CEL ĆWICZENIA:

Celem ćwiczenia jest :

• zaznajomienie się z pomiarami rezystancji,

• pomiar zależności rezystancji metalu i półprzewodnika w zakresie od temperatury pokojowej (293 K) do około 363 K,

• wyznaczanie współczynnika temperaturowego rezystancji oraz szerokości pasma wzbronionego.

WSTĘP:

Ciała stałe ze względu na ich własności elektryczne dzieli się na trzy grupy : przewodniki, półprzewodniki i dielektryki ( izolatory ). Do półprzewodników należą ciała, których konduktywność jest mniejsza od konduktywności dielektryków. Konduktywność półprzewodników mieści się w bardzo szerokich granicach od 10^-8 do 10⁵ Ω^-1m.^-1. Do półprzewodników zaliczamy 12 pierwiastków,

wśród których największe znaczenie mają german i krzem. Półprzewodnikami są także liczne związki podwójne.

Istotnym czynnikiem, który odróżnia półprzewodniki od pozostałych grup ciał stałych jest ich wewnętrzna struktura elektronowa. Z niej wynikają wszystkie elektryczne, optyczne i inne własności półprzewodników.

Wiadomo, że w odosobnionym atomie elektrony mogą mieć tylko pewne dozwolone wartości energii całkowitej, zwane w fizyce atomowej dozwolonymi poziomami elektrycznymi.

W ciele stałym, w miejsce poszczególnych poziomów energetycznych w odosobnionym atomie, jako następstwo periodycznego rozkładu potencjału krystalicznego, pojawiają się pasma energetyczne złożone z bardzo wielu blisko siebie leżących, dozwolonych poziomów energii elektronów. Odległości między poziomami energetycznymi w paśmie są tak małe, że można uważać, że praktycznie energia w pasmach zmienia się w sposób ciągły. Ważną rolę odgrywa w mechanizmie przewodnictwa ciał stałych fakt, że liczba dyskretnych poziomów w paśmie jest skończona. Pasma energii dozwolonych są oddzielone pasmami energii wzbronionych, których elektrony w ciele stałym mieć nie mogą. Istnienie pasm w ciele stałym jest wynikiem oddziaływania na elektrony w atomie pól atomów sąsiednich. Wpływ atomów sąsiednich jest najmniejszy na elektrony wewnętrzne w atomie, które znajdują się blisko jądra i są silnie z nim związane. Dlatego pasma energii elektronów wewnętrznych są bardzo wąskie i praktycznie odpowiadają poziomom w odosobnionym atomie. Wysokoenergetyczne natomiast poziomy elektronów zewnętrznych tworzą szerokie pasma. Elektrony wewnętrzne można wykluczyć z rozważań o przewodnictwie ciał stałych, ponieważ obsadzają wszystkie dozwolone poziomy energii w ich paśmie. Aby przewodzić prąd elektryczny, elektron musi pobierać energię od przyłożonego pola elektrycznego. Oznacza to, że elektron musi być przenoszony na wyższe poziomy energetyczne, co myśl zasady Pauliego jest niemożliwe, jeżeli te poziomy są już zajęte.

W przewodnikach (metalach) elektrony walencyjne całkowicie wypełniają pasmo albo najwyższe całkowicie obsadzone przez elektrony walencyjne pasmo nachodzi częściowo na wyżej położone pasmo puste, dając w rezultacie również pasmo częściowo zapełnione.

W dielektrykach elektrony walencyjne całkowicie wypełniają pasmo walencyjne (podstawowe). Wyżej leżące i puste pasmo energii dozwolonych (pasmo przewodnictwa) jest oddzielone od pasma walencyjnego szerokim pasmem energii wzbronionej zwanym też przerwą energetyczną. Elektrony walencyjne w tym przypadku nie mogą pobierać energii od zewnętrznego pola elektrycznego, gdyż zasada Pauliego nie pozwala im przechodzić na wyższe, zajęte już poziomy pasma podstawowego, a prawdopodobieństwo przejścia elektronów walencyjnych do pustego pasma przewodnictwa jest bardzo małe. W rezultacie prąd w dielektrykach praktycznie nie płynie.

