3. Rozwiązywanie równania nieliniowego metodą Newtona

a)podać ogólną postać równania

f(x)=0

Gdzie:

f(x)-funkcja nieliniowa

istnieją pierwiastki rzeczywiste równania i są jednokrotne

b)podać przykład równania nieliniowego

f(x)=x²-5x+6

c)określić niewiadomą

x*εR: f(x*)=0

np: x*: x²*-5x*+6=0

d)wyjaśnić jak sprawdzić ,czy funkcja ciągła w przedziale [a,b] ma w nim pierwiastek

???????????????????????????????????????????chyba tak jak w bisekcji-spytam Zbycha

e)podać warunki jakie musi spełniać funkcja występująca w równaniu

Mamy otoczenie punktu x*- U(x*)

∃ f `(x) ,x εU(x*)

f `(x)≠0 ,∀x εU(x*)

f)przedstawić na rysunku sposób poszukiwania niewiadomej

załącznik

g)wytłumaczyć na czym polega metoda iteracyjna

Metoda iteracyjna -metoda kolejnych przybliżeń-do rozwiązania dochodzi się krok po kroku

1)zaczynam od x₀

2)znajduję punkt na krzywej o współrzędnych (x₀,f(x₀) i wyznaczam styczną do krzywej w tym punkcie

3)przecięcie stycznej z osią x daje nowe przybliżenie x₁

4) dla x₁ powtarzam punkty 2 i 3 aż dojdę do takiego x_n=x* , że f(x_n)=0

h) napisać wzór metody

Równanie stycznej

y= f `(x<sub>0</sub>)x + f(x<sub>0</sub>) -f `(x₀)x₀

szukamy y= 0

czyli:

0= f `(x<sub>0</sub>)x<sub>1</sub> + f(x<sub>0</sub>) -f `(x₀)x₀

gdzie:

x₁-niewiadoma

x₁=x₀ - f(x₀)/f `(x₀)

i)przedstawić warunki kończące process iteracyjny

1. [ f(x_i)]<ε ` -x<sub>i</sub> jest rozwiązaniem a ε `-mała wybrana liczba

2. [x_i+1 -x_i] <ε `' -x<sub>i+1</sub> jest rozwiązaniem a ε `'- mała inna wybrana liczba

4. Rozwiązywanie równania nieliniowego metodą połowicznego podziału.

1. ogólna postać równania:

f(x) = 0 istnieją pierwiastki rzeczywiste równania i są to pierwiastki jednokrotne

2. przykład równania nieliniowego:

3. określenie niewiwdomych:

x^* * R : f(x^*) = 0

4. sprawdzenie czy funkcja ciągła na przedziale [a,b] ma w nim pierwiastki:

5. warunki, jakie musi spełniać funkcja występująca w równaniu:

dane: [a₀,b₀] ; f(a₀) f(b₀) < 0 założenie: f(x) * [a₀,b₀]

6. rys. ze sposobem poszukiwania niewiadomej- wykład nr 1. 21.02.2002

7. metoda iteracyjna:

Polega na tym, że do rozwiązania dochodzimy krok po kroku przez kolejne przedziały zbliżamy się do rozwiązania.

Wyznaczamy pierwiastek równania leżący w przedziale [a,b] przez dzielenie przedziału na połowy i dorzucenie części nie zawierającej pierwiastka.

Jeżeli *=1/2*(a+b) i f(*)=0 to * jest pierwiastkiem równania.

Jeżeli f(*)≠0 to wybieramy tę połówkę przedziału [a, 1/2*(a+b)] lub [1/2*(a+b),b], na krańcach której funkcja f(x) ma znak przeciwny i w ten sposób otrzymujemy nowy przedział [a₁,b₁] zawierający pierwiastek równania. Następnie przepoławiamy powstały przedział i od nowa rozpatrujemy w nim znaki i wartości funkcji f(x) itd.

8. wzór metody:

1.
jest to początkowe przybliżenie rozwiązania

2.
wtedy x_i - jest rozwiązaniem (gzie: ε - liczba mała dodatnia) , gdy:

liczymy dalej wyznaczamy
ustalamy przedział:

[a_i+1,b_i+1] =
[a_i,x_i] , f(a_i)f(x_i)<0

[x_i,b_i] , f(b_i)f(x_i)>0

3.
wtedy x_i+1 - jest rozwiązaniem, gdy:

liczymy dalej, wracamy do punktu 2.

