KINETMATYKA. RUCH JEDNOSTAJNY

Zadanie 1.1

Jak długo jedzie autobus PKS z Warszawy do Wrocławia, jeżeli w cza­sie Δt₀ = 3 s przebywa średnio odległość Δs = 50 m, a podczas jazdy nigdzie się nie zatrzymuje? Odległość z Warszawy do Wrocławia d = 400 km.

Odp. t = 6h40min

Zadanie 1.2

Który z wymienionych ru­chów jest jednostajny?

a) ruch końca wskazówki zegara

b) ruch tramwaju dojeżdżającego do przystanku

c) ruch człowieka na ruchomych schodach

d) ruch startującej na orbitę okołoziemską rakiety

Zdanie 1.3

Samochód osobowy przeje­chał drogę s₁ = 40 km w czasie Δt₁ = 30 min, natomiast motocykl przejechał drogę s₂ = 30 km w czasie Δt₂ = 20 min.

Średnia szybkość samochodu była:

a) większa niż średnia szybkość mo­tocykla,

b) mniejsza niż średnia szybkość motocykla,

c) równa średniej szybkości motocykla,

d) dziesięciokrotnie większa od śred­niej szybkości motocykla.

Zadanie 1.4

Pociąg towarowy jedzie ze średnią szybkością v _śr = 36km/h, jak dłu­go będzie on przejeżdżał przez most o długości l = 250 m, jeżeli długość po­ciągu d=150 m ?

Odp. t = 40 s

Zadanie 1.5

Na wiadukt o długości l= 500 m wjechał pociąg towarowy poru­szający się ze stałą szybkością

v = 27 km/h. Od chwili wjechania elektrowozu na wia­dukt do momentu zjechania z niego ostat­niego wagonu upłynął czas Δt = 6 min. Ile wagonów liczył skład tego pociągu razem z elektrowozem, jeżeli przecięt­na długość jednego wagonu i długość elektrowozu a = 20 m?

a) 50 b) 100

c) 110 d) 150

Zadanie 1.6

Metro porusza się między sta­cjami ze średnią szybkością v₁ = 72 km/h. Na każdej stacji stoi około

Δt = 1 minuty. Jaka jest średnia szybkość metra z uwzględ­nieniem postojów, jeżeli odległość między

przystankami wynosi średnio l = 3 km? Należy uwzględnić taką samą liczbę sta­cji i odległości między nimi.

Odp. V_śr = 51,4 km/h

Zadanie 1.7

Pociąg towarowy z węglem wyruszył z Katowic w kierunku Warsza­wy z prędkością v₁= 36 km/h. Po czasie

t₀ = 20 minut, także w kierunku Warsza­wy, wyruszył ekspres po sąsiednim to­rze jadący z prędkością

v₂ = 108 km/h. Po jakim czasie od momentu wyruszenia pociągu towarowego i w jakiej odległo­ści od Katowic pociąg ekspresowy dogo­ni pociąg towarowy?

Odp. t = 10 min

Zadanie 1.8

Podczas żniw kombajn kosi zboże, poruszając się ze średnią szyb­kością v_śr=3,6 km/h Pozostawia za sobą pas rżyska o szerokości l= 3 m. Z ilu hektarów kombajn skosi zboże w ciągu Δt = 10 godzin nieprzerwanej pracy? Czas nawrotu należy pominąć. 1 ha = 10 000 m².

Odp. n = 10,8 ha

Zadanie 1.9

Jadący pociągiem pospiesz­nym pasażer postanowił zmierzyć jego przybliżoną szybkość średnią. Policzył, że w ciągu Δt= 1 min za oknem wago­nu mignęło n = 60 słupów trakcyjnych, które rozstawione były w odległości

l= 50 m jeden od drugiego. Z jaką szybko­ścią średnią jechał pociąg?

a) 30m/s b) 38,7m/s

c) 50m/s d) 100m/s

Zadanie 1.10

Po drodze równoległej do torów kolejowych jedzie samochód. Do­gania go pociąg o długości l = 250 m i wyprzedza. Jaką drogę przejedzie ten pociąg podczas wyprzedzania samocho­du, jeżeli samochód przejedzie w tym czasie drogę s = 750 m?

a) 1000 m b) 750 m

c) 500 m d) 250 m

Zadanie 1.11

Na kolarskich mistrzo­stwach świata, podczas jazdy indywidu­alnej na czas, w pewnej chwili, kolarz z numerem startowym 52 jechał w od­ległości l₁ = 50 m za kolarzem z nume­rem startowym 51. Po upływie czasu Δt = 11 min 40 s kolarz z numerem 52 jechał w odległości l₂ = 90 m przed ko­larzem z numerem 51. Jaka była różni­ca średnich szybkości obu kolarzy?

Odp. v₅₂ - v₅₁ = 0,72 km/h

Zadanie 1.12

Po sąsiednich torach prze­mknęły obok siebie dwa pociągi osobo­we jadące w przeciwne strony. Jeden z nich jechał z szybkością v₁ = 72 km/h natomiast drugi z szybkością v₂ = 90 km/h Pasażer pierwszego pociągu zmierzył czas Δt = 3 s, w jakim sąsiedni pociąg był widoczny przez okno. Jaka była dłu­gość drugiego, obserwowanego przez okno pociągu?

Odp. d = 135 m

Zadanie 1.13

Aby wyminąć autobus stoją­cy na prawym pasie ruchu, samochód oso­bowy jadący z szybkością v_] =72 km/h zje­chał na sąsiedni pas ruchu, którym poru­szał się przez Δt₀ = 4 s, po czym wrócił na prawy pas. Jaką drogę przebył samochód osobowy, wymijając stojący autobus, a jaką przebyłby, wyprzedzając autobus poruszający się z szybkością v₂ = 48 km/h ? Ile czasu zająłby wówczas manewr?

Odp. d₁ = 80 m d₂ = 240 m

Zadanie 1.14

Pociąg towarowy o długości l₁= 450 m i pociąg ekspresowy o długości l₂ = 150 m poruszają się po sąsiednich torach w tę samą stronę z szybkościami odpowiednio: v₁ = 12 m/s i v₂ = 32 m/s. Jak długo pociąg ekspresowy będzie wyprzedzał pociąg towarowy?

a) 15 s b) 30 s

c) 45 s d) 1 min

Zadanie 1.15

Dwa pociągi jadące po są­siednich torach w przeciwne strony wjeżdżają jednocześnie na przejazd ko­lejowy, a po czasie Δ t₀= 30 s ich ostatnie wagony także jednocześnie zjeżdżają z tego przejazdu. Pociąg l jest

n = 1,5 raza dłuższy od pociągu II. jak długo pociąg l mijałby stojący pociąg II, jeżeli poruszałby się z taką samą prędkością jak poprzednio?

Odp. t = 50 s

Zadanie 1.16

Wykres zależności drogi od czasu pew­nego pojazdu przedstawiono na rysun­ku 1.1. Jaki byłby wykres zależności drogi od czasu tego pojazdu, gdyby cał­kowitą drogę s₃ przebył w czasie Δt₃ poruszając się ruchem jednostajnym? Zależność tę narysuj na przedstawio­nym wykresie.

Zadanie 1.17

Wykres zależności drogi od czasu dwu pojazdów 1 i 2 przedstawio­no na rysunku 1.2. Narysuj wykresy za­leżności ich szybkości od czasu, zacho­wując skalę czasu. Za jednostkę na osi szybkości przyjmij 0,5 m/s.

Zadanie 1.18

Wykres zależności szybko­ści od czasu pewnej maszyny drogowej przedstawiono na rysunku 1.3. Na tej podstawie narysuj wykres zależności drogi przebytej przez tę maszynę, zacho­wując skalę czasu. Jako jednostkę na osi drogi przyjmij 1 m.

Zadanie 1.19

Ciągnik rolniczy w ciągu trzech kolejnych minut poruszał się z róż­nymi szybkościami. W pierwszej mi­nucie jechał z szybkością v_} = 2,5 km/h, w drugiej - z szybkością v₂ =5,0 km/h, a w trzeciej - z szybkością

v₃ = 7,5 km/h. Narysuj wykresy: zależności drogi od czasu i szybkości ciągnika od czasu. Na wykresie zależności szybkości od cza­su narysuj prostą obrazującą średnią szybkość ciągnika rolniczego, z jaką po­ruszałby się w czasie trzech minut, by przebyć tę samą drogę. Na wykresie za­leżności drogi od czasu narysuj drogę ciągnika, którą przebyłby w czasie trzech minut, gdyby poruszał się z szybkością średnią.

Zadanie 1.20

Zając poruszał się z szybko­ścią v₁ = 15 m/s przez Δ t₁ = 10 s, natomiast jeż - z szybkością v₂ = 2,5 m/s przez Δ t₂ = 1 min. Wykresy zależności szybkości od czasu tych zwierząt przedstawiono na rysunku 1.4. Na podstawie danych za­dania można stwierdzić, że:

a) s₁ < s₂ b) s₁ = s₂

c) s₁ > s₂ d) nie da się porównać pól prostokątów s₁ i s₂

Zadanie 1.21

Kierowca rajdowy przebył odcinek trasy o długości l₁ = 90 km w czasie Δ t₁ = 45 min. W jakim czasie Δ t₂ i z jaką średnią szybkością v_2śr powi­nien kierowca samochodu przejechać następny odcinek trasy rajdu o długości l₂ = 180 km, aby średnia szybkość na dro­dze l₁ + l₂ wynosiła v_śr = 90 km/h?

Odp. t₂ = 2h15m, v₂ = 80 km/h

Zadanie 1.22

Na rysunku 1.5. przedsta­wiono wykres zależności drogi przeby­tej przez dwa samochody od czasu. Po jakim czasie odległość między samocho­dami będzie ponownie równa odległo­ści, jaka była między nimi w chwili roz­poczęcia ruchu?

a) 7 s b) 10 s

c) 14 s d) nigdy

Zadanie 1.23

Wykres zależności drogi od czasu motocyklisty (1) i rowerzysty (2) przedstawiono na rysunku 1.6. Na tej podstawie narysuj wykres zależności odległości między nimi od czasu.

