WYZNACZNIK

Każdej macierzy kwadratowej przyporządkowujemy liczbę nazywaną jej wyznacznikiem.

Definicja

Wyznacznik macierzy kwadratowej

oznaczamy
a jego wartość określamy:

1. jeżeli
   , o
   ;

2. jeżeli
   , to
   , gdzie
   oznacza wyznacznik otrzymany z wyznacznika
   przez pominięcie pierwszego wiersza i
   tej kolumny.

Uwaga

Uogólniając, wyznacznik otrzymany z wyznacznika
przez pominięcie
tego wiersza i
tej kolumny oznaczamy symbolem
i nazywamy podwyznacznikiem wyznacznika
( minorem elementu
.

Definicja

Algebraicznym dopełnieniem elementu
nazywamy iloczyn

Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów pierwszego wiersza tego wyznacznika przez ich algebraiczne dopełnienie
.

Definicja

Stopniem wyznacznika macierzy nazywamy stopień macierzy.

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

Twierdzenie

1. Jeżeli w wyznaczniku zamienimy wiersze na kolumny, to wartość wyznacznika nie zmieni się.

2. Jeżeli w wyznaczniku przestawmy dwa wiersze (kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.

3. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika są zerami, to wyznacznik jest równy 0.

4. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) są proporcjonalne (w szczególności równe) do elementów innego wiersza (kolumny) wyznacznika, to wyznacznik jest równy 0.

5. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożymy przez liczbę
   , to wartość wyznacznika też zostanie pomnożona przez
   .

6. Jeżeli do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) tego wyznacznika pomnożone przez tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie zmieni się.

7. Suma iloczynów elementów
   tego wiersza (kolumny) przez algebraiczne dopełnienie elementów
   tego wiersza (kolumny) wyznacznika jest równa temu wyznacznikowi gdy
   lub jest równa 0 gdy
   ;

tzn.

jeżeli
, to

,

.

8. Jeżeli
   , to
   , gdzie
   ,
   .

METODY OBLICZANIA WYZNACZNIKÓW

Metoda Laplace'a

Z własności (7) wynika, że wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiesza (kolumny) przez ich algebraiczne dopełnienie, tzn.:

(rozwinięcie wyznacznika według
tego wiersza)

lub

(rozwinięcie wyznacznika według
tej kolumny).

Uwaga

Łatwo obliczyć wyznacznik rozwijając go według wiersza lub kolumny, w której jest dużo zer.

Metoda Chio ( metoda obniżania stopnia)

Metoda wynika z własności (8) wyznacznika.

Metoda Sarrusa (n=3)

Definicja

Macierzą odwrotną do macierzy
nazywamy taką macierz
(o ile istnieje), dla której
, gdzie
macierz jednostkowa.

Definicja

Macierz, której wyznacznik jest różny od zera nazywamy macierzą nieosobliwą. Macierz, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą osobliwą.

Twierdzenie

Jeżeli
jest macierzą kwadratową, której wyznacznik
jest różny od zera (macierzą nieosobliwą), to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do macierzy
i jest ona określona wzorem:
, gdzie
algebraiczne dopełnieniem elementu
.

RZĄD MACIERZY

Definicja

Minorem nazywamy wyznacznik, utworzony z macierzy
przez pominięcie pewnej liczby wierszy i pewnej liczby kolumn.

Definicja

Rzędem macierzy nazywamy największy stopień jej niezerowego minora.

Przyjmujemy, że rząd dowolnej macierzy zerowej jest równy zero.

Rząd macierzy
jest równy
, co zapisujemy

, gdy istnieje minor stopnia
tej macierzy różny od zera, a wszystkie

minory stopnia wyższego są równe zeru;

stąd

.

Twierdzenie

Jeżeli w macierzy:

1. zamienimy wiersze na kolumny,

2. przestawimy dwa wiersze (kolumny),

3. pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą, różną od zera, liczbę,

4. do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę,

5. pominiemy wiersz (kolumnę) złożony z samych zer,

6. pominiemy jeden z dwu wierszy (kolumn) o elementach proporcjonalnych,

to rząd macierzy nie zmieni się.

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Definicja

Układem
równań liniowych o
niewiadomych
nazywamy

.

Rozwiązaniem tego układu jest
liczb
spełniających powyższe równania.

Układ ten możemy zapisać w postaci macierzowej
, przyjmując:

,
, C=
.

Wyznacznik macierzy
nazywamy wyznacznikiem głównym układu.

Twierdzenie (Twierdzenie Cramera)

Jeżeli wyznacznik główny
układu
równań liniowych o
niewiadomych
jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono określone tzw. wzorami Cramera:
, gdzie
oznacza wyznacznik otrzymany z wyznacznika
przez zastąpienie
tej kolumny kolumną wyrazów wolnych
.

Definicja

Układem
równań liniowych o
niewiadomych
nazywamy

.

Rozwiązaniem tego układu jest
liczb
spełniających powyższe równania.

Układ ten możemy zapisać w postaci macierzowej
, przyjmując:

,
, C=
.

Definicja

Macierzą rozszerzoną (uzupełnioną)
układu
równań liniowych o
niewiadomych
jest macierz powstała z macierzy
po dołożeniu do niej (jako ostatnią kolumnę) kolumny wyrazów wolnych, tzn.

.

Twierdzenie ( Twierdzenie Kroneckera-Capelliego)

Układ

równań liniowych o
niewiadomych
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy
i macierzy rozszerzonej
są równe

,

przy tym:

1. jeżeli
   , to układ ma jedno rozwiązanie,

2. jeżeli
   , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one zależne od
   parametrów.

Uwaga

Z twierdzenia wynika, że jeżeli
, to układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Definicja

Układ równań liniowych
nazywamy układem jednorodnym, jeżeli w układzie tym

dla
lub
.

W przeciwnym wypadku układ nazywamy układem niejednorodnym.

Uwaga

Zauważmy, że każdy układ jednorodny ma rozwiązanie zerowe
.

---