1. Materia i fale !

Wprowadzenie

Częstotliwość w ruchu okresowym jest odwrotnością okresu drgań:

f =
. (1)

Jednostką częstotliwości jest herc (Hz), przy czym 1Hz=
. Podstawowy związek w ruchu falowym:

(2)

gdzie:  jest długością fali, v- szybkością rozchodzenia się fali, a T- okresem drgań. Podstawiając T ze wzoru (1), otrzymamy:

(2a)

Szybkość światła w próżni wynosi:

c = 3·10⁸

Energia fotonu o częstotliwości f:

E=hf, (3)

gdzie h jest stałą Plancka:

h = 6,63·10^-34 Js.

Często stosowaną jednostką energii jest elektronowolt (eV):

1 eV= 1,602 • 10^-19J.

• ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE Równanie Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego:

, (4)

gdzie: F_max jest maksymalną energią kinetyczną wybijanych elektronów, f- częstotliwo­ścią światła, a
- pracą wyjścia elektronów z metalu. Częstotliwość progowa zjawiska fotoelektrycznego f₀ spełnia równość:

. (5)

• FALE MATERII (DE BROGLIE''A)

Wartość pędu p cząstki materialnej jest związana z długością fali materii  zależnością:

. (6)

Przykładowe zadania

1. Praca wyjścia elektronów z potasu wynosi
= 2 eV. Oblicz maksymalną szybkość elektronów wybijanych z potasu, gdy na jego powierzchnię pada światło o długości fali  = 400 nm. Przyjmij masę elektronu m_e = 9,1 -10^-31 kg.

• DANE

praca wyjścia
= 2 eV

długość fali  = 400 nm

masa elektronu m_e = 9,1-10 ³¹ kg

stała Plancka h = 6,63-10"³⁴Js

szybkość światła c = 3 •10⁸

• SZUKANE
  maksymalna szybkość v_m

• ROZWIĄZANIE

Zadanie dotyczy zjawiska fotoelektrycznego, a zatem możemy zastosować wzór Ein­steina (4): E_max = hf-
. Nie wiemy, jakie są częstotliwość światła padającego na powierzchnię potasu i maksymalna energia elektronów. Znamy jednak długość fali  i, korzystając ze wzoru (2a), możemy wyznaczyć częstotliwość: f =
. Z kolei maksymalna energia kinetyczna elektronu zależy od jego szybkości: E_max =
. Po podstawieniu tych wielkości do wzoru Einsteina, otrzymamy:

.

Aby znaleźć szybkość v_m, powinniśmy wykonać kilka przekształceń: pomnożyć obie strony równości przez 2, podzielić przez m i wyciągnąć z obu stron równości pier­wiastki kwadratowe. W rezultacie uzyskamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy: v_m = 623
.

• ODPOWIEDŹ

Maksymalna szybkość elektronów wybijanych z potasu wynosi V_m = 623
.

2. Oblicz długość fali i pęd fotonu o energii E= 1,2 eV.

• DANE

energia fotonu E= 1,2 eV

szybkość światła c = 3 • 10⁸

stała Plancka h= 6,63 • 1O"³⁴Js

• SZUKANE

długość fali 

pęd fotonu p

• ROZWIĄZANIE

Energię fotonu wyraża wzór (3): E= hf. Z relacji (2a): c= f (szybkość fotonu wynosi c), mamy: f =
. Po podstawieniu do wzoru (3) otrzymamy:

Po pomnożeniu obu stron równania przez  i podzieleniu przez E uzyskujemy:

(a)

Pęd fotonu i długość jego fali związane są wzorem (6):

Po podstawieniu wyrażenia (a) do wzoru (b) i skróceniu h otrzymujemy:

Gdy podstawimy dane liczbowe, mamy: = 1035 nm i p = 6,4·10^-28
.

• ODPOWIEDŹ

Długość fali fotonu wynosi = 1035 nm, a pęd fotonu p = 6,4-10^-28
.