Zadanie 1.24

Dwaj motocykliści przeje­chali przez skrzyżowanie dróg krzyżu­jących się pod kątem prostym, prawie w tym samym czasie, jadąc z prędkościa­mi średnimi o jednakowych wartościach. Wykres drogi przebytej przez każdego z nich od chwili przejechania skrzyżo­wania w zależności od czasu przedsta­wia rysunek 1.7. Narysuj na jego pod­stawie wykres zależności odległości mię­dzy nimi od czasu.

Zadanie 1.25

Motocyklista jechał z szyb­kością v₁ = 25 m/s naprzeciw autobu­su jadącego z szybkością v₂=15 m/s. W pewnym momencie motocyklista znajdował się w odległości l = 500 m od autobusu. Po jakim czasie odległość ta będzie dwa razy mniejsza?

Odp. t = 6,25 s

Zadanie 1.26

Pewien kierowca postanowił wykonać eksperyment. Pojechał z Warsza­wy do Rzeszowa, utrzymując przez pierw­szą połowę trasy średnią szybkość v₁ = 50 km/h, a przez drugą połowę trasy średnią szybkość v₂ = 70 km/h, starając się nie przekraczać przepisów drogowych. Wracając do Warszawy, połowę czasu je­chał z szybkością v₃ =50 km/h, a drugą połowę czasu z - szybkością v₄ = 70 km/h. Jaka była średnia szybkość jazdy z War­szawy do Rzeszowa, a jaka z Rzeszowa do Warszawy?

Odp. v_{w - r} = 58,3 km/h, v_{r - w} = 60 km/h

Zadanie 1.27

Samochód przejechał po­łowę pewnej drogi z szybkością n = 1,5 raza większą niż drugą połowę drogi. Jego średnia szybkość na całej trasie wy­nosiła v _śr = 72 km/h. Z jaką szybkością średnią pokonał każdą połowę drogi?

Odp. v₂ = 60 km/h, v₁ = 90 km/h

Zadanie 1.28

Dwóch skoczków spado­chronowych wyskoczyło jednocześnie z dwu samolotów znajdujących się na różnych wysokościach, których stosunek wynosił h₁ : h₂ = 0,75, natomiast warto­ści średnich prędkości opadania skoczków miały się do siebie jak v₁ : v₂ = 1,5. Który ze skoczków opadał dłużej? Ile razy dłużej?

Zadanie 1.29

Rowerzysta i pieszy poru­szali się w tę samą stronę tak, że odle­głość między nimi w ciągu każdej mi­nuty

(Δt = 60 s) zwiększała się o l₁ = 200 m. Jeśli poruszaliby się w przeciwne strony, wtedy w ciągu każdej minuty odległość między nimi zwiększałaby się o l₂ = 400 m. Z jakimi szybkościami poruszali się ro­werzysta i pieszy?

Odp. v_r = 18 km/h, v_p = 6 km/h

Zadanie 1.30

Ruch dwu kolarzy określają równania: X₁ =V₁ t i X₂ =s - v₂ t , gdzie s = 100 m, v₁ = 8 m/s, v₂ =12 m/s. Na tej podstawie narysuj wykres zależności drogi od czasu tych kolarzy oraz określ czas, po jakim kolarze się spotkają.

Odp. t = 5s

KINEMATYKA. RUCH PRZYSPIESZONY

Zadanie 2.1

W pierwszej sekundzie ruchu ciało przebyło drogę s₁ = 2 m, w drugiej sekundzie ruchu s₂ = 4 m, a w trzeciej sekundzie s₃ = 6 m. Jaki to był ruch?

a) jednostajny

b) niejednostajny

c) jednostajnie przyspieszony

d) jednostajnie opóźniony

Zadanie 2.2

Wagon kolejowy podczas przetaczania poruszał się przez Δ t₁ = 10 s z przyspieszeniem a₁ = 0,2 m/s². Jak dłu­go wagon się poruszał po poziomym to­rze, jeżeli wyhamowywał następnie z przyspieszeniem a₂ = - 0,1 m/s²?

Odp. t₂ = 30s

Zadanie 2.3

Wykres zależności szybkości od czasu kilku ciał przedstawiono na rysunku 2.1. Na podstawie tego rysunku sporządź wykresy przyspieszeń ciał l, II, III i IV. Zachowaj skalę czasu z rysunku 2.1., a dla wartości przyspieszeń przyj­mij skalę 1 cm = 5 m/s².

Zadanie 2.4

Samochód osobowy jadący z prędkością v₀ zaczął hamować i poru­szał się dalej ruchem jednostajnie opóźnionym z przyspieszeniem (ujemnym) a. Po jakim czasie wartość jego prędkości zmaleje o połowę wartości prędkości początkowej?

Odp. v₀ : 2a

Zadanie 2.5

Wykres zależności przyspie­szenia od czasu dwu samochodów A i B, ruszających spod świateł na skrzyżowa­niu ulic, przedstawiono na rysunku 2.2. Na podstawie tego rysunku narysuj wy­kresy zależności prędkości samochodów A i B od czasu.

Zadanie 2.6

Dwa samochody l i II porusza­jące się w ruchu ulicznym stale zmieniały swoją prędkość. Fragment wykresów zależności wartości ich prędkości od czasu przedstawiono na rysunku 2.3. Na tej podstawie narysuj wykres zależno­ści od czasu wartości przyspieszeń tych samochodów.

Zadanie 2.7

Podczas próby bicia rekordu świata samochód poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z szybkością początkową v₀. Stwierdzono, że szybkość samochodu w czasie Δt wzro­sła n razy w stosunku do v₀. Z jakim przyspieszeniem poruszał się ten ekspe­rymentalny samochód?

Zadanie 2.8

Na stacji rozrządowej loko­motywa manewrowa popchnęła wagon towarowy, który przejechał drogę

s = 75 m. Zakładając, że ruch wagonu był jednostajnie opóźniony i trwał Δt = 15 s, oblicz przyspieszenie (ujemne) oraz prędkość początkową wagonu, jaką nadała mu lokomotywa.

Odp. a = ²/₃ m/s² ; v₀ = 10 m/s

Zadanie 2.9

Samochód ciężarowy i osobo­wy wyruszają jednocześnie z tego same­go miejsca; osobowy z przyspieszeniem a₁ = 1,5 m/s², a ciężarowy z przyspiesze­niem a₂ = 0,7m/s². Jaka będzie różnica prędkości samochodów po upływie cza­su Δt = 12 s i jaka będzie między nimi odległość po tym czasie?

Odp. v₁ - v₂ = 9,6 m/s ; s₁ - s₂ 57,6 m

Zadanie 2.10

Dźwig podnosi element konstrukcyjny domu: najpierw z przyspie­szeniem a_] = 0,4 m/s² przez czas Δt₁ = 4 s, następnie ruchem jednostajnym przez czas Δt₂= 10 s, a w końcu ruchem jedno­stajnie opóźnionym z przyspieszeniem a₂ = - 0,4 m/s² przez czas Δt₃ = 4 s. Na jaką wysokość dźwig podniósł ładunek?

Odp. s = 22,4 m

Zadanie 2.11

Samochód osobowy l po­rusza się ruchem jednostajnie przyspie­szonym z przyspieszeniem a₁ i prędko­ścią początkową v₀₁ Drugi samochód osobowy też jedzie ruchem jednostajnie przyspieszonym, ale z przyspieszeniem a₂ i prędkością początkową v₀₂. Po jakim czasie t obydwa samochody będą miały tę samą prędkość?

Zadanie 2.12

Kolarz jadący z szybkością v₀₁ =2 m/s zaczął zwiększać szybkość; porusza się teraz ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a. Po upływie t₀ = 10 s od chwili, w której kolarz przyspieszył, motocyklista jadący z prędkością v₀₂ = 12 m/s zaczął gonić rowerzystę i rozpoczął jazdę ruchem jednostajnie przyspieszonym z takim sa­mym przyspieszeniem a jak kolarz. Jaką wartość musi mieć przyspieszenie a, aby motocyklista dogonił kolarza?

Zadanie 2.13

W chwili, w której samo­chód A jadący ze stałą prędkością v_A = 20 m/s wyprzedzał stojący samo­chód B, ten ruszył z przyspieszeniem a_B = 0,4 m/s². Po jakim czasie samochód B dogoni samochód A?

a) po 5 s b) po 20 s

c) po 100 s d) nie dogoni nigdy

Zadanie 2.14

Samochód jechał ruchem jednostajnie przyspieszonym i w końcu trzeciej sekundy jego szybkość wynosiła

v = 6 m/s. Jaką odległość przejechał samo­chód w ciągu tej trzeciej sekundy, jeżeli jego szybkość początkowa była v₀ = 0 m/s ?

Odp. s₃ = 5m

Zadanie 2.15

Rowerzysta jadący z szyb­kością v₀ = 1 m/s zaczął poruszać się ru­chem jednostajnie przyspieszonym. Po przejechaniu drogi s = 1000 m jego szybkość wynosiła v₁ = 11 m/s. Z jaką szybkością jechał rowerzysta w połowie drogi s?

Odp. v = 7,8 m/s

Zadanie 2.16

Rowerzysta ruszył z miej­sca i zaczął poruszać się ruchem jedno­stajnie przyspieszonym. W trzeciej sekundzie jazdy przejechał drogę s = 2 m. Jaką szybkość uzyska rowerzysta po sze­ściu sekundach jazdy?

Odp. v = 4,8 m/s

Zadanie 2.17

Od pociągu towarowego jadącego z niewielką szybkością ruchem jednostajnym na stacji rozrządowej od­czepiono ostatni wagon, który poruszał się dalej ruchem jednostajnie opóźnio­nym, aż do zatrzymania się. W tym cza­sie skład towarowy poruszał się nadal takim samym ruchem jednostajnym i przebył drogę w stosunku do drogi prze­jechanej przez odczepiony wagon:

a) dwa razy krótszą,

b) taką samą,

c) dwa razy dłuższą,

d) cztery razy dłuższą

Zadanie 2.18

Samochód osobowy ruszył z przyspieszeniem a₁ = 0,2 m/s². Po cza­sie t = 1 min ruszył za nim drugi samochód z takim samym przyspieszeniem. Po jakim czasie od chwili startu pierw­szego samochodu odległość miedzy nimi będzie trzy razy większa od odległości, jaka była między nimi w momencie ru­szania drugiego samochodu?

a) nigdy, ponieważ odległość mię­dzy nimi nie będzie się zmieniała

b) po upływie 10 s

c) po upływie 30 s

d) po upływie 1 min

Zadanie 2.19

Jeżeli dwa obiekty porusza­ją się po tej samej prostej, w tę samą stro­nę, z jednakowymi przyspieszeniami, ale różnymi prędkościami początkowymi to odległość między nimi:

a) nie zmienia się,

b) rośnie wprost proporcjonalnie do czasu,

c) rośnie proporcjonalnie do kwa­dratu czasu,

d) maleje odwrotnie proporcjonalnie do czasu.

