1. Trójosiowy stan naprężeń. Tensor stanu naprężeń. Naprężenia główne.

Jeżeli w układzie prostokątnym Oxyz składowe normalne stanu naprężeń wynoszą σ_X, σ_Y, σ_Z zaś składowe styczne - τ_XY, τ_YZ, τ_XZ, to naprężenia główne σ1, σ2, σ3 są wartościami własnymi tensora naprężeń.

Zaś kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych są wektorami własnymi tensora naprężeń, unormowanymi w ten sposób, że suma kwadratów składowych wynosi 1. Naprężenia główne σ1, σ2, σ3 są pierwiastkami równania charakterystycznego σ³-σ^Iσ²+ σ^IIσ-σ^III=0.

2. Aksjator i dewiator stanu naprężeń i odkształceń. Niezmienniki stanu naprężeń i odkształceń.

a) aksjator i dewiator stanu naprężeń

dla każdego 3-siowego stanu opisanego tensorem naprężeń

Aksjator- diagonalna macierz opisująca równomierny stan naprężeń ściskających (rozciągających)-tensor kulisty. Opisuje stan równomiernych naprężeń głównych.

Dewiator- macierz opisująca pozostałą część tensora stanu naprężeń

Niezmiennik tensora naprężeń→

b) aksjator i dewiator stanu odkształceń

dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem odkształceń

Aksjator- diagonalna macierz opisująca równomierny stan odkształceń wzdłużnych-tensor kulisty.

Dewiator- macierz opisująca pozostałą część tensora stanu odkształceń.

Niezmiennik tensora odkształceń→

ε_ka- niezmiennik aksjatora- suma odkształceń objętościowych w kierunku osi x,y,z.

Niezmiennik dewiatora ε_kd=ε_X - ε_ŚR + ε_Y - ε_ŚR + ε_Z - ε_ŚR=0

3. Liniowa teoria sprężystości. Przestrzenne zadanie brzegowe.

Założenia liniowej teorii sprężystości:

1) ciało materialne jest ośrodkiem ciągłym(kontinuum)przed i po odkształceniu.

2) ośrodek ciągły jest jednorodny i izotropowy.

3) przemieszczenia i odkształcenia pojawiają się w chwili położenia obciążenia wywołującego stan naprężeń.

4) istnieje naturalny stan pozbawiony naprężeń, do którego ciało wraca po zdjęciu obciążenia(odciążeniu).

5) odkształcenia(przemieszczenia) są w zakresie stosowalności prawa Hooke'a.

6) funkcje naprężeń, przemieszczeń i odkształceń są ciągłe i różniczkowalne.

Przestrzenne zadanie brzegowe:

- ciało o dowolnym kształcie i wymiarach, znany sposób podparcia i własności sprężyste.

- określone siły powierzchniowe Q i siły masowe M (objętościowe V) Elementarny czworościan

- ściana zewnętrzna obciążona siłą powierzchniową

e_X, e_Y, e_Z- wersory osi x,y,z.

-siła objętościowa V_n = Xe_X + Ye_Y + Ze_Z

-pozostałe ściany wewnętrzne.

Poszukiwane: funkcje współrzędnych punktu ciała odkształcalnego

- stanu przemieszczeń

- stanu naprężeń

- stanu odkształceń

15 niewiadomych.

4. Liniowa teoria sprężystości. Rozwiązywanie zadań brzegowych w przemieszczeniach.

W pierwszej kolejności wyznaczane są składowe stanu przemieszczeń.

Po wstawieniu składowych stanu odkształceń wyrażonych przez przemieszczenia, do uogólnionego prawa Hook'a - 3 równania Naviera-Lamego.

;

;

Gdzie:

.

Równania Naviera-Lamego muszą spełniać:

- naprężeniowe warunki brzegowe na powierzchni zewnętrznej ciała

- lub przemieszczeniowe warunki brzegowe na całym brzegu ciała materialnego lub jego części

Metody numeryczne (przybliżone)-metoda elementów skończonych.

5. Naprężenia kontaktowe.

Założenia teorii naprężeń stykowych (kontaktowych) Hertza:

1) stykające się ciała są jednorodne, izotropowe i liniowo-sprężyste;

2) powierzchnie zewnętrzne w otoczeniu punku styku gładkie o regularnej krzywiźnie;

3) niewielkie odkształcenia, powierzchnia styku mała;

4) na powierzchni styku jedynie naprężenia normalne.