9. warunki kończące proces iteracyjny:

W rezultacie powyższego postępowania po pewnym kroku otrzymujemy albo pierwiastek dokładny, albo ciąg zstępujący przedziałów takich że:

f(a_n)f(b_n)<0, n=1,2,...

Kończymy proces iteracji gdy:
wtedy x_i+1 - jest rozwiązaniem.

5. Interpolacja funkcji za pomocą wielomianu Lagrange'a.

a) napisać jaki jest cel interpolowania funkcji (co jest dane, a co wyznaczamy i w jakim celu), zrobić rysunek.

Celem interpolacji za pomocą wielomianu Lagrange'a jest znalezienie wzoru funkcji ciągłej f(x) interpolującej funkcję w postaci dyskretnej y(x).

Dane: funkcja y(x) w postaci dyskretnej, czyli znamy punkty x₀, x₁,...,x_n i odpowiadające im y₀, y₁,...,y_n.

Szukane: funkcja w postaci ciągłej f(x) interpolująca daną funkcję y(x).

b) napisać jaki warunek musi spełniać funkcja interpolująca.

f(x_i)=y_i i=0,1,...,n

f(x) - wielomian.

c) dla funkcji interpolującej w postaci wielomianu, określić dopuszczalny jego stopień dla węzłów interpolacyjnych: x₀, x₁,...,x_n.

Jeżeli „n+1” to liczba węzłów interpolacyjnych a „k+1” stopień wielomianu to, aby znaleźć wielomian interpolacyjny musi spełniony warunek, że n+1=k+1 wtedy istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeżeli n+1>k+1 to brak jest rozwiązania.

Jeżeli n+1<k+1 to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.

d) podać ogólną postać wielomianu Lagrange'a oraz układ równań, z którego wyznaczane są jego współczynniki.

- ogólna postać

układ równań z którego wyznaczmy współczynniki a_k:

otrzymujemy n+1 równań przy k+1 niewiadomych

e) napisać ostateczny wzór wielomianu Lagrange'a.

Przykład:

1 - pamiętamy, że obliczamy dla i=0 ale j≠0,

2 - obliczamy dla i=1, czyli w liczniku nie może pojawić się (x-x₁) a w mianowniku (x₁-x₁)

f) wyjaśnić w jakich przypadkach nie należy używać wielomianu Lagrange'a do interpolacji funkcji i dlaczego.

Przy końcach przedziałów, między węzłami, funkcja może wykazywać spore odchylenia.

Wielomiany Lagrange'a nie powinny być stosowane w przypadku węzłów równoodległych.

6. Interpolacja funkcji za pomocą funkcji sklejanej z wielomianów stopnia pierwszego.

a) napisać jaki jest cel interpolowania funkcji (co jest dane, co wyznaczamy i w jakim celu), zrobić rysunek.

Celem interpolacji funkcji za pomocą funkcji sklejanej jest znalezienie wzoru funkcji ciągłej Skl(x) interpolującej funkcję daną w postaci dyskretnej y(x).

Dane: funkcja y(x) w postaci dyskretnej, czyli znamy punkty x₀, x₁,...,x_n i odpowiadające im y₀, y₁,...,y_n.

Szukane: Skl(x)

b) napisać jaki warunek musi spełniać funkcja interpolująca.

Skl(x_i)=y_i

c) podać ogólną postać funkcji sklejanej z wielomianów 1 stopnia.

wartości w nawiasach w indeksie górnym przy „a” i „b” nie oznaczają potęgi !!!

d) wypisać wszystkie jej parametry.

Parametry funkcji sklejanej to: a⁽ⁱ⁾=y_i gdzie: i=0,1,...,n-1.

b⁽ⁱ⁾ gdzie: i=0,1,...,n-1.

e) wyjaśnić sposoby wyznaczania parametrów.