Zadanie 2.20

Czy zmiana zwrotu wekto­ra przyspieszenia wpływa na natychmia­stową zmianę zwrotu prędkości w ruchu jednostajnie zmiennym? Odpowiedź uzasadnij graficznie.

Zadanie 2.21

Wykres zależności prędko­ści od czasu dwu samochodów przed­stawiono na rysunku 2.4. Udowodnij, że pole trójkąta ABC jest równe polu pro­stokąta ADEC, Jak można zinterpretować powierzchnię obydwu pól?

Zadanie 2.22

Wykres zależności prędko­ści od czasu pewnego motocyklisty przedstawiono na rysunku 2.5. Jak dale­ko od punktu startu znalazł się motocy­klista po czasie t₁ jeżeli pole powierzch­ni s₁ równe jest polu powierzchni s₂?

Zadanie 2.23

Wykres zależności prędkości od czasu dwu obiektów poruszają­cych się ruchem jednostajnie zmiennym po jednej prostej przedstawiono na ry­sunku 2.6. Udowodnij, że obiekt B prze­był większą drogę w czasie t₂ niż obiekt A w tym samym czasie przy założeniu, ze t₁ > t₂ : 2

Zadanie 2.24

Dwaj rowerzyści jechali ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wykres zależności ich prędkości od czasu przedstawiono na rysunku 2.7. Rowe­rzysta l przejechał w ciągu pierwszych 10 sekund drogę równą polu zacieniowanemu na wykresie. W jakim czasie II rowerzysta przejedzie tę samą drogę? Przedstaw to na wykresie w postaci od­powiedniego prostokąta.

Zadanie 2.25

Wykres zależności przy­spieszenia od czasu pewnego samocho­du przedstawiono na rysunku 2.8. Z jaką prędkością będzie poruszał się ten sa­mochód po czasie t₂, jeżeli jego pręd­kość początkowa v₀ = 0 m/s, a pole po­wierzchni prostokąta s₁ równe jest polu powierzchni prostokąta s₂?

Odp. 0 m/s

Zadanie 2.26

Z gondoli balonu wznoszą­cego się pionowo do góry z prędkością v₁ = 2 m/s wyrzucono niewielki ciężarek w chwili, kiedy gondola znajdowała się na wysokości h =- 300 m. Jak długo bę­dzie spadał ten przedmiot na powierzch­nię Ziemi?

Odp. t = 8s

Zadanie 2.27

Dwie niewielkie rakiety meteorologiczne wystrzelono pionowo do góry. Ile razy prędkość początkowa pierwszej rakiety była większa od pręd­kości początkowej drugiej, jeżeli ta pierwsza wzniosła się na n = 4 razy większą wysokość?

Zadanie 2.28

Dwa samochody przejecha­ły tę samą drogę w tym samym czasie. Jeden z nich ruszył ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 2,5 m/s² drugi natomiast połowę dro­gi przejechał ruchem jednostajnym z prędkością v₁ = 10 m/s, a drugą połowę drogi z prędkością v₂ = 15 m/s. Jaką drogę przejechał każdy z samochodów?

Odp. s = 115,2 m

Zadanie 2.29

Motocyklista ruszył z miej­sca z przyspieszeniem a. Osiągnąwszy prędkość v = 20 m/s, jechał dalej ruchem jednostajnym, a po pewnym czasie za­czął hamować aż do całkowitego zatrzy­mania się. Opóźnienie ruchu podczas hamowania wynosiło -a. W ten sposób motocyklista przejechał drogę s = 55 km w czasie t= 50 min. Z jakim przyspie­szeniem poruszał się motocyklista?

Odp. a = 0,08 m/s²

Zadanie 2.30

Dwa samochody jadące po sąsiednich pasach ruchu w pewnej chwili znalazły się obok siebie, przy czym samochód A jechał w tym momencie z prędkością v_A=15 m/s przyspiesze­niem a_A = 0,2 m/s², natomiast samochód B w tej samej chwili jechał z prędkością v_B = 25 m/s i przyspieszeniem ujemnym a_B = - 0,3 m/s². Po jakim czasie samo­chody uzyskają tę samą prędkość?

Odp. t = 20s

DYNAMIKA

Zadanie 3.1

Kierowca samochodu osobo­wego zobaczył znak ograniczający do­zwoloną szybkość i zmniejszył nacisk stopy na pedał gazu. Samochód zaczął zwalniać. Wynika stąd, że:

a) na samochód przestały działać jakiekolwiek siły,

b) siła oporów ruchu samochodu była większa od siły napędzają­cej samochód,

c) siła oporów ruchu samochodu była równa sile napędzającej sa­mochód,

d) siła oporów ruchu samochodu była mniejsza od siły napędzają­cej samochód

Zadanie 3.2

Na kulkę działają siły napę­dowa F_N i siła oporów ruchu F_H, jak na rysunku 3.1 a., przy czym F_N=F_H. Na rysunku 3.1 b. przedstawiono cztery wykresy zależności szybkości od czasu. Który z wykresów - A, B, C czy D -odpowiada ruchowi tej kulki?

Zadanie 3.3

Wykres zależności szybkości motocykla od czasu przedstawiono na rysunku 3.2. Jaka wypadkowa siła dzia­łała na motocykl w przedziałach czasu A-B, B-C, C-D? Masa motocykla wraz z kierowcą m = 240 kg.

Odp. - 540 N, 0 N, 360 N

Zadanie 3.4

Samochód o masie m = 900 kg pod działaniem stałej siły napędowej F = 300 N jechał ruchem jednostajnie przyspieszonym po prostoliniowym od­cinku drogi. Narysuj wykres zależności szybkości tego samochodu od czasu.

Zadanie 3.5

Ciało ma ciężar Q = 68,6 N w miejscu, w którym przyspieszenie ziemskie g = 9,80 m/s². Jaką masę ma to ciało?

Odp. m = 7 kg

Zadanie 3.6

Na gładkim stole położono dwa ciężarki o masach m₁ = 250 g i m₂ = 500 g połączone gumką. W pewnej chwili ciężarki te rozsunięto, napinając gumkę, a następnie puszczono. Lżejszy z nich zaczął poruszać się z przyspieszeniem o wartości a₁ = 0,2 m/s². Z jakim przyspie­szeniem poruszał się drugi ciężarek?

Odp. a₂ = o,1 m/s²

Zadanie 3.7

Na klocek o masie m₁ = 20 kg działa siła F₁ = 4 N, a na inny klocek o masie m₂ = 30 kg działa siła F₂ = 5 N. Który klocek porusza się z większym przyspieszeniem?

Zadanie 3.8

Dwa ciężarki o masach m₁ i m₂ leżą na stole połączone nicią. Do cię­żarka o masie m_} przyłożono siłę F₁ dzia­łającą równolegle do powierzchni stołu, a do ciężarka m₂ - siłę F₂, działającą wzdłuż tego samego kierunku, co siła F₁ , ale o przeciwnym zwrocie. F₂ < F₁. Cię­żarki mogą poruszać się bez tarcia. Jaką wartość ma siła napinająca nić?

Zadanie 3.9

Na gładkim stole leżą trzy ciężarki o masach m_1, m₂ i m₃ połączo­ne nićmi, jak pokazano na rysunku 3.3, Do ciężarka o masie m₁ przyłożono siłę F_], a do ciężarka o masie m₃ siłę F₂, przy czym F₂ > F₁. jaką wartość ma siła na­pinająca nić między ciężarkami m_] i m₂?

Zadanie 3.10

Załadowany samochód cię­żarowy rusza z miejsca z przyspiesze­niem a₁ =0,1m/s². Ten sam samochód, ale bez ładunku może ruszyć z miejsca z przyspieszeniem a₂ = 0,5 m/s². Jaka jest masa ładunku, jeżeli pusty samochód ma masę M = 3 t?

Odp. m = 12 t

Zadanie 3.11

Pewna metalowa kula o ma­sie m = 4 kg toczy się ruchem zmiennym - wykres zależności szybkości przemiesz­czania się kuli od czasu przedstawiono na rysunku 3.4. Wykreśl zależność war­tości siły działającej na kulę od czasu.

Zadanie 3.12

Pociąg towarowy o masie m = 600 t zaczął hamować tak, że za­trzymał się po upływie czasu Δt = 1 min od rozpoczęcia hamowania. Średnia siła oporu ruchu podczas hamowania pocią­gu miała wartość F = 2 • 10⁵N. Z jaką prędkością jechał pociąg, zanim zaczął hamować?

Odp. v = 72 km/h

Zadanie 3.13

Pod działaniem pewnej wypadkowej siły niewielki wózek ruszył z miejsca i w czasie Δt przebył drogę

s₁= 50 cm. Zatrzymano wózek i poło­żono na niego ciężarek o masie m = 250 g. Tym razem pod działaniem tej sa­mej siły w tym samym czasie wózek przebył drogę s₂ = 25 cm. Jaką masę ma wózek?

Odp. M = 250 g

Zadanie 3.14

Ciężarek o masie m = 0,5 kg, będący w spoczynku, pod działaniem stałej siły został podniesiony w ciągu

t = 5 s na wysokość h = 2,5 m. Jaką siłą działano na ten ciężarek?

Odp. F = 5N

Zadanie 3.15

Na prostoliniowym odcin­ku toru kolejowego elektrowóz ciągną­cy siłą o wartości F = 150 kN pociąg towarowy o masie całkowitej m = 800 t zwiększył szybkość z v₁ =10 m/s do v₂ = 15 m/s, przejeżdżając w tym czasie odcinek drogi s = 1000 m. Jaką wartość miała średnia siła oporu ruchu pociągu przeciwdziałająca rozpędzaniu go?