Model pasmowy półprzewodnika, tzw. samoistnego, czyli półprzewodnika o niezakłóconej domieszkami sieci krystalicznej jest taki sam, jak dielektryka, z tym, że szerokość pasma wzbronionego E_g, równa różnicy energii dna pasma przewodnictwa i wierzchołka pasma walencyjnego jest mała. W półprzewodnikach wartość przerwy energetycznej E_g nie przekracza 3 eV.

W metalach swobodnymi nośnikami ładunku są elektrony nie zapełnionego pasma przewodnictwa i konduktywność wyraża się wzorem :

,

gdzie e - ładunek elementarny e=1,6022∙10^-19C,

n - koncentracja swobodnych nośników w metalach,

u_n - ruchliwość swobodnych nośników ładunku

ustala się w warunkach równowagi, gdy średni przyrost prędkości unoszenia v_n ( prędkości uporządkowanego ruchu nośników wzdłuż pola elektrycznego ), wywołany działaniem siły pola elektrycznego
, jest równoważony ubytkiem tej prędkości wywołanym procesami rozproszeniowymi. Przyczyną rozproszenia fali elektrycznej (fali de Broglie'a elektronu) są wszelkie odstępstwa od periodyczności energii potencjalnej elektronu w krysztale.

W metalach można wyróżnić dwa podstawowe mechanizmy rozpraszania.

W zakresie wysokich temperatur decydujące jest rozpraszanie swobodnych nośników, związane z drganiami cieplnymi atomów, rozmieszczonych w węzłach periodycznej sieci krystalicznej. Drgania powodują niejednorodność ośrodka w postaci lokalnych fluktuacji gęstości, na których rozprasza się fala, reprezentująca ukierunkowaną w polu elektrycznym wiązkę elektronów. Ponieważ energia drgań sieci jest skwantowana i kwant energii takich drgań o częstości ν wynosi hν ( h - stała Plancka h=6,62∙10^-34Js) i nazywa się fotonem, można powiedzieć, że rozpraszanie swobodnych elektronów, spowodowane drganiami sieci, polega na zderzeniach elektronów z fotonami.

Ze wzrostem temperatury zwiększa się zarówno amplituda drgań sieci, jak i przekrój czynny na rozpraszanie ( prawdopodobieństwo rozproszenia ).

Ze wzrostem temperatury maleje zatem ruchliwość i konduktancja metali, zwiększa się więc ich rezystancja. W zakresie wysokich temperatur, w mało zanieczyszczonych metalach jednoskładnikowych, z dobrym przybliżeniem słuszna jest liniowa zależność między przyrostem rezystancji metali a przyrostem temperatury. W tym zakresie temperatur zależność rezystancji metali opisuje się często wzorem

,

w którym R₀ - rezystancja w temperaturze 0˚C,

R - rezystancja w temperaturze t˚C,

natomiast

nosi nazwę współczynnika temperaturowego rezystancji w zakresie od 0 do t˚C.

W praktyce technicznej spotyka się wartości współczynnika temperaturowego rezystancji, przyjmujące za rezystancję odniesienia rezystancję w temperaturze pokojowej ( 20˚C )

Drugim mechanizmem rozpraszania swobodnych nośników w metalach jest rozpraszanie na wszelkich defektach sieciowych (zaburzeniach strukturalnych sieci ). W czystych metalach jednoskładnikowych ten typ rozpraszania ma dominujące znaczenie w niskich temperaturach. Wówczas składowa rezystancji R_i, spowodowana defektami sieciowymi jest praktycznie niezależna od temperatury i mała w porównaniu ze składową sieciową R_l w temperaturze pokojowej. Rezystancję R_i określa się często mianem rezystancji resztkowej. Obydwa czynniki rezystancji są addytywne ( reguła Matthiessena ) i

R=R_l+R_i .