Parametry a⁽ⁱ⁾ wyznaczamy:

Skl(x₀)= a⁽⁰⁾=y₀ , czyli

a⁽ⁱ⁾=y_i, i=0,1,...,n-1

Parametry b⁽ⁱ⁾ wyznaczamy:

Skl(x₁)=a⁽⁰⁾+b⁽⁰⁾(x₁-x₀)=y₁ ⇒ b⁽⁰⁾=(y₁-y₀)/(x₁-x₀)

dla i=0,1,2,...,n-1

7. APROKSYMACJA ZA POMOCĄ FUNKCJI POTĘGOWEJ

1. cel aproksymacji (co jest dane, a czego szukamy), zrobić rysunek

Funkcję f aproksymuje się funkcją f^* , którą można wyrazić jako kombinację liniową:

f^*(x) = c₀ϕ₀(x)+c₁ϕ₁(x)+...+c_nϕ_n(x)

z góry ustalonych n+1 funkcji ϕ₀, ϕ_1, ... ϕ_n -(są to funkcje bazowe i z nich wynika liniowość aproksymacji). Określa się natomiast wartości parametrów c₀, c₁, c_n.

Zwykle f jest dane w postaci tablicy wartości f(x₀), f(x₁), ..., f(x_m) na siatce x₀, x₁, ..., x_m. Zakłada się, że siatka składa się wszędzie z m+1 różnych punktów. Jeśli funkcja była pierwotnie dana za pomocą krzywej lub skomplikowanego wyrażenia, to i wtedy można otrzymać taką tablicę.

Należy określić wartości n+1 parametrów c₀, c₁, ..., c_n tak, aby równości f^*(x_i) = f(x_i) były spełnione dokładnie lub możliwie najmniejszym błędem we wszystkich m+1 punktach siatki.

Prowadzi to do układu m+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi:

ϕ₀(x₀)c₀+ϕ₁(x₀)c₁+...+ϕ_n(x₀)c_n = f(x₀),

ϕ₀(x₁)c₀+ϕ₁(x₁)c₁+...+ϕ_n(x₁)c_n = f(x₁),

.............................................................

ϕ₀(x_m)c₀+ϕ₁(x_m)c₁+...+ϕ_n(x_m)c_n = f(x_m).

Aproksymacja funkcji (przybliżanie, zastępowanie)

Dane:

x_o, x₁, ... , x_n

y_o, y₁, ... , y_n

Szukane:

Szukamy funkcji opisującej układ punktów na płaszczyźnie. Aproksymujemy linią prostą, wykładniczą, logarytmiczną, itd. (najczęściej prostą)

RYSUNEK1

Szukamy zależności funkcyjnej f(x) między x - ami i y - ami , która w najlepszy sposób odda na płaszczyźnie tę zależność (rys. 1).

1 etap - wybór rodzaju funkcji (decydujemy o wyborze funkcji (np.: parabola) na

podstawie układu punktów)

2 etap - wybieramy najlepsze parametry danej funkcji

b) warunek, którego spełnienie decyduje o właściwym wyznaczeniu parametrów wybranej funkcji aproksymującej

(*RYS. 1) chcę, aby ta odległość była jak najmniejsza (odległości podnosi się do kwadratu i sumuje po wszystkich wartościach - suma długości wszystkich odcinków)

S(a_o, a₁) =

a_o, a₁ - niewiadome, mamy wybrać najlepsze parametry (gdy suma kwadratów odchyłek będzie min)

3. i d)

(do RYS.1) Aproksymacja liniowa (decyduję się na funkcję liniową) wielomian 1 - go stopnia f(x) = a_o + a₁x

wyprowadzenie wzorów na parametry f-cji aproksymującej

met. wyznaczników

wzory na parametry funkcji aproksymującej

APROKSYMACJA POTĘGOWA (wybieramy do aproksymacji funkcję potęgową f(x))

f(x) = b*x^c

(RYSUNEK 2)

Zależność pomiędzy z i u sprowadzam do aproksymacji liniowej. Przechodzę na płaszczyznę u i z. (RYSUNEK 3)

a₀ =

a₁ =

lnb - a₀ ⇒ b = e^ao

c = a₁

8. Aproksymacja za pomocą funkcji wykładniczej

a). Napisać jaki jest cel aproksymacji ( co jest dane , a czego szukamy ), zrobić rysunek

b). Przedstawić warunek , którego spełnienie decyduje o właściwym wyznaczeniu parametrów wybranej funkcji aproksymującej

c). Wyjaśnić jak sprowadza się podane zadanie do zagadnienia aproksymacji za pomocą wielomianu 1 stopnia

d). Na przykładzie funkcji aproksymującej w postaci wielomianu 1 stopnia , podać jak powstaje i jaka na postać układ równań , z którego wyznacza się parametry wielomianu

Celem aproksymacji jest przybliżanie , szukanie wzoru funkcji , zastępowanie .