Po odkształceniu ciał w wyniku ich dociśnięcia powstaje obszar o kształcie elipsy o półosiach a i b.

Gdzie:

Współczynniki α, β (tablicowane) - zależne od ilorazu B/A

Rozkład nacisków powierzchniowych na obszarze styku

Nacisk maksymalny na x=y=0

6. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu elementu skończonego izoparametrycznego.

Element skończony- idealizacja ośrodka ciągłego w ten sposób, że wartości funkcji wnętrza wyrażone są za pomocą wartości węzłów.

Element izoparametryczny- odwzorowanie złożonej geometrii konstrukcji, możliwość zróżnicowania własności materiałowych.

Bryła izoparametryczna-8węzłowa; element-3wymiarowy.

Macierz funkcji kształtu elementu

Wektor przemieszczeń, dla punktu o współrzędnych x, y, z;

q(x, y, z)=X(x,y,z)*a

gdzie

a = [a₁ … a₂₄]^T jest wektorem nieznanych stałych współczynników.

Wektor nieznanych stałych współczynników a jest określany z równania: q_e = X_nod*a.

gdzie: q_e = col(q(x₁, y₁, z₁),…,q(x₈, y₈, z₈))- warunki brzegowe wektor przemieszczeń węzłowych elementu skończonego(ES) nr e.

Stąd: q(x, y, z) = Ne(x, y, z)*q_e ,

Gdzie: Ne(x, y, z) = X(x, y, z)*X_nod^-1_.

Jest macierzą funkcji kształtu elementu skończonego nr e. Pozwala ona opisać przemieszczenia dla dowolnie wybranego punktu elementu, jako funkcję jego przemieszczeń węzłowych.

7. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta ściskanego/rozciąganego.

fi, fj - siły węzłowe

qi, qj - przemieszczenia węzłowe

Dwa warunki brzegowe (przemieszczeniowe)- q(0)≡q(0)=qi; q(le)≡q(le)=qj. Przemieszczenie przekroju pręta o współrzędnej x_e jest funkcją tylko tej współrzędnej

Korzystając z zależności ogólnych macierz funkcji kształtu tego pręta ma postać:

8. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta w ogólnym przypadku obciążenia.

Warunki brzegowe(przemieszczeniowe) - q(0) )≡col(q_iβ), β=1,…,6. q(le)≡col(q_jβ), β=1,…,6.

Wektor przemieszczeń uogólnionych przekroju pręta o współrzędnej x_e jest funkcją tylko tej współrzędnej q(x_e)≡col(q₁(x_e), q₂(x_e), q₃(x_e), q₄(x_e), q₅(x_e), q₆(x_e)). Czyli:

Korzystając z zależności ogólnych macierz funkcji kształtu ma postać:

9. Pękanie materiału. Energetyczne kryterium pękania.

Mechanika pękania- badanie równowagi oraz nagłego wzrostu szczelin w ciałach liniowo-sprężystych oraz sprężysto plastycznych. Energetyczne kryterium pękania Griffitha:

- płaski stan naprężenia

- płaski stan odkształcenia

Według Inglisa
(naprężenia w odległości r od wierzchołka szczeliny). Współczynnik intensywności naprężeń:
.

10. Pękanie ciał sprężysto-plastycznych.

Odkształceniowe kryterium pękania, na bazie rozwarcia wierzchołka szczeliny δ. δ<δc.

δc-COD-crack opening displacement, CTOD-crack tip opening displacement.

Dla małych uplastycznień σ<0,6Re mamy
, a następnie
. Dla większych uplastycznień, ale σ<6Re mamy
. Dla plastycznego stanu odkształcenia δo=δ/2. Dla większych uplastycznień, gdy σ>6Re - prędkość uwalniania energii sprężystej

Φ- praca sił obciążających na jednostkę objętości; T- składowa normalna dla wektora naprężeń; u- wektor przemieszczeń.

Całka Ric'a dla ciał liniowo-sprężystych

- płaski stan naprężeń
; - płaski stan odkształceń

.

11. Zmęczenie materiału. Rodzaje wytrzymałości zmęczeniowej.

Zmęczenie materiału- zjawisko powstawania złomu(pękania) pod wpływem zmiennego w czasie naprężenia. Zmęczeniu towarzysza dwa zjawiska: a) inicjacja szczeliny zmęczeniowej- lokalne mikropęknięcia; b) propagacja szczeliny zmęczeniowej- nagłe wystąpienie złomu kruchego, bez wcześniejszego stanu odkształcenia trwałego. Naprężenia sinusoidalnie zmienne σ(t) = σ_m + σ_a*sin(ωt); σ_m, σ_a- naprężenia średnie i amplitudowe, ω- częstość kołowa zmian naprężenia, t- czas.