3. Elektron poruszający się w kineskopie w kierunku ekranu ma energię kinetyczną E_e = 5·10 ^-14 J. Oblicz długość fali materii związanej z tym elektronem. Stała Plancka h= 6,63·10^-34 Js.

• DANE

masa elektronu m_e = 9,1·10 ^-31 kg

energia kinetyczna elektronu E_e = 5·10 ^-14 J

stała Plancka h= 6,63·10^-34Js

• SZUKANE
  długość fali materii 

• ROZWIĄZANIE

Aby obliczyć długość fali materii ze wzoru (6):
, musimy wyrazić pęd elektronu p przez wielkości dane w zadaniu. Energia kinetyczna ciała o masie m poruszającego się z szybkością v wyraża się wzorem: E =
. Po pomnożeniu tej równości stronami przez 2, podzieleniu przez m i wyciągnięciu pierwiastków kwadratowych z obu stron, otrzymamy:

.

Pęd jest iloczynem masy i szybkości, czyli:

.

Po podstawieniu do wzoru (6), uzyskujemy:

.

Po wykonaniu obliczeń dla m = m_e i E= E_e otrzymujemy  = 2,2·10^-12m.

• ODPOWIEDZ

Długość fali elektronu o energii kinetycznej E_e = 5·10-1⁴ J wynosi  = 2,2·10^-12 m.

Zadania

1.1. Która z poniższych zależno­ści nie opisuje powiązania własności falowych światła z jego naturą korpuskularną?

a) =vT b) p =

c) E= hf d) m =

1.2. Które fotony mają większą energię: czy te, które tworzą promienio­wanie γ, czy te, które tworzą promienio­wanie ultrafioletowe?

1.3. Energia fotonu równa jest energii kinetycznej elektronu, który, ma­jąc szybkość początkową v_o=10⁷
, został dodatkowo rozpędzony, przeby­wając różnicę potencjałów U = 40 V. Jaka jest długość fali fotonu?

1.4. Ile fotonów wpada do oka człowieka w ciągu t= 1s, jeżeli jest to światło o długości fali = 500 nm i mocy P = 2·10^-17W?

1.5. Z jaką szybkością będą wylatywały elektrony z cezu oświetlo­nego światłem żółtym o długości fali  = 560 nm? Praca wyjścia elektronu z cezu
= 2,9·10^-19 J.

1.6. Na powierzchnię metalu pada światło o długości fali = 360 nm i mocy P = 5 W. Jakie natężenie ma prąd elektronów wybijanych z tego me­talu, jeżeli tylko n = 10% fotonów wy­bija elektrony?

1.7. Jaka jest długość fali światła padającego na metalową płytkę i wy­wołującego w metalu efekt fotoelektryczny, jeżeli praca wyjścia elektronu z metalu
= 3,0·10^-19 J, a wybijane elektrony mają energię kinetyczną E= 4,72·10^-20J?

1.8. Jaką co najmniej częstotli­wość /musi mieć fala światła padającego na metalową płytkę, aby zachodził efekt fotoelektryczny, jeżeli praca wyjścia elek­tronu z metalu
= 3,3·10^-19 J?

1.9. Oświetlając katodę próżniowej fotokomórki światłem o częstotliwości f =10¹⁵ Hz (rysunek 1.1), uzyskuje się w obwodzie prąd, jeżeli napięcie między anodą i katodą fotokomórki U_z > -2 V. laka jest praca wyjścia elektronów
z katody fotokomórki?

Rysunek 1.1

1.10. Katoda fotoelementu oświe­tlona jest światłem monochromatycznym o długości fali ₀ (rysunek 1.1). Jeżeli napięcie między anodą i katodą osiągnie U₀ = - 4 V, to zanika prąd w obwodzie. Jeżeli zmienimy długość fali światła pa­dającego na fotoelement na , = 1,5·₀, to prąd zanika przy napięciu U₁ = -2 V. Jaka jest praca wyjścia elektronów z ka­tody?