Dane : x₀ , x_{1 ,} x₂ , ..... , x_n

y_{0 ,} y_01, y_{2 , ............,} y_n

Szukane : Funkcja opisująca najlepiej układ punktów na płaszczyźnie

. .

. .

x₀ x₁ x_n

Tak dobieram parametry a₀ i a₁ , żeby funkcja S (a₀ , a₁ ) = Σ y_i(a₀ + a₁x_i )

( y_i - a₀ - a₁x_i )²

Funkcja wykładnicza

F(x) = b*e ^cx

ln y = ln b + cx* ln e

y = b*e ^cx

z a₀ a₁ 1 y_n S(a₀, a₁)

z = a₀ + a₁ x

(xi,yi)

1. 
   etap - wybieramy rodzaj funkcji x₀ x_i x_n

2. etap - wybieramy najlepsze parametry danej funkcji , tak aby był spełniony warunek

S (a₀ , a₁ ) = Σ y_i(a₀ + a₁x_i )

( y_i - a₀ - a₁x_i )²

y_i - a₀ - a₁x_i )*(-1) = 0 /: ( -2)

y_i - a₀ - a₁x_i )*(- x_i) = 0 /: ( -2)

y_i* x_i -
a₀* x_i -
a₁x_i² = 0

y_i -
a₀ -
a₁x_i = 0

( n+1 )* a₀

(
x_i)* a₀ + (
x_i²)* a₁ =
y_i* x_i

( n+1 )* a₀ + (
x_i)* a₁ =
y_i

a₀ =

a₁ =

9. Rozwiązanie zagadnienia początkowego metodą Eulera. 4.04.02

a) podać ogólną postać zagadnienia początkowego,

b) podać przykład zagadnienia początkowego,

c) określić niewiadomą, przedział w którym jest wyznaczana, postać rozwiązania (ciągła, czy dyskretna), zrobić rysunek,

d) napisać wzór, przy użyciu którego wyznaczane są wartości niewiadomej (proszę wyjaśnić znaczenie użytych we wzorze symboli ),

e) wyprowadzić wzór metody,

f) określić rząd dokładności metody, odpowiedź proszę uzasadnić.

a)
= f(x,y) (1) - Równanie różniczkowe zwyczajne

y₍₂₎= α - warunek początkowy

-niewiadome w r. różniczk. Jest funkcją niewiadomą y(x)

b) np.
= 2x²y +
= f(x,y)

-jeśli np. funkcja y(x) = 2x+lnx spełnia równanie (1) to gdy dopiszemy stałą ,też będzie spełniało to równanie

y(x) = 2x+lnx+10

3. RYSUNEK

dostajemy: y(x₁) - przybliżone wart, funkcji tgδ =

w_i = w(x_i) = y(x₁)

y(x₁) - przybliżone wart, funkcji

w_i'= f(x_i,w_i)

4. w_i+1 = w_i +h*f(x_i,w_i)

w_i+1- kolejna wartość funkcji

w_i - poprzednia wartość funkcji

h - długość przedziału między węzłami

f(x_i,w_i) - przybliżona wartość funkcji

e) tgδ =
styczna do krzywej →(wsp. kierunkowy)

→(pochodna danej funkcji tgδ=y'(x_o)

y'(x_o)= f(x_ow_o)

= f(x_i,w_i) / *h

w₁ = α +h*f(x_ow_o) tgδ =
= w(x₁) , w(x₁) = f(x₁,w₁)

w₂ = w₁ +h*f(x_1,w₁)

i=1,2,3…

Z: w_o = y_o

w_o - warunek początkowy

10. Rozwiązanie zagadnienia początkowego metodą Rungego - Kutty II-go rzędu.

Postać ogólna zagadnienia początkowego:

1. 
   
   

y(a) =   warunek początkowy

b) Przykład:

y(1) =   6

3. Niewiadoma to: y(x)

Wyznaczamy ją w przedziale [a,b]

y

a x1 x2 b x a = x_0

b = x_n

4. Niewiadomą wyznaczamy ze wzoru:

w _{i +1} = w _i + h * f (x _i + ½*h, w _i + ½ * h * f (x _i , w _i)) i = 0,1, ... , n-1

h - długość przedziału, na które dzielimy obszar, w którym szukamy rozwiązań

w _i - wartość funkcji w punkcie poprzednim

e) wyprowadzenie wzoru metody:

y

w1

Kąt między tymi prostymi to δ _½

w0

a x _½ x1

h

Wyprowadzenie wzoru:

tg δ _½ =

w1 = w0 + h* f (x0 + ½*h , w0 + ½ * h * f (x0, w0))

w _{i +1} = w _i + h * f (x _i + ½*h, w _i + ½ * h * f (x _i , w _i)) i = 0,1, ... , n-1

k1 = * h * f (x _i , w _i)

k2 = h * f (x _i + ½*h, w _i + ½ * h * f (x _i , w _i))

