det A = 0

3. Jeżeli A jest macierzą trójkątną, to:

4. 
   Transponowanie nie zmienia wyznacznika

5. 
   

6. Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi, to :

Definicja

Operacje elementarne na wierszach(kolumnach) macierzy nazywamy:

• Przestawienie (zamianę miejscami) dwóch wierszy (kolumn) macierzy

• Pomnożenie wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę
  

• Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza(kolumny) pomnożonego przez dowolną liczbę
  

7. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A poprzez wykonanie operacji elementarnej typu I to:

8. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez wykonanie operacji elementarnej typu II to:

9. Operacja elementarna typu III nie zmienia wyznacznika macierzy

Przykład

Wynikiem jest pomnożona przekątna.

Wybrane zastosowania wyznaczników

Wzory CRAMERA

(1)

Macierz

;

Ax = b (1')

Definicja

Układ równań(1) lub (1') w którym
nazywamy układem Cramera

Twierdzenie

Każdy układ Cramera ma dokładnie 1 rozwiązanie

w którym

Gdzie, Ai oznacza macierz otrzymaną przez zastąpienie „i-tej” kolumny macierzy A, kolumną wyrazów wolnych.

Macierz odwrotna

Macierz odwrotną do macierzy kwadratowej
nazywamy macierz spełniająca warunki:

Można dowieśc że:

Gdzie
jest macierzą utworzoną z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A

Własności macierzy odwrotnej:

Ax = b

(Układ równań Cramera)

Rząd Macierzy

Liczbę macierzy(podmacierzy) stopnia K (K=1,2,3….min {m,n} które można utworzyć z A przez skreślenie pewnej liczby wierszy lub kolumn(wierszy i kolumn) jest równa

Min {m,n}=

Wyznaczniki utworzonych w powyższy sposób podmacierzy nazywamy minorami macierzy A

Przykład

m=3;n=4

Liczba minorów stopnia trzeciego = 4

drugiego = 18

pierwszego = 12

mówimy że macierz A ma rząd równy k

rz[A] =k

jeżeli:

1. W macierzy A istnieje różny od zera minor stopnia K

2. Macierz A nie posiada różnego od zera minor stopnia większego niż k

3. Rząd macierzy zerowej jest z definicji równy zero.

Przykład

Widać, że rz[A] = 3

Własności Macierzy

Definicja

Macierz A ma postać schodkową, jeżeli:

1. Wszystkie jej zerowe wiersze,(jeśli istnieją) położone są poniżej wierszy niezerowych

2. Jeśli w „i-tym” wierszu (i=1, …., m=1) pierwszy niezerowy element (licząc od strony lewej) znajduje się w „j-tej” kolumnie (j=1,….n-1), to w i-tym i pierwszym wierszu pierwszy niezerowy element położony jest w kolumnie o numerze większym niż j.

Przykład

Macierz schodkowa:

Macierz która nie jest schodkowa:

Twierdzenie 1

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie niezerowych wierszy tej macierzy

Twierdzenie 2

Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej

Twierdzenie 3

Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy

Wniosek

Aby wyznaczyć rząd macierzy wystarczy ją sprowadzić do postaci schodkowej i skorzystać z twierdzenie 1.

28.11.2009

Układy równań liniowych

(1)

A=

Ax=b (1')

Zbiór wszystkich rozwiązań układu (1')

Dla każdego układu równań postaci (1') lub (1) może zajść tylko jeden z niżej wymienionych przypadków:

1. S=0 - układ sprzeczny (zbiór zero jest zbiorem pustym)

2. Zbiór S składa się z jednego elementu (rozwiązania) - układ zgodny oznaczony.

3. Zbiór S składa się z nieskończenie wielu elementów - układ zgodny nieoznaczony.

Definicja1

Macierzą uzupełnioną układu (1) nazywamy macierz:

Twierdzenie 1 (Kroneckera - Capeliego)

Układ równań (1) jest zgodny
rz(U) = rz(A)

Wniosek

Jeżeli rz(A)
rz(U) to układ jest sprzeczny

Twierdzenie 2

Jeżeli rz(U) = rz(A) = r to:

1. gdy r = n układ jest oznaczony

2. gdy r < n układ jest nieoznaczony

Definicja 2

Niech S1 i S2 oznaczają odpowiednio zbiory rozwiązań układów

A1x = b1

A2x = b2

Układy te nazywamy równoważnymi, gdy S1 = S2

Definicja 3

Operacjami elementarnymi na równaniach układu (1) nazywamy:

1. zamianę dwóch rozwiązań miejscami

2. pomnożenie obu stron równania przez dowolną liczbę różną od 0

3. pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od zera i dodania go (stronami) do innego równania.

Twierdzenie 3

Operacje elementarne na równaniach nie zmieniają rozwiązań układu (1)

I
/*2 /*2 *3

II

III

13x = 29

X=

Procedura rozwiązywania układu równań liczbowych

1. Tworzymy macierz uzupełnioną U

2. za pomoca operacji elementarnych na wierszach tej macierzy (czyli na równaniach układu(1)) sprowadzamy macierz U do postaci schodkowej

3. Jeśli
   , to układ jest sprzeczny.

4. Jeżeli
   to:

• Tworzymy układ zredukowany złożony z „r” równań, odpowiadających niezerowym wierszom macierzy U'

• Znajdujemy jakikolwiek różny od zera minor stopnia r macierz A'

5. Rozwiązujemy układ zredukowany traktując jako niewiadome tzw. zmienne bazowe tj. zmienne

Których współczynniki tworzą wybrany powyżej (pkt. 4) różny od zera minor stopnia r. Pozostałe zmienne, zwane zmiennymi nie bazowymi ( jest ich n-r) traktujemy jako parametry.

Otrzymane w ten sposób rozwiązanie, w którym występuje n-r parametrów nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu(1)

Rozwiązanie szczególne otrzymujemy wstawiając za zmienne nie bazowe dowolne liczby rzeczywiste.

Gdy za zmienne niebazowe podstawimy „0”, otrzymane rozwiązania szczególne nazywamy rozwiązaniami bazowymi. Rozwiązań bazowych może być co najwyżej

Przykład 1

(1)

~

~

18

---