1.11. W obwodzie jak na rysun­ku 1.1. wymieniano fotokomórki, któ­rych katody były wykonane z różnych materiałów. Każdą oświetlano promie­niowaniem o różnych częstotliwościach. Uzyskano cztery wykresy A, B, C i D zależności napięcia zaporowego, przy którym prąd zanikał, od częstotliwości światła padającego na katody fotokomó­rek. Który z materiałów katody ma naj­większą pracę wyjścia?

a) A b) B

c) C d) D

Rysunek 1.2.

1.12. Jaką największą wartość może mieć praca wyjścia elektronu z metalu, aby występowała fotoemisja, gdy powierzchnia tego metalu będzie oświetlana światłem widzialnym o dłu­gości fali z zakresu 400-750 nm?

1.13. Jaką maksymalną energię ki­netyczną będą miały elektrony wybija­ne z metalu, na którego powierzchnię pada fala elektromagnetyczna o długo­ści = 350 nm? Praca wyjścia elektronu z tego metalu
= 2,26 eV.

1.14. Jaką długość  powinna mieć fala elektromagnetyczna padająca na po­wierzchnię strontu, aby wybijane elektro­ny miały maksymalną energię kinetyczną E_k = 2·10^-19J? Zjawisko fotoelektryczne zachodzi w stroncie dla fal elektromagne­tycznych o długościach _ < 550 nm.

1.15. Jaką maksymalną szybkość mają elektrony emitowane z fotoelektrody oświetlanej światłem o długości fali  = 300 nm, jeżeli praca wyjścia z tej fotoelektrody wynosi
= 4·10 ^-19J? Masa elektronu m_e = 9,1-10^-31 kg.

1.16. Jaka jest praca wyjścia
elektronów z metalu oświetlonego żół­tym światłem o długości fali = 590 nm, jeżeli szybkość tych elektronów po opuszczeniu powierzchni metalu v = 0,26·10⁶
? Masa elektronu m_e = 9,1·10^-31 kg, stała Plancka h= 6,63·10^-34 Js.

1.17. Jeżeli powierzchnię metalu oświetlimy światłem o częstotliwości f₁ = 750·10¹² Hz, to energia wybijanych elek­tronów E₁ będzie n = 2 razy większa od energii E₂ elektronów wybijanych światłem o częstotliwości f₂ = 600·10¹² Hz. Jaka jest praca wyjścia elektronów z metalu?

1.18. Oświetlając powierzchnię metalu światłem, którego energia fali pa­dającej jest większa od pracy wyjścia, wybijamy z metalu elektrony, a ich ener­gia kinetyczna E_k= hf -
. Jak będzie zmieniać się liczba elektronów w meta­lu po upływie długiego czasu?

a) liczba elektronów w metalu zma­leje do zera

b) liczba elektronów w metalu zma­leje do połowy

c) początkowo elektrony będą wy­bijane z metalu, w rezultacie do­datni ładunek płytki będzie wzra­stał aż do momentu, gdy energia kinetyczna elektronów opuszczających metal będzie równa e·V (V jest potencjałem płytki) i ża­den elektron nie opuści już płytki

d) wybity elektron, opuszczając płyt­kę, spowoduje wzrost jej poten­cjału dodatniego, a tym samym przyciągnięcie elektronu swobod­nego z otoczenia - liczba elektro­nów w płytce będzie zawsze stała, równa początkowej i stan ten bę­dzie trwał tak długo, jak długo płytka będzie oświetlana

1.19. Na rysunku 1.3. pokazana jest zależność energii kinetycznej E_k elektronu od częstotliwości światła pa­dającego na powierzchnię pewnego metalu i wybijającego z niego elektrony. Na podstawie tego wykresu można stwierdzić, że:

a) tylko fale elektromagnetyczne o długościach < 600 nm wywo­łują w tym metalu zjawisko fotoelektryczne,

b) tylko fale elektromagnetyczne o długościach  = 600 nm wywo­łują w tym metalu zjawisko fotoelektryczne,

c) tylko fale elektromagnetyczne o długościach  > 600 nm wywo­łują w tym metalu zjawisko fotoelektryczne,

d) każda fala elektromagnetyczna padająca na powierzchnię tego metalu wywołuje w nim efekt fotoelektryczny.