Współczynnik stałości obciążenia κ= σ_m/σ_a ; Współczynnik amplitudy R= σ_min/σ_max ; Wykres Wöhlera

Z_G - granica zmęczenia, N_G - umowna liczba cykli.

I wytrzymałość quasi-statyczna- złom spowodowany wysokimi naprężeniami jest poprzedzony znacznym makroskopowym odkształceniem trwałym próbki λ, czyli ma charakter plastyczny.

II zmęczenie niskocyklowe(wytrzymałość niskocyklowa)-stosunkowo wysokie naprężenia okresowo zmienne wywołują mniejsze niż w zakresie I makroskopowe odkształcenie trwałe przed złomem. III zmęczenie wysokocyklowe(wytrzymałość wysokocyklowa)-niskie naprężenia okresowo zmienne wywołują mikroodkształcenia trwałe w poszczególnych przeciążonych krystalitach, kumulacja odkształceń trwałych kończy się złomem kruchym, przy bardzo małym odkształceniu plastycznym próbki.

12. Zmęczenie materiału. Wysokocyklowa wytrzymałość zmęczeniowa.

Kryterium odkształceniowe Mansona(1965)

Kryterium bazujące na wyznaczaniu rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa. Trójkąt Soderberga- radykalne uproszczenie granicy zmęczenia od rodzaju cyklu, na rzecz zwiększenia pewności.

Kryterium Heywooda(1962) - zależność empiryczna naprężeń granicznych σ_a/Rm od σ_m/Rm, dla różnych N. Zależności ogólniejsze, zwiększone możliwości użytkowe.

13. Teoria plastyczności. Płynięcie plastyczne.

Teoria małych odkształceń sprężysto-plastycznych- równania teorii plastyczności poprzez uogólnienie i rozszerzenie prawa Hooke'a na zakres sprężysto-plastyczny(Nadai, Hencky, Iliuszyn).

Przyrostowa teoria plastyczności- uogólnienie prawa płynięcia płynu lepkiego(de Saint-Venant, Levy, von Mises, rozwinięcie- Prandtl, Reuss).

Intensywność naprężenia- naprężenia zredukowane. Według energii właściwej odkształcenia postaciowego(Huber, von Mises, Hencky)

W układzie osi głównych naprężeń

Stosując uogólnione prawo Hooke'a

Wprowadzając intensywność odkształcenia

Otrzymujemy:
.

14. Teoria plastyczności. Kryterium stateczności. Postulat Druckera.

Postulat Druckera- uogólnienie dla dowolnego stanu naprężeń. Praca dodatkowych naprężeń na wywołanych przez nie przyrostach odkształceń plastycznych w trakcie zamkniętego obciążenia i odciążenia jest dodatnia.

Dla:

Gdy:
,
.

Kryterium stateczności:

Stąd zależność (σ -σ⁰)dε ^P > 0.

Kryterium sztywności procesu odkształcania:

15. Teoria plastyczności. Równania konstytutywne teorii przyrostowej.

Równania Prandtla-Reussa- konstytutywne równania przyrostowej teorii plastyczności z umocnieniem izotropowym.

- zapis tensorowy:

- zapis konwencjonalny(inżynierski)

16. Pręty sprężysto-plastyczne. Skręcanie pręta o przekroju kołowym.

Warunek równowagi dla skręcania plastycznego:

Graniczny moment skręcający: Ms'=W'Res

Wskaźnik wytrzymałości przekroju pręta o średnicy D=2R skręcanie plastyczne:
.

17. Reologia. Pełzanie materiału.

Reologia-mechanika ciała odkształcalnego, która uwzględnia wpływ czasu na związki między naprężeniami a odkształceniami. Podstawowe zagadnienia: a) pełzanie materiałów; b) relaksacja naprężeń.

Pełzanie materiału- wzrost odkształceń trwałych pod wpływem działania stałego obciążenia w stałej temperaturze, zależy od czasu działania tego obciążenia.