Odp. F₀ = 100 kN

Zadanie 3.16

Balon o całkowitej masie m = 1500 kg wypełniony ciepłym po­wietrzem opadał powoli ze stałą szyb­kością. Jego siła nośna miała wartość F = 14,602 kN. Ciężarek o jakiej masie należałoby wyrzucić z balonu, aby za­czął unosić się on do góry z taką samą szybkością, jak opadał? Zakładamy, że siła oporów ruchu ma jednakową war­tość niezależnie od kierunku poruszania się balonu.

Odp. Δm = 23 kg

Zadanie 3.17

Jaką siłą należałoby działać na ciężarek o masie m = 2 kg, aby spadał pionowo z przyspieszeniem o wartości a = 15 m/s² ?

Odp. F = 10,4 N

Zadanie 3.18

Linka wytrzymuje obciąże­nie ciężarem o masie m_] = 250 kg. Każde zwiększenie ciężaru powoduje zerwanie się linki. Z jakim największym przyspie­szeniem można za pomocą tej linki pod­nosić ciężar o masie

m₂ = 200 kg tak, aby linka się nie zerwała?

Odp. a = 2,45 m/s²

Zadanie 3.19

Podnośnik może podnosić ciężar o masie m₁ = 150 kg z przy­spieszeniem a, które nie powoduje Jeszcze zerwania się liny. Z takim samym przyspieszeniem, co do wartości bezwzględnej, można opuszczać ciężar o masie m₂ = 650 kg. Jaki maksymalny ciężar można podnosić lub opuszczać za pomocą tego podnośnika ze stałą prędkością?

Odp. m = 243, 75 kg

Zadanie 3.20

Winda wraz z pasażerami ma masę m = 1000 kg. Z jakim przyspie­szeniem porusza się winda, jeżeli siła naciągu liny, na której jest ona zawie­szona, jest taka sama jak wtedy, gdy pu­sta winda o masie m_w = 500 kg wisi nie­ruchomo?

Odp. a = - 4,9 m/s²

Zadanie 3.21

W windzie powieszono siłomierz z przyczepionym doń ciężarem o masie m = 1 kg. Winda porusza się w dół ze stałą szybkością V = 2 m/s. Siłomierz będzie wskazywał siłę:

a) O N, b) 4,9 N,

c) 9,8 N, d) 14,7 N.

Zadanie 3.22

W windzie powieszono siłomierz z przyczepionym doń ciężarem o masie m = 1 kg. Winda porusza się w górę z przyspieszeniem o wartości a = 4,9 m/s². Siłomierz będzie wskazy­wał siłę:

a) O N, b) 4,9 N,

c) 9,8 N, d) 14,7 N.

Zadanie 3.23

W windzie powieszono si­łomierz z przyczepionym doń ciężarem o masie m = 1 kg. Winda porusza się w dół z przyspieszeniem o wartości a = 4,9 m/s². Siłomierz będzie wskazy­wał siłę:

a) O N, b) 4,9 N,

c) 9,8 N, d) 14,7 N.

Zadanie 3.24

Niewielki przedmiot poru­szający się po poziomym podłożu prze­był drogę s = 40 m i zatrzymał się. jaka była prędkość początkowa ruchu tego przedmiotu, jeżeli w czasie ruchu siły oporu wynosiły k = 10% jego ciężaru?

Odp. V0 = 8,85 m/s

Zadanie 3.25

Dwie kule o masach m₁ = 100 g i m₂ = 200 g połączone nicią leżą na gładkim poziomym stole, Jaką siłą F można ciągnąć pierwszą kulę, aby na­prężenie w nici nie przekroczyło warto­ści T = 10 N? Jaką dopuszczalną war­tość może mieć siła F, jeżeli będzie ona przyłożona do drugiej kuli?

Odp. 15 N ; 30 N

Zadanie 3.26

Kula jest podnoszoną z przyspieszeniem a = 2,S m/s²; napięcie nici jest wówczas n = 3 razy mniejsze od siły, która spowodowałaby jej zerwa­nie. Z jakim przyspieszeniem trzeba pod­nosić kulę, aby nić uległa zerwaniu?

Odp. a₁ = 27,1 m/s²

Zadanie 3.27

Dwie metalowe kule, jedna o masie m₁ = 2 kg, a druga o masie m₂ = l kg połączo­ne linką, są podnoszone, jak pokazuje rysunek 3.5. Jaka siła napręża górną lin­kę, jeżeli naprężenie w lince między kulami wynosi T= 4,9 N?

Zadanie 3.28

Na rysunku 3.6. przedsta­wiono dwa klocki o jednakowych ma­sach, znajdujące się w jednakowej od­ległości od krawędzi stołu, które mogą być przesunięte po jego powierzchni bez oporów ruchu, dwoma różnymi sposo­bami: przez przyłożenie do nitki siły F lub przez doczepienie do nici ciężarka o masie m = F : g . Udowodnij, że klocki, startując jednocześnie, dotrą do krawę­dzi niejednocześnie.

Zadanie 3.29

Dwaj chłopcy ciągną linę, każdy za jeden z końców siłą o wartości F = 100 N. Lina wytrzymuje naprężenie 150 N. Dlaczego lina się nie zrywa?

Zadanie 3.30

Sztangista o ciężarze P₁ = 1000 N podczas próby podniesienia z podestu sztangi o ciężarze P₂ = 1500 N działa na nią siłą P₃ = 1200 N skierowa­ną pionowo do góry. Tym samym nacisk jego nóg na podest wynosi:

a) 1000 N, b) 1200 N,

c) 1300 N, d) 2200 N.

Zadanie 3.31

Człowiek siedzący w łód­ce na jeziorze zaczyna ciągnąć cumę przywiązaną do słupka na przystani. Działa stałą siłą F, aż do momentu do­płynięcia łódki do przystani. Gdyby drugi koniec cumy nie był przywiązany, tylko ciągnąłby go inny człowiek stojący na przystani siłą o takiej samej wartości F, jak znajdujący się w łódce to:

a) łódka dopłynęłaby do przystani dwa razy szybciej,

b) łódka dopłynęłaby do przystani 1,5 razy szybciej,

c) łódka dopłynęłaby do przystani później,

d) łódka dopłynęłaby do przystani w takim samym czasie.

Zadanie3.32

Cztery jednakowe kule leżą na gładkim, płaskim stole, stykając się ze sobą. Na skrajną kulę zaczęto dzia­łać siłą o wartości F = 20 N, jak przed­stawiono to na rysunku 3.7. Jaką siłą działa kula trzecia na czwartą podczas ruchu przyspieszonego kul?

Zadanie 3.33

Dwaj łyżwiarze stojący na lodzie w odległości l = 15 m od siebie zaczynają ciągnąć jednakową siłą za dwa końce liny, przybliżając się do sie­bie. Jeden z nich ma masę m₁ = 60 kg, a drugi m₂ = 90 kg. Jaką drogę przeje­dzie lżejszy łyżwiarz do chwili dojecha­nia do swojego kolegi?

Odp. l₁ = 9m

Zadanie 3.34

Na lekkim, długim wózku o masie m₂, mogącym poruszać się po podłożu bez oporów ruchu, stoi czło­wiek o masie m₁. W pewnym momencie człowiek ten zaczyna iść z przyspiesze­niem a₁ względem podłoża, na którym stoi wózek. Z jakim przyspieszeniem porusza się on względem wózka?

Zadanie 3.35

Oblicz przyspieszenia cię­żarków w układzie przedstawionym na rysunku 3.8., jeżeli m₁ = 150 g, a m₂ = 450 g. Masy bloczków i nici można po­minąć.

Zadanie 3.36

Nieważki blok nieruchomy przyczepiony jest do siłomierza. Przez blok przerzucono linkę, a do jej końców przywiązano dwa ciężarki o masach m₁ =- 2 kg i m₂ = 5 kg. Jakie będzie wska­zanie siłomierza, jeżeli ciężarki zaczną się poruszać? Ciężar bloku i linki można pominąć.

Odp. g = 56 N

Zadanie 3.37

Dwa kuliste ciężarki o ma­sach m_] = 1,5 kg i m₂ = 3,4 kg umoco­wano na końcach linki, przerzuconej przez blok nieruchomy. Środek ciężko­ści lżejszej kuli znajdował się o h = 2 m niżej niż środek ciężkości drugiej kuli. Po jakim czasie t od chwili, w której oby­dwie kule zaczęły się swobodnie poru­szać (z szybkościami początkowymi równymi zeru), znajdą się one na tym samym poziomie? Ciężar linki i bloku można pominąć.

Odp. t = 0,725 s

Zadanie 3.38

Dwa ciężarki o jednako­wych masach m = 250 g umieszczono na szalkach przywiązanych do końców linki przewieszonej przez nieruchomy blok. Na jedną z szalek położono do­datkowe obciążenie, wskutek czego każ­da z nich przebyła drogę h = 160 cm w czasie Δt= 4 s. Oblicz masę dodatko­wego obciążenia. Ciężar bloku, szalek i linki można pominąć.

Odp. Δm = 10,4 g

Zadanie 3.39

Dwa jednakowe ciężarki o masach m = 200 g położone są na szal­kach przywiązanych do końców linki przerzuconej przez nieruchomy blok. Na jedna z tych szalek postawiono dodat­kowo odważnik o masie

m₀ = 100 g. Jaki nacisk będzie wywierał ten odważnik na ciężarek, jeżeli układ będzie w ruchu?

Odp. g = 7, 84 N

WEKTORY

Zdanie 4.1

Cztery jednakowe siłomierze, każdy o ciężarze Q = 1 N, zawie­szono jeden pod drugim, a na najniż­szym zawieszono obciążnik o ciężarze P = 2 N. Jakie będą wskazania każdego z siłomierzy?

Odp. 2N, 3N, 4N, 5N

Zadanie 4.2

Dwie siły działają wzdłuż do­wolnych kierunków, a ich wartości są od­powiednio równe: P₁ = 250 N i

P₂ = 750 N. Ich wypadkowa może mieć wartość:

a) O N b) 100 N

c) 800 N d) 1100 N

Zadanie 4.3

Dane są dwie siły o warto­ściach 10 N i 30 N. Która z następujących sił nie może być wypadkową tych sił?

a) 12 N b) 25 N

c) 36 N d) 45 N

Zadanie 4.4

Holownik ciągnie dwie bar­ki - jak na rysunku 4.1. Wszystkie odcin­ki holu są jednakowo wytrzymałe. Który z nich najszybciej się urwie w wypadku przekroczenia jego wytrzymałości: A-B, B-C czy B-D?