1.20. Na powierzchnię metalu pada strumień światła o długości fali = 500 nm i mocy P= 6 uW. Jakie natę­żenie ma prąd strumienia elektronów wybijanych z metalu przez fotony, jeżeli tylko k= 5% fotonów padających na po­wierzchnię metalu powoduje emisję elektronów?

1.21. Jaki jest pęd fotonu o dłu­gości fali  = 2,5 nm?

1.22. Jaki jest pęd fotonu w wiąz­ce światła o częstotliwości f = 5·10¹⁴ Hz?

1.23. Jaką częstotliwość /powin­na mieć fala elektromagnetyczna, aby foton tego promieniowania miał masę równą masie elektronu m_e = 9,1·10^-31 kg?

1.24. Jaka jest długość fali de Broglie'a  elektronu przyspieszonego na­pięciem U= 100 V?

1.25. Jaka jest częstotliwość f fali materii związanej z elektronem o ener­gii kinetycznej E_k = 10 eV? Masa elek­tronu E_e = 9,1·10^-31 kg.

1.26. Zielone światło o często­tliwości f= 6·10¹⁴ Hz oświetla płytkę. Jaki jest stosunek długości fali światła padającego do długości fali materii wy­bijanych elektronów? Masa elektronu m_e = 9,1·10^-34 kg, stała Plancka h = 6,63·10^-34Js, praca wyjścia elektronu z materiału, z którego wykonana jest płytka, wynosi
= 3,725·10^-19 J.

1.27. Z ruchem elektronu związa­na jest fala materii o długości _B = 0,20 nm. Z jaką szybkością porusza się ten elek­tron? Masa elektronu m_e = 9,1·10^-31 kg, stała Plancka h= 6,63·10^-34Js.

1.28. Proton porusza się z szyb­kością v = 4,6·10⁴
. Jaka jest dłu­gość fali materii _B związana z ruchem tego protonu? Masa protonu m = 1,672·10²⁷ kg.

1.29. Jaka energia kinetyczna zgromadzona jest w impulsie świetlnym zawierającym n = 10²⁰ fotonów o dłu­gości fali  = 450 nm?

1.30. Ile fotonów o długości fali = 10 nm ma masę całkowitą m=0,5 g?

1.31. Foton o długości fali _o = 25 pm zderza się z cząstką elementarną, przekazując jej
= 2,5 eV energii. Jaka będzie względna zmiana długości fali fotonu?

1.32. Elektron będący w spo­czynku został przyspieszony przez jed­norodne pole elektryczne o różnicy po­tencjałów U = 50 V. Jaka jest długość fali materii stowarzyszonej z tym elek­tronem, gdy opuści on pole elektryczne?

Masa elektronu m_e = 9,1 -10~³¹ kg, a jego ładunek-e=-1,6-10"¹⁹ C.

1.33. Jaki jest stosunek szybkości elektronu do szybkości neutronu (znacz­nie mniejszych od szybkości światła), je­żeli długości fal materii stowarzyszonych z ruchem tych cząstek są jednakowe? Stosunek masy protonu do masy elektro­nu n= 1838.

2. Widma

PROMIENIOWANIA ELEKTROMAGNETYCZNEGO

MODEL ATOMU BOHRA

Wprowadzenie

Moment pędu J elektronu na orbicie kołowej w atomie wodoru:

, (7)

gdzie: h jest stałą Plancka, n jest główną liczbą kwantową - numerem orbity (liczba

naturalna 1, 2, 3, 4,...).

Energia elektronu w atomie wodoru na orbicie kołowej:

E_n=
, (8)

gdzie E₀ = 13,6 eV jest energią w stanie podstawowym na najniższej orbicie o liczbie

kwantowej 1.

Promień orbity kołowej w atomie wodoru:

r_n = n²r₀ (9)

gdzie: n jest główną liczbą kwantową - numerem orbity, r₀ = 53 pm - promieniem pierwszej orbity.