6. Rząd dokładności metody wynosi 2, bo podczas rozwijania w szereg Taylora pomijamy pochodne rzędów wyższych niż 2-gi czyli pomijamy pochodne rzędów: 3-go, 4-go itd.

11. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Gaussa

postać ogólna zagadnienia początkowego:

A * x = b

, gdzie
jest wektorem wyrazów wolnych,

natomiast x₁ ... x_n są to niewiadome.

Metoda ta polega na eliminacji kolejnych zmiennych z kolejnych równań (poza pierwszym) przez przekształcanie macierzy współczynników równania w kolejnych przekształceniach tak, by doprowadzić do macierzy trójkątnej górnej:

wg wzorów:
,

k = 1, ... , n-1 ; i = k+1, ... , n ; j = k+1, ... , n ;

a następnie po doprowadzeniu do macierzy trójkątnej górnej oblicza się niewiadome x w kolejności odwrotnej, tj: x_n ... x₁ wg wzorów:

ostatni:
, inne:
, i = n-1, ... ,1

P1	g1	0	…	0		X1		B1
d2	P2	g2	…	0		X2		B2
0	d3	P3	…	0		X3	=	B3
:	:	:	:	:		:		:
0			dn	Pn		Xn		bn

12. Metoda Thomasa

A*x=b

A x b

n=3

P1*x1+g1*x2
=b1

d2*x1+P2*x2+g2*x3=b2

d3*x2+P3*x3=b3

I etap

P1*x1+g1*x2
=b1 / *

d2*x1+P2*x2+g2*x3=b2

(P2-
*g1)*x2+g2*x3=b2-
*b1

np2 nb2

P1*x1+g1*x2 =b1

np2*x2+g2*x3=nb2

II etap . Eliminacja x2 z rów (3) za pomocą nowego rów (2)

np2*x2+g2*x3=nb2 / *

d3*x2+P3*x3=b3

(P3-
*g2)*x3=b3-
*nb2

np3 nb3

nowe rów( 3): np3*x3=nb3

Nowy układ : P1*x1+g1*x2 =b1

np2*x2+g2*x3=nb2

np3*x3=nb3

Postępowanie wprost:

np1=p1

nb1=b1

Postępowanie odwrotne:

nA=

np1	g1	…	…
0	np2	g2
	0	np3
		:	:
			0	npn

13. Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu II-postać ogólna:

u(x,y)-niewiadoma ; Δ = A*C-B²

Δ>0 - typ eliptyczny

Δ<0 - typ hiperboliczny

Δ= 0 - typ paraboliczny

Metoda różnic skończonych do rozwiązywania równań przewodnictwa cieplnego

1.Nakładamy na obszar siatkę dx
dt

t

LWB t_j+1 prawy warunek brzeg.

PWB

t_j

dt

0

x₀ x₁ x_i-1 x_i x_i+1 x_n x

warunek początkowy WP

2. 0)
=> niewiadoma u(x,t)-temp. pręta w punkcie x w chwili t

• Znamy wartości niewiadomej na brzegach obszaru =>warunki:

• u(x,0) = f(x) WP

• u(0,t) = φ(t) LWB

• u(l,t) = ψ(x) PWB l-dłg.pręta

3.Tworzenie postaci różnicowej równ. różniczk. przez zastąpienie pochodnych z pkt.2 analogami różnicowymi

oznaczenie u(x_i,t_j) = u_ij

schemat różnicowy 4 pkt.jawny (z 1 równania znajdujemy 1 rozwiązanie) :

1)

(wyprowadzenie powyższego wzoru:

u_i,j+1 =

)

2)

(wyprowadzenie powyższego wzoru:

po dodaniu stronami

koniec wyprowadzenia.