Dla wielu stopów metalicznych składowa R_i może być znaczna i przewyższać składową R_l.

Rezystancja niektórych materiałów gwałtownie spada do zera po osiągnięciu pewnej dostatecznie niskiej temperatury, zwanej krytyczną. Materiały takie nazywamy nadprzewodnikami. Temperatury krytyczne nadprzewodników mieszczą się w przedziale od ok. 18 K dla stopów niobowych do około 0,01 K dla niektórych półprzewodników.

Przedstawione wyżej uwagi o rozpraszaniu swobodnych nośników w metalach są słuszne również dla półprzewodników, z tym że w półprzewodnikach głównymi defektami strukturalnymi, które decydują o rozpraszaniu w niskich temperaturach, zjonizowane atomy domieszek.

Dla półprzewodnika, w zakresie temperatur przewodnictwa samoistnego, mierząc zależność rezystancji od temperatury można wyznaczyć szerokość pasma wzbronionego E_g. Podstawą obliczeń jest wzór określający konduktywność półprzewodnika w zakresie przewodnictwa samoistnego.

,

gdzie
- wielkość niezależna od temperatury,

k - stała Bolztmanna k=1,38∙10^-23 J/K

Ze wzoru tego wynika wyrażenie określające rezystancję w zakresie samoistnym

,

gdzie R₀ z dobrym przybliżeniem jest stałą zależną od rodzaju półprzewodnika i jego wymiarów geometrycznych. Stała R₀ oznacza rezystancję jaką miałby półprzewodnik w nieskończenie dużej temperaturze, gdyby ta zależność była słuszna w całym zakresie temperatur.

Logarytmując stronami otrzymujemy

lub

Na wykresie zależność lnR=f(1000/T) w zakresie przewodnictwa samoistnego przedstawia zatem linię prostą, której tangens kąta nachylenia wynosi

stąd

,

gdzie lnR₁, 1000/T₁ oraz lnR₂, 1000/T₂ oznaczają współrzędne punktów na początku i końcu prostoliniowego wykresu zależności lnR=f(1000/T)

WYKAZ PRZYRZĄDÓW :

• multimetr 1321 dla metalu i półprzewodnika

• autotransformator typu AR 201

• transformator ochronny

• komora pomiarowa zawierająca badany metal ( platynę ) i stop półprzewodnikowy NTC 21

PRZEBIEG ĆWICZENIA :

Układ pomiarowy składa się z komory pomiarowej K, w której znajduje się walec miedziany (ze względu na dobrą przewodność cieplną), we wnękach którego umieszczone są badane rezystory, termometr T i grzejnik G (zasilany z autotransformatora poprzez transformator ochronny, obniżający napięcie). Rezystancje mierzy się za pomocą multimetrów typu 1321. Po odłączeniu napięcia zasilającego grzejnik temperatura obniża się, proces ten można przyspieszyć włączając wentylator (znajdujący się w dolnej części komory pomiarowej) i dodatkowo chłodzenie wodne dostępne za pośrednictwem zewnętrznej pompy.

Układ do pomiaru zależności rezystancji od temperatury

K - komora pomiarowa , G - grzejnik , Rm - rezystor platynowy , Rt - rezystor (NTC-21) półprzewodnikowy , T - termometr , TR - transformator ochronny , ATR - autotransformator

Pomiarów dokonywano podgrzewając rezystory od temperatury pokojowej(20C) do 90C odczytując co 5C wartości R_m i R_t. Do temperatury 45C autotransformator był ustawiony na 100V, od temperatury 45C do 65C na 120V, a od 65C do 90C na 150V. Następnie w ten sam sposób mierzono rezystancję przy spadku temperatury (przy wyłączonym autotransformatorze i działającym wentylatorze a od 55C z dodatkowym chłodzeniem wodnym). Wyniki odczytywane z multimetrów typu 1321 obarczone są błędem wynikającym z ich klasy dokładności :

ΔR=0,2% wartości mierzonej + 0,1%podzakresu

Mierniki mierzyły w zakresie 2kΩ dla metalu i 20kΩ dla półprzewodnika.