Przy przejściu elektronu z orbity o numerze k na orbitę o numerze n zachodzi emisja lub absorpcja fotonu o energii:

E_f=
. (10)

Przykładowe zadania

1.W jednym ze stanów wzbudzonych atomu wodoru elektron porusza się po orbicie kołowej o promieniu r=1,908 nm. Oblicz energię i szybkość elektronu na tej orbicie.

• DANE

promień orbity r= 1,908 nm

masa elektronu m_e = 9,1·10¹ kg

stała Plancka h = 6,63-10^-34 Js

energia elektronu na v orbicie E_o = 13,6 eV

• SZUKANE

szybkość elektronu v energia elektronu E

• ROZWIĄZANIE

Korzystając ze wzoru (9): r= n²·r₀, możemy obliczyć główną liczbę kwantową n dla omawianego stanu wzbudzonego:

Wzór (7) wiąże szybkość elektronu i promień orbity z główną liczbą kwantową:

J = mur = n

Po podzieleniu stron równania przez m uzyskujemy:

Po podstawieniu danych liczbowych i wyznaczonej wartości n = 6 otrzymamy v = 364,6
.

Energię elektronu na szóstej orbicie obliczymy ze wzoru (8): E_n =
. Gdy podsta­wimy n = 6 oraz E₀ = 13,6 eV, otrzymamy E₆ = -0,378 eV.

• ODPOWIEDŹ

Elektron ma energię E_b = -0,378 eV i porusza się z szybkością v = 364,6
.

2. Atom wodoru w stanie podstawowym zaabsorbował foton o długości fali  = 97,5 nm. Jaką główną liczbą kwantową charakteryzowany jest stan, w którym znalazł się elektron po zaabsorbowaniu fotonu?

• DANE

długość fali fotonu  = 97,5 nm

stała Plancka h =6,63-10^-34 Js

energia elektronu w stanie podstawowym

atomu wodoru E₀ = 13,6 eV

1 eV=1,6·10^-19J

• SZUKANE

liczba kwantowa n

• ROZWIĄZANIE

Skorzystamy ze wzoru (10): E_r =|E_n - E_k|, wiążącego energię fotonu z energiami po­ziomów, między którymi odbywa się przejście elektronu. Energię elektronu na pozio­mie o głównej liczbie kwantowej n wyraża wzór (8): E_n=
. Wykorzystamy także wzór na energię fotonu: E_f = hf, oraz podstawowy związek w ruchu falowym: f =
.

Podstawiając te wzory do wyrażenia (10), otrzymamy:

.

Wyrażenie E_n + E_o jest dodatnie, zatem można pominąć znak wartości bezwzględnej:

.

Po wyciągnięciu E₀ przed nawias mamy:

.

Po podzieleniu obu stron przez E_o uzyskujemy:

.

Po dodaniu do obu stron równości
oraz odjęciu
otrzymamy:

.

Czyli:

.

Po wyciągnięciu pierwiastków kwadratowych z obu stron równania uzyskamy:

n =
.

Gdy podstawimy dane liczbowe (E₀ = 13,6·1,6·10^-19 J), otrzymamy n = 4.

• ODPOWIEDŹ

Po zaabsorbowaniu fotonu atom wodoru znajdzie się w stanie wzbudzonym o głównej liczbie kwantowej n= 4.

3. Oblicz energię kinetyczną elektronu w atomie wodoru na orbicie o głównej liczbie kwantowej n= 3.

• DANE

główna liczba kwantowa n = 3

stała Plancka h= 6,63·10^-14 Js

masa elektronu m = 9,1·10^-31 kg

• SZUKANE

energia kinetyczna elektronu E_k

• ROZWIĄZANIE

Skorzystamy ze wzoru (7): mvr_n = n
, wzoru (9) na promień orbity: r_n = n²r₀ oraz wzoru na energię kinetyczną: E_k =
. Ze wzoru (7) po podzieleniu równości stronami przez r_n otrzymamy:

. (a)

Wzór na E_k zapiszemy w postaci:

(b)

Po podstawieniu we wzorze (b) za mv prawej strony wyrażenia (a) uzyskamy:

Po podstawieniu r_n = n²r₀ otrzymujemy:

Gdy podstawimy dane liczbowe, otrzymujemy E_k = 2,42·10^-19 J.