Na wykresie pełzania wyróżniamy trzy części: OA- pełzanie nieustalone; AB-pełzanie ustalone; BZ- przy dostatecznie dużym(stałym) naprężeniu, następuje gwałtowny wzrost odkształceń, który kończy się zniszczeniem próbki. Granica pełzania R_a(t)˚C- naprężenie które po upływie czasu t w godzinach, w stałych temp w ˚C, spowoduje trwałe wydłużenie a próbki w procentach. Wytrzymałość na pełzanie R_z(t)˚C- naprężenie które po upływie czasu t w godzinach, w stałej temp w ˚C, spowoduje zerwanie próbki. Całkowite odkształcenie ε = ε_O + ε_P1 + ε_P2; ε_O - odk wywołane przyłożeniem obciążenia; ε_P1 - odk wywołane pełzaniem nieustalonym; ε_P2 - odk wywołane pełzaniem ustalonym. ε_O = σ/E_t; E_t - wsp sprężystości podłużnej materiału w danej temp; έ_P2 = Bσⁿ; B, n - stałe zależne od rodzaju materiału i temperatury.

18. Modele reologiczne ciała Hooke'a, Newtona, de Saint-Venanta.

Ciało Hooke'a - ciało liniowo-sprężyste, dla którego zachodzi liniowy związek między naprężeniem σ, a odksz ε. σ = E*ε.

Modelem mechanicznym tego ciała jest sprężyna, której wydłużenie jest proporcjonalne do siły rozciągającej.

Ciało Newtona - ciało lepkie, dla którego zachodzi liniowy związek między naprężeniem σ a prędk odkształcenia έ = dε/dt.
.

Gdzie: η- stała lepkość.

Modelem mechanicznym tego ciała jest tłumik olejowy, czyli tłoczek z otworami, przemieszczający się w cylindrze wypełnionym olejem.

Ciało de Saint-Venanta - ciało sztywne plastyczne, które dla σ<Re nie ulega odkształceniu (ciała sztywne)a przy σ=Re odkształcenia trwałe rosną nieograniczenie(ciało idealnie plastyczne).

Modelem mechanicznym tego ciała jest ważki przedmiot przesuwany po płaszczyźnie z udziałem tarcia suchego.

19. Modele odkształcalności polimerów.

W zależności od rodzaju i stanu fizycznego polimer może być traktowany jako: 1 -izotropowe ciało liniowo-sprężyste, podlegające małym odkształceniom; 2 -anizotropowe ciało liniowo-sprężyste, podlegające małym bądź skończonym odkształceniom. Zarówno w przypadku odkształceń małych jak i skończonych zapis prawa konstytutywnego ma formalnie identyczną postać:

3 -ciało lepko-sprężyste, o własnościach reologicznych określonych modelem Kelvina-Voigta który opisuje proces pełzania pierwotnego, oraz modelem Maxwella który opisuje relaksację naprężeń.

20. Własności kompozytów w zależności od udziałów objętościowych włókien i osnowy.

Udział objętościowy osnowyn Vo=Ao/A_K; udział objętościowy włókien Vw=Aw/A_K. Ponieważ Vo+Vw=1, wiec Vo=1-Vw. Związek między naprężeniami w kompozycie oraz w osnowie i włóknach: σ_K = σ_WVw + σ_O(1-Vw) w przypadku wystarczająco dużego udziału objętościowego włókien wytrzymałość kompozytu σ_KR może osiągnąć wartość odpowiadającą odkształceniu niszczącemu włókna ε_WR: σ_KR = σ_WRVw + σ_O(ε_WR)(1-Vw) σ_O(ε_WR) - naprężenia w osnowie, odpowiadające niszczącemu odkształceniu włókien ε_WR. Dla małych wartości Vw rozdrobnienie włókien nastąpi zanim będzie wyczerpana wytrzymałość osnowy σ_ORVo = σ_OR(1-Vw). W takim przypadku wytrzymałość kompozytu wynosi: σ_KR = σ_OR(1-Vw).

21. Wyznaczenie współczynników wielomianów aproksymujących funkcje zespolonego modułu ścinania.

Współczynniki G' i G'' są wielomianami określonego stopnia, ze względu na odkształcenie γ, częstotliwość F i temperaturę T. Współczynnik G' definiowany jest w następujący sposób: G'(γ, f, T) = X(γ, f, T)*a; współczynnik G'' definiowany jest w podobny sposób. Aproksymacja wielomianem, funkcja celu
(minimalizacja ze względu na składowe wektora a). Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów:

Stąd:

Gdzie:

Przypadki szczególne:

1. współczynnik G' jest funkcją γ, f oraz T n_a=19

2. współczynnik G' jest funkcją γ, f n_a=15

3. współczynnik G' jest funkcją γ n_a=6

.

---