Błąd odczytu temperatury wynosi ΔT=0,5 K (najmniejsza podziałka 1 ˚C ).

1.Podgrzewanie.

Tabelka zmian rezystancji platyny R_m. i półprzewodnika R_t wraz ze wzrostem temperatury t :

t [ ˚C ]	T [ K ]	1000/T	Rm. [ kΩ ]	ΔRm. [kΩ ]	Rt [ kΩ ]	ΔRt [kΩ ]	lnRt [ kΩ ]
20	293	3,413	0,106	2,210∙10^-3	13,72	0,047	2,60
25	298	3,356	0,108	2,216∙10^-3	10,84	0,042	2,40
30	303	3,300	0,110	2,220∙10^-3	8,75	0,038	2,20
35	308	3,247	0,112	2,224∙10^-3	6,94	0,034	2,00
40	313	3,200	0,114	2,228∙10^-3	5,80	0,032	1,80
45	318	3,145	0,116	2,232∙10^-3	4,70	0,030	1,55
50	323	3,100	0,118	2,236∙10^-3	3,88	0,028	1,36
55	328	3,050	0,120	2,240∙10^-3	3,16	0,026	1,15
60	333	3,003	0,122	2,244∙10^-3	2,66	0,025	1,00
65	338	2,960	0,124	2,248∙10^-3	2,22	0,024	0,80
70	343	2,915	0,126	2,252∙10^-3	1,83	0,024	0,60
75	348	2,874	0,128	2,256∙10^-3	1,55	0,023	0,44
80	353	2,833	0,130	2,260∙10^-3	1,30	0,023	0,26
85	358	2,800	0,132	2,264∙10^-3	1,10	0,022	0,10
90	363	2,755	0,134	2,268∙10^-3	0,94	0,022	-0,06

R_mśr=0,12 kΩ

t_śr=55 ˚C

R_tśr=4,626 kΩ

T_śr=328 K

Temperaturowy współczynnik rezystancji metalu α wyniósł :

Rm. [kΩ ]	α	Rm. [ kΩ ]	α
0,108	3,8∙10^-3	0,122	3,8∙10^-3
0,110	3,8∙10^-3	0,124	3,8∙10^-3
0,112	3,8∙10^-3	0,126	3,8∙10^-3
0,114	3,8∙10^-3	0,128	3,8∙10^-3
0,116	3,8∙10^-3	0,130	3,8∙10^-3
0,118	3,8∙10^-3	0,132	3,8∙10^-3
0,120	3,8∙10^-3	0,134	3,8∙10^-3

α_śr=3,8∙10^-3

Obydwa wykresy przedstawiają liniową zależność rezystancji metali i półprzewodników od temperatury w zakresie wysokich temperatur.

Szerokość przerwy wzbronionej w półprzewodniku NTC-21 wynosi :

Pomiar błędów :

Błąd Δα obliczymy metodą różniczki zupełnej :

natomiast błąd
będzie równy :

2.Ochładzanie.

Tabelka zmian rezystancji platyny R_m. i półprzewodnika R_t wraz z zmniejszaniem temperatury t :