• ODPOWIEDŹ

Elektron na trzeciej orbicie ma energię kinetyczną E_k = 2,42·10^-19 J = 1,513 eV.

Zadania

2.1. Na jakiej wielkości fizycznej, związanej z ruchem elektronu po orbi­cie wokół jądra, oparł Bohr swoją teorię orbit dozwolonych w atomie?

1. masie jądra atomu

2. energii kinetycznej elektronu

3. energii potencjalnej elektronu

4. momencie pędu elektronu

2.2. Jaka jest zależność między okresem T obiegu elektronu po orbicie w atomie wodoru a częstotliwością jego promieniowania?

1. nie ma żadnej

2. jest wprost proporcjonalna

3. jest odwrotnie proporcjonalna

4. jest proporcjonalna do T²

2.3. Ile kwantów energii może wypromieniować atom wodoru, którego elektron znajduje się na trzeciej orbicie?

1. 0 kwantów

2. 1 kwant

3. 2 kwanty

4. 3 kwanty

2.4. Jaką energię ma elektron znajdujący się na trzeciej orbicie w ato­mie wodoru?

2.5. Jaka energia nazywana jest energią jonizacji atomu znajdującego się w stanie podstawowym?

1. energia kinetyczna atomu

2. energia przejścia elektronu z or­bity na orbitę

3. jeden kwant energii

4. energia wiązania elektronu

2.6. Elektron poruszając się wo­kół jądra, może mieć energię o wartości bezwzględnej 3,4 eV lub 0,85 eV. W któ­rym przypadku jest bliżej jądra? Uzasad­nij odpowiedź.

2.7. W którym przypadku atom ma większą energię: gdy elektron znaj­duje się na stacjonarnej 5. orbicie czy stacjonarnej 10. orbicie?

2.8. Wskutek wzbudzenia ter­micznego ze stanu podstawowego śred­nica atomu wodoru wzrasta k razy. Ob­licz stosunek energii elektronu w stanie wzbudzonym do energii w stanie podstawowym.

2.9. Moment pędu elektronu we wzbudzonym atomie wodoru wynosi J = 3,1656·10^-34
. Oblicz promień orbity elektronu we wzbudzonym atomie.

2.10. Na rysunku 2.1. pokazano schematycznie poziomy energetyczne atomu i cztery różne przejścia elektro­nów z jednego poziomu energetycznego na inny. Któremu przejściu towarzyszy emisja fotonu o największej energii?

1. przejściu a

2. przejściu b

3. przejściu c

4. przejściu d

2.11. Elektron w atomie wodoru może znajdować się na orbicie o pro­mieniu r= 0,5·10⁸ m lub r₂ = 2·10^-10m. Jaki jest stosunek energii elektronu na tych orbitach?

2.12. Wśród stanów energetycz­nych atomu wodoru są też i stany przed­stawione na rysunku 2.2. Któremu z przejść elektronów: 1, 2 czy 3, towa­rzyszy emisja fotonu o największej dłu­gości fali? Uzasadnij odpowiedź.

2.13. W pewnym atomie stany energetyczne są odpowiednio równe: E₁ = -13,6 eV, E₂ = -3,40 eV, E₃ = -1,51 eV, E₄ = -0,84 eV i E_s = -0,54 eV. Który z po­niżej przedstawionych fotonów może być zaabsorbowany przez ten atom?

1. o energii E_f = 0,1 eV

2. o energii E_f = 0,2 eV

3. o energii E_f = 0,3 eV

4. o energii E_f = 0,4 eV

2.14. Średnia odległość od Słoń­ca najdalszej planety naszego układu, Plutona, wynosi d₁ = 5 912 000 000 km, a średnica Słońca d₂ = 1 392 000 km. Porównajmy te dane z wymiarami ato­mu. Gdyby jądro atomu wodoru było wielkości Słońca, to ile razy dalej od Plu­tona krążyłby elektron po pierwszej or­bicie? Średnica jądra atomu wodoru d = 1,2·10^-l5m, a średnica pierwszej orbity d_o=5,3·1O^-11 m.