Do równ 0) podstawiamy równ.1) i 2) i otrzymujemy

wyznaczanie niewiadomych z postaci różnicowej np.

dla j = 0 , i = 1

• LWB: u₀₁= φ(t₁)

• PWB: u_n1 = ψ(t₁)

dla j = 1 , i = 1

• LWB: u₀₂= φ(t₂)

• PWB: u_n2 = ψ(t₂)

Stabilność

Schemat jest stabilny gdy r =

0,5 => aby r było małe trzeba manipulować dt

14. Rozwiązanie zagadnienia początkowo - brzegowego, z równaniem różniczkowym typu parabolicznego, przy użyciu schematu 4 - punktowego niejawnego. 16.05.02

ODPOWIEDZI:

A)Ogólna postać równania różniczkowego cząstkowego rzędu drugiego, liniowego:

u(x,y) - niewiadoma

B)Wyjaśnienie, jak ustala się typ równania:

Δ=A*C-B²

Δ>0 typ eliptyczny

Δ<0 typ hiperboliczny

Δ=0 typ paraboliczny

C)Przykład zagadnienia omawianego na wykładzie (równanie oraz warunki):

Metoda różnic skończonych na przykładzie równania różniczkowego przewodnictwa cieplnego:

Warunki:

u(x, 0) = f(x) wart. temp. dla chwili t=0 w każdym punkcie

u(0, t) = ϕ(t) wart. temp. początku pręta w danej chwili

u(L, t)=ψ wart. temp. końca pręta w danej chwili

D)Określić niewiadomą, jej sens fizyczny, obszar w którym jest wyznaczana, interpretację fizyczną przyjętych warunków początkowo-brzegowych, postać rozwiązania (ciągła czy dyskretna), zrobić rysunek:

niewiadoma: u(x, t) temperatura (funkcja temperatury) pręta w punkcie „x” w chwili „t”. L - długość pręta, Lwb, Pwb - lewy, prawy warunek brzegowy.

Otrzymuje się rozwiązanie w formie dyskretnej (czyli wartości tylko w węzłach siatki).

E)Dla podanego w pytaniu schematu napisać równania stanowiące postać różnicową równania różniczkowego, wyjaśnić jak powstały, zaznaczyć w nich niewiadome, wytłumaczyć znaczenie użytych symboli, przedstawić schemat na rysunku obszaru:

Obszar dzielony siatką o wymiarach dx*dt.

Wart. funkcji w węzłach siatki: u(x_i, t_j) = u_i,j

*)

Tworzenie postaci różnicowej równania różniczkowego przez zastąpienie pochodnej *) analogiem różnicowym:

Schemat różnicowy 4 punktowy niejawny:

niewiadoma u(x, t)

a - charakt. rodzaj materiału, ozn. jw.

Warunki (jak wyżej):

u(x, 0) = f(x) wart. temp. dla chwili t=0 w każdym punkcie

u(0, t) = ϕ(t) wart. temp. początku pręta w danej chwili

u(L, t)=ψ wart. temp. końca pręta w danej chwili

Postać różnicowa równania różniczkowego (zastąpienie pochodnej analogiem różnicowym):

porządkując mamy:

-r u_i-1,j+1 + (1+2r) u_i,j+1 - r u_i+1,j+1 = u_i,j ;**)

j=0,1,2,.. ; i=1,2,..,n-1

Sposób i kolejność wyznaczania niewiadomych:

1. u_i,0=f(x_i) korzystając z warunku początkowego liczy się wartość „u” we wszystkich punktach;

1. u_0,1=ϕ(t1) liczona wartość na lewym brzegu;

1. u_n,1=ψ(t1) liczona wartość na prawym brzegu;

1. na podst. równ.**) korzysta się z postaci różnicowej dla j=0:

i=1 -r u₀₁ + (1+2r) u₁₁ - r u₂₁ = u₁₀

i=2 -r u₁₁ + (1+2r) u₂₁ - r u₃₁ = u₂₀

i=n-1 -r u_n-21 + (1+2r) u_n-11 - r u_n1 = u_n-10 + r u_n1

Błąd metody przy schemacie niejawnym, stabilność schematu, warunek stabilności:

Jest to schemat bezwarunkowo stabilny, nie ma narzuconego „r = a²(dt/(dx)²)” np. r<0,5. Stąd można przyjmować dowolne Δx i Δt mimo tego błędy nie rosną. Schemat jawny jest niestabilny (błędy rosną wraz z czasem), wymaga małych Δt; gdy r małe to schemat jawny stabilny.

1

17

dx

y

x

---