Odp. A - B

Zadanie 4.5

Dwie siły o wartościach F₁ = 30 N i F₂ = 40 N działają w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Jaką wartość ma siła wypadkowa? Jaki kąt tworzy ona z wektorem F₁?

Odp. F = 50 N; α = 53 ⁰

Zadanie 4.6

Trzy jednakowe siły, każda o wartości F = 25 N, działają wzdłuż trzech kierunków tworzących kąty

α = β = γ =120°, jak na rysunku 4.2. Wypadko­wa siła ma wartość:

a) O N b) 25 N

c) 50 N d) 75 N

Zadanie 4.7

Statek płynie po jeziorze wzdłuż linii prostej z szybkością v₁ = 30 km/h względem brzegu. Przed stat­kiem kursem prostopadłym płynie mo­torówka, zbliżając się do statku. Jaka jest prędkość motorówki, jeżeli ze statku widać, że zbliża się ona do niego pod kątem α = 60°?

Odp. v_m = 52 km/h

Zadanie 4.8

Statek pasażerski regularnie kursuje po rzece między portami A i B. W górę rzeki statek płynie z szybkością v₁ = 15 km/h względem brzegów, nato­miast w dół rzeki - z szybkością v₂ = 25 km/h względem brzegów. Z jaką szyb­kością płynie woda w rzece? Jaka jest szybkość statku względem wody?

Odp. v_s = 20 km/h; v_r = 5 km/h

Zadanie 4.9

Szybkość łódki względem wody w rzece jest n razy większa od szybkości, z jaką płynie woda. Ile razy dłużej będzie trwała podróż łódką pod prąd w górę rzeki w stosunku do czasu potrzebnego na powrót w dół rzeki do portu macierzystego?

Zadanie 4.10

Rybak płynął łódką w górę rzeki. W pewnym momencie zgubił czerpak, który wpadł do wody i popłynął unoszony prądem rzeki. Brak czerpa­ka rybak zauważył dopiero po upły­wie t₁ = 0,5 godziny i natychmiast za­wrócił, płynąc w dół rzeki w pogoni za zgubą z taką samą szybkością względem wody jak pod prąd. Czerpak dogonił w odległości s = 5 km od miej­sca zgubienia. Z jaką szybkością płynie woda w rzece?

Odp. v = 5 km/h

Zadanie 4.11

Młodzieniec postanowił przepłynąć wpław rzekę. Pod jakim ką­tem a do brzegu powinien płynąć, aby znaleźć się dokładnie naprzeciwko miej­sca startu? Jego szybkość względem wody wynosi v, natomiast szybkość wody w rzece wynosi u. Przyjmij jedna­kową szybkość prądu na całej szeroko­ści rzeki. Wskazówka; pod jakim kątem do brzegu powinna być skierowana wy­padkowa prędkość pływaka?

Zadanie 4.12

Łyżwiarz rozpędzi wszy się do szybkości v = 10 m/s, wjechał z roz­pędu na lodową górkę. Na jaką wyso­kość wjechał na tę górkę? Tarcie i opór powietrza można zaniedbać.

Odp. h = 5,1 m

Zadanie 4.13

Popchnięta kulka zaczyna toczyć się pod górę z szybkością począt­kową v₀ po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α. Po jakim czasie kulka znajdzie się w miejscu startu? Tar­cie i opór powietrza można zaniedbać.

Zadanie 4.14

Ze szczytu równi pochyłej zaczął zsuwać się krążek. Z dołu równi ku górze poruszał się w tym czasie drugi krążek, który w chwil i startu pierwszego miał szybkość v₀ =5 m/s. Obydwa po­ruszają się bez tarcia. Po jakim czasie krążki się spotkają, jeżeli początkowa od­ległość między nimi wynosiła l = 3 m?

Odp. t = 0,6 s

Zadanie 4.15

Ze szczytu ośnieżonej gór­ki po dwu stokach zaczęli zjeżdżać na sankach dwaj chłopcy, których masy wraz z sankami były jednakowe (rysu­nek 4.3.). Stok A jest dwa razy dłuższy niż stok B. Chłopiec zjeżdżający po sto­ku A będzie miał u podnóża góry szyb­kość (nie uwzględniamy tarcia):

a) dwa razy mniejszą niż chłopiec jadący po stoku B,

b) dwa razy większą niż chłopiec jadący po stoku B,

c) cztery razy większą niż chłopiec jadący po stoku B,

d) taką samą jak chłopiec jadący po stoku B.

Zadanie 4.16

Dany jest szereg równi po­chyłych o takiej samej podstawie i różnych kątach nachylenia. Przy jakim kącie a nachylenia równi pochyłej do poziomu umieszczony na jej szczycie ciężarek będzie zsuwał się najkrócej? Należy za­łożyć, że ciężarek może zsuwać się z tej równi bez oporów ruchu.

Odp. α = 45^o

Zadanie 4.17

Z gładkiego klina o kącie nachylenia α = 30° zsuwa się klocek sze­ścienny o masie m = 5 kg, który dodatko­wo ściągany jest siłą o wartości F= 30 N działającą poziomo, jak pokazano na rysunku 4.4. Z jakim przyspieszeniem klocek zsuwa się w dół klina?

Odp. a = 10,1 m/s²

Zadanie 4.18

Na równi pochyłej umiesz­czono dwa ciężarki połączone nicią przerzuconą przez bloczek, którego masę można zaniedbać (rysunek 4.5.). Z jakim przyspieszeniem będą poruszać się ciężarki i w którą stronę, jeżeli mają masy m₁ = 300 g, m₂ = 200 g, a kąt na­chylenia równi do poziomu jest równy α = 30°?

Odp. a = - 0,98 m/s²

Zadanie 4.19

Na szczycie dwóch, stano­wiących jedną całość równi pochyłych umocowany jest niewielki nieruchomy bloczek (rysunek 4.6.). Przez bloczek przerzucono nić, na końcach której umo­cowano dwa ciężarki o masach m₁ i m₂

Nachylenia równi są odpowiednio rów­ne α = 30° i β = 45°. jaki powinien być stosunek mas ciężarków, aby układ był w równowadze?

Zadanie 4.20

Jaką siłą należy działać na ciało o masie m = 5 kg, aby spadało ono z przyspieszeniem a = 15 m/s² ?

Odp. F = 26 N

Zadanie 4.21

Prędkość spadającej ołowia­nej kulki wynosiła w pewnym momen­cie v₁ = 2,92 m/s wzrosła do v₂ =7,82 m/s. Zakładając, że kulka spadała ruchem jednostajnie przyspieszonym, oblicz przyspieszenie tego ruchu.

Odp. a = 9,8 m/s²

Zadanie 4.22

W czasie zawodów spor­towych zmierzono szybkość, z jaką sko­czek z wieży wpada do wody. Wynosiła ona v = 9,8 m/s. Jak długo trwał skok za­wodnika? Przyjmij, że prędkość począt­kowa nie ma składowej pionowej.

Odp. t = 1 s

Zadanie 4.23

Jeden kamień spada z wy­sokości h₁ = 100 cm, natomiast drugi z wysokości h₂ = 400 cm. Ile razy dłużej będzie spadał drugi kamień?

Odp. n = 2

Zadanie 4.24

Na jakiej wysokości nad poziomem ziemi będzie znajdował się kamień puszczony z wysokości 400 cm w momencie, kiedy kamień puszczony z wysokości 100 cm spadnie na ziemię?

a) 2 m b) 2,5 m

c) 3 m d) 3,5 m

Zadanie 4.25

Swobodnie spadający ka­myk na pewnej wysokości h₁ osiągnął szybkość v₁ = 10 m/s, a na mniejszej wy­sokości h₂ osiągnął szybkość V₂ = 30 m/s. Jak długo spadał kamyk z wysokości h₁ do wysokości h₂?

a) około 1 s b) około 2 s

c) około 4 s d) około 20 s

Zadanie 4.26

Z wieży puszczono swo­bodnie kamyk i stwierdzono, że w ostatniej sekundzie ruchu kamyk przebył ¾ całej drogi. Jaką wysokość ma wieża?

Odp. ok. 15 min

Zadanie 4.27

Spadochroniarzowi opada­jącemu ze stałą szybkością v = 5 m/s, na wysokości h = 10 m nad ziemią wypadł niewielki przedmiot. O ile później spa­dochroniarz opadnie na ziemię od upusz­czonego przedmiotu, jeżeli na przedmiot ten nie działały żadne siły oporu?

Odp. Δt = 1s

Zadanie 4.28

Od krawędzi dachu odry­wają się kolejno, w pewnym odstępie czasu, dwie krople wody. Po t = 2 s od chwili rozpoczęcia swobodnego spada­nia drugiej kropli odległość między kro­plami wynosiła s = 25 m. W jakim odstę­pie czasu krople oderwały się od dachu?

Zadanie 4.29

Niewielki kamień rzucono pionowo do góry z szybkością początko­wą v = 25 m/s. Funkcja y(t) = 25 t -4,9t² przedstawia zależność od czasu:

a) wysokości, na jakiej znajduje się kamień,

b) nie ma związku z ruchem kamienia,

c) prędkości kamienia,

d) przyspieszenia kamienia.

Zadanie 4.30

Z wysokiej wieży rzucono jednocześnie dwie metalowe kulki z jed­nakowymi szybkościami początkowymi v , przy czym pierwszą z nich pionowo do dołu, a drugą pionowo do góry. Jak będzie się zmieniać z upływem czasu odległość między nimi? Ile będzie ona wynosić, kiedy rzucona do góry kulka osiągnie maksymalną wysokość? Wskazówka: jakim ruchem porusza się kulka II względem kulki I?

Zadanie 4.31

Dwa niewielkie kamyki rzucono pionowo do góry z jednakowy­mi prędkościami początkowymi o war­tości V₀, ale w pewnym odstępie czasu Δt jeden po drugim. Z jaką prędkością będzie poruszał się drugi kamyk wzglę­dem pierwszego?

Zadanie 4.32

Rzucony pionowo do góry kamień w czasie swojego wznoszenia i spadania znalazł się dwa razy na tej sa­mej wysokości h = 20 m w odstępie czasu t = 3 s. Z jaką prędkością początko­wą wyrzucono kamień do góry?