t [ ˚C ]	T [ K ]	1000/T	Rm. [ kΩ ]	ΔRm. [kΩ ]	Rt [ kΩ ]	ΔRt [kΩ ]	lnRt [ kΩ ]
90	363	2,755	0,134	2,268∙10^-3	0,94	0,022	-0,06
85	358	2,800	0,132	2,264∙10^-3	1,13	0,022	0,12
80	353	2,833	0,130	2,260∙10^-3	1,33	0,022	0,28
75	348	2,874	0,128	2,256∙10^-3	1,58	0,023	0,46
70	343	2,915	0,126	2,252∙10^-3	1,88	0,023	0,63
65	338	2,960	0,124	2,248∙10^-3	2,27	0,024	0,82
60	333	3,003	0,122	2,244∙10^-3	2,69	0,025	1,00
55	328	3,050	0,120	2,240∙10^-3	3,25	0,026	1,18
50	323	3,096	0,117	2,234∙10^-3	4,20	0,028	1,43
45	318	3,145	0,115	2,230∙10^-3	5,16	0,030	1,64
40	313	3,200	0,113	2,226∙10^-3	6,28	0,032	1,84
35	308	3,247	0,111	2,222∙10^-3	7,65	0,035	2,04
30	303	3,300	0,109	2,218∙10^-3	9,21	0,038	2,22
25	298	3,356	0,107	2,214∙10^-3	11,15	0,042	2,41
20	293	3,413	0,106	2,212∙10^-3	13,79	0,048	2,62

R_mśr=0,12 kΩ

t_śr=55 ˚C

R_tśr=4,834 kΩ

T_śr=328 K

Temperaturowy współczynnik rezystancji metalu α wyniósł :

Rm. [kΩ ]	α	Rm. [ kΩ ]	α
0,107	1,9∙10^-3	0,122	3,8∙10^-3
0,109	2,8∙10^-3	0,124	3,8∙10^-3
0,111	3,1∙10^-3	0,126	3,8∙10^-3
0,113	3,3∙10^-3	0,128	3,8∙10^-3
0,115	3,4∙10^-3	0,130	3,8∙10^-3
0,117	3,5∙10^-3	0,132	3,8∙10^-3
0,120	3,8∙10^-3	0,134	3,8∙10^-3

α_śr =3,23∙10^-3

Obydwa wykresy przedstawiają liniową zależność rezystancji metali i półprzewodników od temperatury w zakresie wysokich temperatur.

Szerokość przerwy wzbronionej w półprzewodniku NTC-21 wynosi :

Pomiar błędów :

Błąd Δα obliczymy metodą różniczki zupełnej :

natomiast błąd
będzie równy :

WNIOSKI I UWAGI:

Błędy, którymi obarczone są wyniki spowodowane kilkoma przyczynami :

• niemożliwy był precyzyjny odczyt rezystancji półprzewodnika z miernika podczas ochładzania, ponieważ rezystancja zmieniała się w bardzo szybkim tempie,

• niedokładny odczyt wartości temperatury z termometru laboratoryjnego,

• błędy użytych mierników wynikające z dokładności konstrukcji,

• wpływ rezystancji przewodów i połączeń (długość przewodów).

Charakterystyki wyznaczone podczas na podstawie wyników ćwiczenia (zarówno zależność lnR=f(1000/T), jak i R=f(T)) mają postać linii prostych, zgodnie z powyższymi faktami opisanymi w skrypcie. Również wartości temperaturowego współczynnika rezystancji i szerokość pasma wzbronionego półprzewodnika Eg pokrywają się z wartościami podawanymi w tablicach .

Różnice między ogrzewaniem i schładzaniem (dla metalu nieznaczne) wynikają z dużych i szybkich zmian temperatury w procesie schładzania, w którym to prędkość zmian temperatury ma istotne znaczenie dla dokładności wyników pomiarów, ponieważ w doświadczeniu zakładaliśmy równowagę termodynamiczną dla badanych materiałów. Jak widać z wykresów w badanym półprzewodniku w danym zakresie temperatur obserwujemy przewodnictwo samoistne (wykres jest w przybliżeniu linią prostą).

W ćwiczeniu wykorzystany był element typu NTC-21, którego rezystancja rośnie wykładniczo wraz ze wzrostem temperatury. Typ NTC jest wytwarzany z tlenków manganu, tytanu, niklu, kobaltu, żelaza, glinu, miedzi i litu.

---