2.15. W pewnym hipotetycznym atomie poziomy energetyczne mają energie:

E₁ = -10 eV, £, E₂= -8 eV, E₃ = -5 eV i E₄ = -0,4 eV. Który z poniżej przedstawionych fotonów został wyemitowany przez ten atom?

a) o energii 1 eV

b) o energii 5 eV

c) o energii 7 eV

d) o energii 8,4 eV

2.16. Foton o energii E= 15,5 eV wybił elektron z atomu wodoru będące­go w stanie niewzbudzonym. Z jaką szybkością będzie poruszał się ten elek­tron w dużej odległości od atomu?

2.17. Jaka będzie częstotliwość światła wyemitowanego z atomu wodo­ru w wyniku takiej zmiany orbity elek­tronu, że energia atomu zmaleje z E₂ = -3,38 eV do E₂= -13,53 eV?

2.18. Jaki pęd ma foton światła o długości fali  = 3·10^-7 m?

2.19. Ile razy energia fotonu o częstotliwości f= 3-1O¹⁹ Hz jest większa od energii fotonu promieniowania wi­dzialnego o długości fali  = 500 nm?

2.20. Źródło światła monochro­matycznego o częstotliwości f = 2,5·10^l4Hzmamoc P= 25 W. Ile foto­nów wypromieniowuje ten laser w cza­sie t = 1 s?

2.21. Ludzkie oko może zauwa­żyć źródło światła, jeżeli dociera do nie­go n = 6000 fotonów w ciągu sekundy. Z jakiej odległości /będzie widoczne punktowe źródło światła o mocy promie­niowania P₀ = 10 W, wysyłające światło monochromatyczne o długości fali  = 500 nm? Przyjmij, że średnica źrenicy oka wynosi d= 5 mm.

2.22. Atom wodoru w stanie wzbudzonym ma energię o E = 13,2 eV większą od energii w stanie podstawo­wym. Jaka będzie długość fali elektro­magnetycznej wyemitowanej przy przej­ściu atomu ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego?

3.ODBICIE

I ZAŁAMANIE ŚWIATŁA

Wprowadzenie

• PRAWO ODBICIA ŚWIATŁA:

Promienie padający i odbity leżą w jednej płaszczyźnie, która jest prostopadła do powierzchni odbijającej. Kąt padania _ jest równy kątowi odbicia _.

• ZAŁAMANIE ŚWIATŁA:

Bezwzględny współczynnik załamania ośrodka:

gdzie: c jest szybkością światła w próżni, a v - szybkością światła w danym ośrodku. Częstotliwość fali świetlnej nie zmienia się przy przechodzeniu z jednego ośrodka do drugiego.

Względny współczynnik załamania światła przy przejściu promienia z ośrodka I do ośrodka II:

, (12)

gdzie: n jest bezwzględnym współczynnikiem załamania światła w ośrodku I, n₂ - bezwzględnym współczynnikiem załamania światła w ośrodku II, v₁ - szybkością światła w ośrodku I, a v₂ - szybkością światła w ośrodku II.

PRAWO ZAŁAMANIA ŚWIATŁA:

(13)

gdzie: a, jest kątem padania (lub załamania) w ośrodku I, a₂ - kątem załamania (lub padania) w ośrodku II, n₁ - bezwzględnym współ­czynnikiem załamania światła w ośrodku I, n₂ -bezwzględnym współczynnikiem załamania światła w ośrodku II.

• CAŁKOWITE ODBICIE WEWNĘTRZNE

Jeżeli z ośrodka o większym współczynniku załamania promień światła pada na granicę dwóch ośrodków pod kątem większym od kąta granicznego, wówczas światło ulega tylko odbiciu (nie ma promienia załamanego do drugiego ośrodka). Kąt graniczny _ spełnia związek:

.