Odp. v₀ = 24,7 m/s

Zadanie 4.33

Dwa kamienie rzucono jed­nocześnie z wieży z jednakowymi prędkościami początkowymi o wartości

v₀ = 5 m/s, przy czym jeden pionowo do góry, a drugi pionowo w dół. W jakim odstępie czasu upadną te kamienie u podnóża wieży?

Odp. Δt = 1,02 s

Zadanie 4.34.

Swobodnie spadający przedmiot na wysokości h₁, miał prędkość v₁ = 20 m/s, natomiast na wysokości h₂ jego prędkość wynosiła v₂ = 40 m/s. Jaka jest różnica wysokości Δh = h_{1 -} h₂ ?

Odp. Δh = 61,2 m

Zadanie 4.35

Jaką wartość ma średnia siła oporu powietrza, jeżeli swobodnie spa­dający przedmiot o masie m = 2 kg po­rusza się z przyspieszeniem o wartości a = 8 m/s² ?

Odp. F₀ = 3,6 N

Zadanie 4.36

Kamień rzucony poziomo z wieży z prędkością o wartości v = 10 m/s upadł u jej podnóża w odległości równej wysokości, z jakiej został rzucony. W jakiej odległości od wieży upadł ka­mień?

Odp. z = h = 20,4 m

Zadanie 4.37

Trzy kamienie rzucono z wieży o wysokości h. Dwa poziomo, przy czym pierwszemu nadano prędkość początkową o wartości 2v₀ drugiemu prędkość początkową o wartości v₀, na­tomiast trzeci spadł swobodnie z wieży (tzn. jego prędkość początkowa była rów­na zeru). Który z nich spadał najkrócej?

a) pierwszy kamień

b) drugi kamień

c)trzeci kamień

d) wszystkie spadły w jednakowym czasie

Zadanie 4.38

Z wysokiego, urwistego brzegu rzeki wznoszącego się h = 20 m nad jej poziomem rzucono poziomo ka­myk z prędkością początkową o warto­ści v₀ = l O m/s. Po jakim czasie kamyk wpadnie do wody?

Odp. t = 2s

Zadanie 4.39

Ze śmigłowca lecącego po­ziomo ze stałą prędkością upuszczono na pewnej wysokości niewielki ciężarek. Zakładamy, że nie ma żadnych oporów ruchu ciężarka. Upadnie on w stosunku do lecącego śmigłowca:

a) daleko przed śmigłowcem,

b) dokładnie pod śmigłowcem,

c) daleko za śmigłowcem,

1. zbyt mało danych, by określić miejsce upadku ciężarka na ziemię względem lecącego śmigłowca.

Zadanie 4.40

Ze śmigłowca lecącego po­ziomo nad wodą na wysokości h = 400 m z prędkością o wartości V₁= 50 m/s wypada niewielki przedmiot. Po wodzie płynie motorówka z prędkością o wartości v₂ = 10 m/s. Jej kierunek ruchu po­rywa się dokładnie z kierunkiem lotu śmigłowca i obydwie maszyny zbliżają się do siebie. W jakiej odległości, licząc po powierzchni wody, powinna znajdować się motorówka od śmigłowca w momencie wypadnięcia przedmiotu, aby ten wpadł do motorówki?

Odp. x = 542 m

Zadanie 4.41

Kamień rzucony poziomo z wysokiego brzegu po czasie t = 0,5 s osiągnął szybkość n = 1,5 raza większą od szybkości początkowej. Z jaką szyb­kością rzucono kamień?

Odp. v₀ = 4,4 m/s

Zadanie 4.42

Kamień rzucony poziomo na pewnej wysokości upadł na ziemię po czasie Δt = 1 s od chwili wyrzuce­nia, w odległości l = 10 m, jeśli liczyć tę odległość w poziomie od punktu wy­rzucenia. Z jaką szybkością początkową v₀ rzucono kamień?

a) 9,80 m/s

b) 0 m/s

c) 15 m/s

d) 20 m/s

Zadanie 4.43

Z pewnej wysokości h rzu­cono jednocześnie dwa kamyki, nada­jąc im początkową szybkość poziomą; pierwszemu v₁ =10 m/s, a drugiemu v₂ =15 m/s. Obydwa jednocześnie upa­dły na ziemie, przy czym pierwszy upadł w odległości l₁ = 20 m, licząc w pozio­mie od punktu wyrzucenia go. Z jakiej wysokości rzucono kamyki, jak długo le­ciały do momentu upadku i jaki był za­sięg rzutu drugiego kamyka?

Odp. t = 2s; h = 19,6 m; l₂ = 30m

Zadanie 4.44

Piłka rzucona poziomo uderzyła w przeciwległą ścianę oddalo­ną o l = 5 m na wysokości h₁ = 1,5 m poniżej wysokości, z której była rzuco­na. Z jaką szybkością rzucono piłkę?

Odp. v₀ = 9m/s

Zadanie 4.45

Niewielką, metalowa kul­ka, rzucona poziomo, po upływie czasu Δt = 0,75 s miała prędkość n = 1,25 raza większą od prędkości początkowej. Jaka była prędkość początkowa, jeżeli opory ruchu kulki można zaniedbać?

Odp. v₀ = 9,8 m/s

Zadanie 4.46

Kamień rzucono poziomo na pewnej wysokości z prędkością po­czątkową o wartości v₀ = 20 m/s. Po ja­kim czasie od chwili wyrzucenia kamie­nia kierunek jego prędkości chwilowej będzie tworzył z poziomem kąt

α = 45°?

Odp. t = 2,04 s

Zadanie 4.47

Z wysokości h = 2 m rzu­cono poziomo niewielką kulkę tak, że kierunek jej prędkości chwilowej w mo­mencie uderzenia kulki o ziemię tworzył z poziomem kąt α = 45°. W jakiej odle­głości od miejsca wyrzucenia, licząc w poziomie, upadła kulka?

Odp. z = 4m

Zadanie 4.48

Niewielki ciężarek rzuco­no pod kątem α = 30° do poziomu z prędkością początkową o wartości v₀ = 20 m/s. Na jaką wysokość wzniesie się ten ciężarek?

a) około 5 m b) około 10 m

c) około 20 m d) około 25 m

Zadanie 4.49

Kamień rzucono pod kątem α = 45° do poziomu z prędkością począt­kową o wartości v₀ =10 m/s. jak długo będzie on leciał do momentu upadku?

a) około 0,7 s b) około 1,4 s

c) około 2,1 s d) około 5 s

Zadanie 4.50

Kaskader przeskakujący na motocyklu nad dachami ustawionych obok siebie autobusów rozpędzał się tak, że jego prędkość początkowa w chwili opuszczania rampy miała wartość v₀ = 16 m/s (rysunek 4.7.). Kąt nachyle­nia rampy do poziomu wynosił α = 30°. Ile autobusów mógł bezpiecznie prze­skoczyć kaskader, jeżeli autobus ma szerokość a = 2,5 m?

a) 9 b) 10

c) 11 d) 12

Zadanie 4.51

Kamień rzucono ukośnie pod kątem α do poziomu, z prędkością początkową o wartości v_q. Narysuj wykresy: zależności składowej pionowej prędkości V₁ od czasu, zależności współ­rzędnych położenia kamienia x i y od czasu, przy założeniu, że początek ukła­du współrzędnych znajduje się w punk­cie wylotu kamienia.

Zadanie 4.52

Metalowa kulka, rzucona ukośnie pod kątem α = 30° do poziomu, dwukrotnie znalazła się na tej samej wysokości. Raz po upływie czasu t₁ = 0,3 s od chwili wyrzucenia, a drugi raz po czasie t₂ = 0,5 s. Oblicz wartość pręd­kości początkowej kulki v₀.

Odp. v₀ = 7,85 m/s

Zadanie 4.53

Dwa kamyki rzucono uko­śnie z jednego miejsca pod różnymi ką­tami α ₁ i α ₂ do poziomu. Jaki był stosu­nek wartości ich prędkości początkowych v₁ i v₂, jeżeli kamyki upadły w tym sa­mym miejscu?

Zadanie 4.54

Jaką prędkość będzie miał na wysokości h = 5 m kamień rzucony ukośnie z prędkością początkową o wartości V₀ = 20 m/s ?

Odp. v = 17,4 m/s

Zadanie 4.55

Z dwu wież o jednakowej wysokości h = 100 m odległych o l = 50 m wyrzucono poziomo jednocześnie

dwa przedmioty (rysunek 4.8.) z pręd­kościami o wartościach v₁ = 10 m/s i v₂ = 15 m/s. Po jakim czasie i na jakiej wysokości zderzą się te przedmioty?

Odp. t = 2s; h₁ = 80m

TARCIE

Zadanie 5.1

Jaką wartość musi mieć skie­rowana poziomo siła F działająca na klocek o masie m = 5 kg, aby poruszał się on po poziomej powierzchni z przy­spieszeniem o wartości a = 0,1 m/s²? Współczynnik tarcia między klockiem a podłożem wynosi f = 0,2.

Odp. F = 10,3 N

Zadanie 5.2

Skrzynka o masie m = 1 kg przesuwana jest po podłodze działającą poziomo siłą F. Współczynnik tarcia skrzynki o podłogę wynosi f= 0,25. Jaką wartość musi mieć ta siła, aby skrzynka poruszała się ruchem jednostajnym?

Odp. F = 2,45 N

Zadanie 5.3

Ciężarek sześcienny o masie m = 10 kg znajduje się między dwiema równoległymi płaszczyznami. Jaką siłą należałoby ściskać sześcian tymi płasz­czyznami, aby nie zsuwał się między nimi w dół? Współczynnik tarcia między sze­ścianem a płaszczyznami wynosi f= 0,25.

Odp. F = 196 N

Zadanie 5.4

Na rysunku 5.1. przedstawio­no trzy różne warianty przesuwania po drewnianym stole czterech jednakowych ciężarków. W każdym przypadku przy­łożono jednakową siłę F większą od siły tarcia, a współczynnik tarcia między cię­żarkami i powierzchnią stołu jest jedna­kowy. Układ ciężarków na rysunku 5.la. będzie poruszał się:

a) z największym przyspieszeniem w stosunku do innych zestawów ciężarków,

b) z najmniejszym przyspieszeniem w stosunku do innych zestawów ciężarków,

c) z takim samym przyspieszeniem jak pozostałe zestawy ciężarków,

d) ruchem jednostajnym.

Zadanie 5.5

Tramwaj jadący ruchem jed­nostajnym z szybkością v = 10 m/s zaczął gwałtownie hamować tak, że jego koła, nie obracając się, ślizgały się po szynach. Jaką drogę przejedzie tramwaj do momen­tu zatrzymania się, jeżeli porusza się ru­chem jednostajnie opóźnionym, a współ­czynnik tarcia kół o szyny wynosi f= 0,2?

Odp. s = 25,5 m

Zadanie 5.6

Jaką prędkość początkową nadał hokeista krążkowi hokejowemu, jeżeli zatrzymał się on po upływie czasu

t = 30 s? Współczynnik tarcia krążka o lód wynosi f = 0,04.

Odp. v₀ = 11,8 m/s

Zadanie 5.7

Na poziomej powierzchni leży ciężarek o masie m - 1 kg. Współ­czynnik tarcia ciężarka o podłoże wy­nosi

f = 0,3. Do ciężarka przyłożono kolejno: najpierw działającą poziomo siłę o wartości f₁ = 2 N, a następnie dzia­łającą poziomo siłę o wartości F₂ = 4 N. Okazuje się, że:

a) w obu wypadkach siła tarcia mia­ła wartość około 3 N,

b) podczas działania siły F₁ siła tar­cia miała wartość 2 N, a podczas działania siły F₂ siła tarcia miała wartość około 3 N,

c) podczas działania siły F₁ siła tar­cia miała wartość 2 N, a podczas działania siły F₂ siła tarcia miała wartość 4 N,

d) podczas działania siły F₁ siła tar­cia miała wartość 0,6 N, a pod­czas działania siły F₂ siła tarcia

miała wartość około 1,2 N.

Zadanie 5.8

Kierowca samochodu osobo­wego jadącego po prostej drodze z szyb­kością v = 108 km/h zobaczył przeszko­dę w odległości s = 60 m i rozpoczął gwałtowne hamowanie. Czy samochód zdąży zatrzymać się przed przeszkodą, jeżeli współczynnik tarcia kół o jezdnię wynosi f = 0,654?

Odp. nie; s_h = 70 m

Zadanie 5.9

Tramwaj ruszył z przystanku ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem o wartości a = 1 m/s² i rozpędzał się przez czas t = 20 s, po czym motorniczy wyłączył dopływ prądu do silnika tramwaju, który poruszał się dalej ruchem jednostajnie opóźnionym aż do zatrzymania się. Efektywny współczynnik tarcia był stały i wynosił f = 0,02. Jaką największą szybkość osiągnął tramwaj? Jaką drogę przejechał od przystanku do chwili zatrzymania się?

Odp. v_m = 72 km/h; s = 1219 m

Zadanie 5.10

Ciężarek umieszczony na równi pochyłej o kącie nachylenia do poziomu α = 45° zaczyna zsuwać się niej i po przebyciu drogi s = 2,34 m osiąga szybkość v = 3,12 m/s. Jaką wartość ma współczynnik tarcia ciężarka

o równię?

Odp. f = 0,7

Zadanie 5.11

Chłopiec zjeżdża na sankach z ośnieżonej górki o wysokości h = 4 m i kącie nachylenia do poziomu

α = 30°. Otoczenie górki jest poziome. Jaką drogę przebędzie chłopiec na sankach od chwili zjechania z górki do momentu zatrzymania się? Współczynnik tarcia sanek o śnieg na górce i po drodze poziomej jest jednakowy i wynosi f = 0,08.

Odp. s = 48,3 m

Zadanie 5.12

Z równi pochyłej o kącie nachylenia α = 30° zsuwał się metalowy sześcian, który w punkcie I na równi poruszał się z szybkością v_I = 0,15 m/s, natomiast w punkcie II, znajdującym się poniżej punktu l, sześcian miał szybkość v_II = 4,25 m/s. Współczynnik tarcia sześcianu o równię wynosił f = 0,1. W jakim czasie sześcian przebył drogę między punktami l i II?

Odp. t = 1s

Zadanie 5.13

Po równi pochyłej o kącie nachylenia α = 45° do poziomu zsuwa się niewielki ciężarek. Zależność przeby­tej przez niego drogi s od czasu t wyraża się wzorem s = Ct², gdzie C = 3,46 m/s². Jaką wartość ma współczynnik tarcia cię­żarka o równię?

Odp. f = 0,0014

Zadanie 5.14

Działając siłą F₁ na cegłę o masie m, można ją przesuwać po pio­nowej ścianie tak, jak to przedstawiono na rysunku 5.2. Z jakim przyspieszeniem a będzie poruszać się cegła, jeżeli kąt między siłą F a pionem jest równy α, natomiast współczynnik tarcia cegły o ścianę wynosi f?

Zadanie 5.15

Niewielka deska mająca na końcach małe podpory leży na równi pochyłej (rysunek 5.3.). Jaką co najmniej wartość musi mieć kąt α nachylenia równi do poziomu, aby deska zaczęła zsuwać się z równi? Współczynniki tarcia podpór o powierzchnię równi są odpowiednio równe f₁ i f₂ Przyjmij, że naciski na równię w miejscu obu pod­pory jednakowe.

Zadanie 5.16

Na stole leży łańcuszek, a je­go część swobodnie zwisa z blatu stołu. Jeżeli zwisająca część łańcuszka jest dłuż­sza od x = 10 cm, to łańcuszek zaczyna zsuwać się ze stołu. Współczynnik tarcia łańcuszka o stół wynosi f = 0,2. Jaką dłu­gość (całkowitą) ma łańcuszek?

Odp. l = 60 cm

Zadanie 5.17

Na samochód o masie m = 1000 kg, jadący po poziomej drodze, działa siła tarcia T o wartości równej 0,1 jego ciężaru. Jaką wartość musi mieć siła napędowa samochodu, aby mógł poru­szać się on z przyspieszeniem o warto­ści a = 2 m/s²? Przyjmij wartość przyspie­szenia ziemskiego g = 10 m/s².

a) 1000 N b) 1500 N

c) 3000 N d) 9800 N

Zadanie 5.18

Na równi pochyłej o kącie nachylenia α = 30° umieszczono cięża­rek o masie m = 1 kg. Współczynnik tarcia ciężarka o równię wynosi f = 0,2. Jaką siłą, skierowaną prostopadle do powierzchni równi, należy dociskać ciężarek, aby się nie zsuwał?

Zadanie 5.19

Na gładkim stole leży de­ska o masie m₁ = 4 kg, a na tej desce położono ciężarek o masie m₂ = 1 kg. Deskę i ciężarek połączono nieważką nicią przełożoną przez bloczek nieruchomy, jak to pokazano na rysun­ku 5.4. Współczynnik tarcia między ciężarkiem i deską wynosi f = 0,4. Jaką siłą F należy ciągnąć deskę, aby tak jak i ciężarek, poruszała się z przyspiesze­niem o wartości a = 0,25 g?

Odp. F = 20,1 N

Zadanie 5.20

Skrzynia pokonując siłę tar­cia, zaczyna zsuwać się z równi pochy­łej, gdy kąt nachylenia równi do pozio­mu przekracza 60°, tzn. α ≥ 60°. Jaką drogę s przebędzie do zatrzymania się skrzynia poruszająca się w górę po tej równi, jeżeli nadano jej prędkość począt­kową o wartości v₀ = 20 m/s?

Odp. s = 11,8 m

MOMENTY SIŁ

Zadanie 6.1

Na końcu jednorodnej, meta­lowej listwy o długości l umieszczono cię­żarek o masie m = 120 g i kiedy podparto ją w odległości x = ¼ l od końca z cię­żarkiem (rysunek 6.1.), listwa pozostała w równowadze. Oblicz masę M listwy.

Odp. M = 120 g

Zadanie 6.2

Na rysunku 6.2. pokazano zależność momentu pary sił (M) od odległości mię­dzy prostymi działania sił (d). Oblicz wartość każdej z sił.

Odp. F = 20 N

Zadanie 6.3

Jednorodna drewniana bel­ka leży na platformie tak, że ¹/₅ jej dłu­gości wystaje poza platformę. Gdy na wystający koniec belki zacznie działać skierowana pionowo w dół siła o warto­ści F ≥1500 N, to drugi koniec belki zacznie się unosić. Belka ma ciężar:

a) 1000 N b) 1500 N

c) 2000 N d) 2500 N

Zadanie 6.4

Dwaj robotnicy nieśli rurę długości l = 4 m i masie m = 40 kg. Je­den z nich trzymał rurę za jej koniec, natomiast drugi trzymał ją w odległości a = 0,8 m od drugiego końca. Jaki ciężar dźwigał każdy z robotników?

Odp. F₁ = 147 N; F₂ = 245 N

Zadanie 6.5

Stalowa belka o długości l = 5 m i masie m₁ = 1 t jest podparta na obu końcach. Na belce, w odległości

a = 1 m od jednego z końców stoi meta­lowy obciążnik dźwigu budowlanego o masie m₂ = 100 kg. Jaką siłą reaguje każda z podpór?

Odp. F₁ = 5690 N; F₂ = 5100 N

Zadanie 6.6

Metalowa szyna o długości l = 12 m i masie m = 1500 kg leży na dwu podporach. Jedna podpora umiesz­czona jest w odległości a₁ = 2 m od koń­ca szyny, a druga w odległości a₂ = 4 m od drugiego końca szyny. Jaką siłą F trzeba naciskać ten koniec szyny, aby przeciwny uniósł się do góry?

Odp. F = 7357,5 N

Zadanie 6.7

Na cienkiej rurce, której cię­żar można zaniedbać, umieszczono trzy metalowe kule o masach m₁, m₂ i m₃ tak, że środki ich mas odległe są od lewego końca rurki odpowiednio o x_1, x₂ i x₃, jak na rysunku 6.3. W jakiej odległości x od tego końca należy podeprzeć rurkę, aby układ był w równowadze?

Zadanie 6.8

Do ściany przystawiono dra­binę o masie m pod kątem α do pionu. Drabina jest niejednorodna i w rezulta­cie środek jej masy znajduje się na wyso­kości x = ⅓ l od dolnego końca drabiny. Jaką siłę skierowaną poziomo należało­by przyłożyć w środku wysokości dra­biny, aby jej górny koniec nie wywierał żadnego nacisku na ścianę?