Przykładowe zadania

1. Z jaką szybkością porusza się światło w szkle o bezwzględnym współczynniku załamania n = 1,5? Jaka jest długość fali tego światła w szkle, jeżeli w próżni długość jego fali = 600 nm?

• DANE

szybkość światła w próżni c = 3·10⁸

współczynnik załamania n = 1,5

długość fali w próżni  = 600 nm

• SZUKANE

długość fali w szkle _σ

szybkość światła w szkle v_s

• ROZWIĄZANIE

Bezwzględny współczynnik załamania jest zdefiniowany wzorem (11): n =
. Po pomno­żeniu obu stron równości przez v i podzieleniu przez n otrzymamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy:

Przy przechodzeniu światła z próżni do szkła (lub odwrotnie) częstotliwość światła się nie zmienia. Skorzystajmy z podstawowego równania dla ruchu falowego f =
w dwóch przypadkach: dla fali w próżni i dla fali w szkle:

Mnożąc obie strony ostatniej równości przez _ i dzieląc przez c, uzyskamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy:
Uwaga. W obu przypadkach barwa światła jest taka sama (taka jak w próżni), ponie­waż częstotliwość fali się nie zmienia; jest to barwa żółta.

• ODPOWIEDŹ

Szybkość światła w szkle o współczynniku załamania n - 1,5 jest równa 2·10⁸
.Długość fali elektromagnetycznej w tym szkle _s = 400 nm.

2. Promień światła pada na płaską powierzchnię rozdzielającą dwa ośrodki o bezwzględnych współczyn­nikach załamania n₁ = 1,33 i n₂ = 1,75. Kąt pomiędzy promieniem odbitym i załamanym wynosi  = 90°. Oblicz tangens kąta padania.

• DANE

współczynnik załamania ośrodka I n₁ = 1,33

współczynnik załamania ośrodka II n₂ = 1,75

kąt  = 90°

• SZUKANE

tangens kąta _

• ROZWIĄZANIE

Kąt odbicia również jest równy _ Suma kątów padania, załamania i 90° jest równa 180°. Obliczmy kąt _ Po odjęciu stronami _ i 90° mamy _ = 90° - _ W tym przy­padku możemy skorzystać ze wzoru:

Podstawmy wyznaczone _ :

Ponieważ sin (90° - x) = cos x, możemy napisać:

a następnie korzystając z definicji funkcji tangens, otrzymamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy tg_ = 0,76.

• ODPOWIEDŹ

Tangens kąta padania jest równy 0,76.

3. Na dnie basenu znajduje się silne punktowe źródło światła. Na zupełnie gład­kiej powierzchni wody widzimy (patrząc z góry) jasny krąg światła o średnicy D= 6m. Jaka jest głębokość basenu? Współczynnik załamania światła dla wody n = 1,33.

• DANE

średnica kręgu D= 6m

współczynnik załamania n = 1,33

• SZUKANE

głębokość basenu h

• ROZWIĄZANIE

Promienie światła padające pod małymi kątami na powierzchnię rozgraniczającą ośrodki przechodzą do powietrza, ulegając załamaniu. Promienie światła padające pod kątami większymi od kąta granicznego ulegają całkowitemu wewnętrznemu odbiciu i rozchodzą

się w wodzie. Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych
i h. Kąt ostry przy boku h jest równy kątowi granicznemu
. W rozważanym trójkącie:

a z własności kąta granicznego:

Z trygonometrii wiemy, że dla kątów ostrych tgx =
Podstawmy
za x:

Po podstawieniu
za sin
otrzymamy:

Pomnóżmy licznik i mianownik wyrażenia z prawej strony równości przez n i wpro­wadźmy n pod znak pierwiastka:

Po przekształceniu wyznaczymy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy.

• ODPOWIEDŹ

Głębokość basenu h= 2,63 m.

Zadania

3.1. Jaka musi być wysokość lustra, aby człowiek mógł w nim widzieć

odbicie całej swojej sylwetki?

3.2. Z jaką pozorną szybkością człowiek „zbliża się" do swojego odbicia w dużym lustrze, jeżeli idzie w kierunku tego lustra z szybkością u = 1
?

---