Zadanie 6.9

Metalowy wałek o masie M i promieniu R trzeba wtoczyć na niewiel­ki stopień o wysokości h (rysunek 6.4.}. Jaką co najmniej wartość musi mieć siła F przyłożona do osi O walca, aby walec znalazł się na stopniu? Tarcie można zaniedbać.

Zadanie 6.10

Jednorodna drabina, której środek masy znajduje się w połowie jej wysokości, opiera się o gładką ścianę. Współczynnik tarcia drabiny o podłogę wynosi f. Oblicz najmniejszy kąt α po­między drabiną a podłogą, przy którym drabina będzie w równowadze.

Zadanie 6.11

Dwie jednakowe deseczki, między którymi nie występuje siła tar­cia, oparto wzajemnie o siebie, jak po­kazano na rysunku 6.5. Każda deseczka tworzy kąt α z pionem. Jaką co najmniej wartość musi mieć współczynnik tarcia f między deseczkami a stołem, na któ­rym stoją, aby nie ześlizgnęły się?

Zadanie 6.12

Jednorodny metalowy wa­lec stoi na równi pochyłej o kącie nachy­lenia α do poziomu. Wysokość walca jest dwukrotnie większa od promienia jego podstawy. Pod jakim co najwyżej kątem może być nachylona równia, aby walec się nie przewrócił? Współczynnik tarcia ma wystarczająco dużą wartość.

a) 22,5° b) 30°

c) 45° d) 60°

Zadanie 6.13

Drabina o długości l = 4 m oparta jest o idealnie gładką ścianę pod kątem α = 60°do poziomu. Na jaką wy­sokość może wejść człowiek na tę dra­binę, aby nie zaczęła dolnym końcem ześlizgiwać się po podłodze? Współ­czynnik tarcia drabiny o podłogę wyno­si f = 0,3. Drabina jest bardzo lekka i masę jej można zaniedbać.

Zadanie 6.14

Na nici o długości l = 10 cm przyczepiono do ściany kulę o masie m = 500 g i promieniu r = 5 cm (rysunek 6.6.). Między ścianą i kulą nie występują siły tarcia. Jaką siłą N kula naciska na ścianę?

Odp. N = 1,73 N

Zadanie 6.15

Na cienką listwę działają dwie siły równoległe o wartościach F₁ =15 N i F₂ = 25 N, o przeciwnych zwrotach. Odległość między prostymi, wzdłuż których działają siły wynosi a = 1 m. Oblicz wartość siły równowa­żącej układ (tzn. takiej, która spowodu­je, że listewka będzie w spoczynku) oraz miejsce jej przyłożenia i kierunek. Ciężar listwy można zaniedbać.

Zadanie 6.16

Kołowrót składa się z dwóch umieszczonych na wspólnej osi wałków o promieniach r₁ = 15 cm i

r₂ = 25 cm {ry­sunek 6.7.). Obrót korbą kołowrotu powo­duje, że lina z jednego wałka się odwija, a na drugi nawija. Na linie umieszczony jest bloczek ruchomy, do którego przy­czepiono ciężarek o masie

m = 5 kg. Jaką siłą trzeba obracać korbę kołowrotu, której ramię ma długość b = 50 cm, aby podnosić ciężarek ruchem jednostajnym?

Odp. F = 4,9 N

CIECZE

Zadanie 7.1

W naczyniu z wodą zanu­rzono zawieszone na niciach, dwa mie­dziane przedmioty o różnych kształtach i jednakowych ciężarach (rysunek 7.1.). Siły wyporu działające na każde z tych przedmiotów będą:

a) jednakowe,

b) niejednakowe, na kulę będzie działała większa siła wyporu,

c) niejednakowe, na prostopadło­ścian będzie działała większa siła wyporu,

d) równe zeru, ponieważ przedmio­ty wiszą na niciach.

Zadanie 7.2

Naczynie wypełnione po brzegi wodą ma całkowity ciężar wraz z wodą P₁ = 327 N. Jak zmieni się ten ciężar, jeżeli do wody włożymy drew­niany klocek o ciężarze P₂ = 23 N?

Odp. P = 350 N

Zadanie 7.3

W szklance napełnionej do pełna wodą pływa kilka kostek lodu wy­stających nad jej poziom, jak zmieni się ciśnienie hydrostatyczne działające na dno szklanki, jeżeli lód stopnieje?

a) zmaleje

b) wzrośnie

c) zmieni się w sposób trudny do opisania

d) nie zmieni się

Zadanie 7.4

Do wiadra w kształcie cylin­dra o średnicy d = 30 cm wlano V = 15,7 litrów wody. Jakie ciśnienie hydrostatyczne będzie panowało na wysoko­ści h = 5 cm od dna wiadra? Gęstość wody ρ = 1000 kg/m³.

Odp. p = 1687 Pa

Zadanie 7.5

Ciśnienie wywierane przez wodę na dno jeziora wynosi p = 1,27 • 10⁵ Pa. Jaka jest głębokość jeziora? Gęstość wody ρ = 1000 kg/m³.

Odp. h = 13 m

Zadanie 7.6

Do naczynia wlano rtęć i wo­dę tak, że całkowita wysokość słupa obydwu cieczy wynosiła h. Masa wody była taka sama jak masa rtęci. Jakie ciś­nienie hydrostatyczne panuje na dnie naczynia, jeżeli gęstość wody wynosi

ρ ₁ , a rtęci ρ ₂?

Zadanie 7.7

Metalowa kula ma ciężar P₁ = 12 N. Ta sama kula zanurzona cał­kowicie w wodzie rozciąga sprężynę dynamometru siłą P₂ = 7,5 N. Oblicz objętość kuli. Gęstość wody. ρ = 1000 kg/m³.

Odp. V = 0,458 l

Zadanie 7.8

Wiadro o masie m wyciąga­ne jest ruchem jednostajnym ze studni. Gęstość blachy, z której wykonane jest wiadro to ρ, a gęstość wody - ρ_w. Ile wy­nosi różnica między siłą potrzebną do wyciągania pustego wiadra ze studni, gdy jest ono już w powietrzu, a siłą po­trzebną do wyciągania wiadra całkowi­cie zanurzonego w wodzie? Opory wody w studni pomijamy.

Zadanie 7.9

Pewien przedmiot zanurzony w benzynie, której gęstość wynosi ρ₁- = 0,77 • 10³ kg/m³, ma ciężar n = 8 razy mniejszy niż w powietrzu. Jaka jest gę­stość materiału, z którego wykonany jest przedmiot?

Odp. ρ_x = 880 kg/m³

Zadanie 7.10

Do jakiej wysokości h na­leży nalać cieczy do cylindra miarowe­go o promieniu podstawy R, aby całko­wita siła pochodząca od ciśnienia hydro­statycznego działająca na ściankę była równa sile działającej na dno?

a) h = 0,5 R b) h = R

c) h = 2 R d) h = π R

Zadanie 7.11

Metalowy prostopadłościan o gęstości ρ₁ polu powierzchni S i wyso­kości h₁ leży na dnie naczynia, ściśle przylegając do dna, tak że dno nie jest zwil­żone. Do naczynia nalano cieczy o gę­stości ρ ₂ do wysokości h₂ tak, że h₂ > h_1. Oblicz siłę, z jaką prostopadłościan jest dociskany do dna naczynia, jeżeli ciśnie­nie atmosferyczne wynosi p₀.

Zadanie 7.12

W szklanej rurce w kształ­cie litery U znajduje się rtęć wypełnia­jąca częściowo rurkę. Do jednego z ra­mion rurki na rtęć nalano wody, a do dru­giego oleju o gęstości ρ₁ = 0,9 • 10 ³ kg/m³ tak, że poziomy rtęci pozostały bez zmian. Jaka była wysokość słupa wody h, jeżeli wysokość słupa oleju wyno­siła h₁ = 25 cm? Gęstość wody ρ = 1000 kg/m³.

Odp. h₂ = 22,5 cm

Zadanie 7.13

W wodzie znajduje się jedno­rodny aluminiowy cylinder o wysokości h = 2 m i polu przekroju poprzecznego S = 100 cm². Cylinder ten zaczęto wy­ciągać z wody ruchem jednostajnym za pomocą nici tak, że cylinder utrzymy­wał się pionowo. Kiedy nad powierzch­nię wody wystawało p = 0,25 wyso­kości cylindra, nitka się zerwała. Jaką siłą naprężona była nić w chwili tuż przed zerwaniem? Gęstość aluminium wynosi

ρ_A = 2,27 • 10³ kg/m³, gęstość wody ρ_w = 1000 kg/m^3.

Odp. F = 383 N

Zadanie 7.14

Jaka powinna być po­wierzchnia kawałka kry pływającej po je­ziorze, której grubość wynosi a = 0,5 m, aby mogła bezpiecznie unosić znajdu­jącego się na niej człowieka o masie M = 80 kg? Gęstość lodu wynosi

ρ₁ = 0,9-10³ kg/m³, wody p_w =1000 kg/m³.

Odp. S = 1,6 m²

Zadanie 7.15

Kulka szklana opada w wo­dzie z przyspieszeniem o wartości a = 3,2 m/s². Oblicz gęstość szkła, z którego wykonano kulkę. Opory ruchu można pominąć.

Odp. ρ_s = 1480 kg/m³

Zadanie 7.16

Z cieczy wypływa na po­wierzchnię ruchem jednostajnym kulka z materiału, którego gęstość jest n = 3 razy mniejsza od gęstości cieczy. Ile razy siły oporów ruchu kulki podczas wypły­wania są większe od jej ciężaru?

Zadanie 7.17

Balon napełniony wodo­rem unosi się do góry z przyspieszeniem a = 1 m/s². Jego masa wraz z wyposaże­niem i załogą, ale bez gazu, wynosi m= 600 kg. Jaka jest objętość powłoki balonu zawierającej wodór, jeżeli gęstość wodoru wynosi ρ₁ = 0,09 kg/m³,a powietrza ρ₂ = 1,29 kg/m³?

Odp. V = 543 m³

Zadanie 7.18

Do naczynia z wodą nalano nafty o gęstości ρ_n = 800 kg/m³ tak, że obie ciecze się nie wymieszały. Do na­czynia tego włożono ostrożnie przedmiot w kształcie sześcianu o boku a = 10 cm. Okazało się, że w połowie wysokości pływa on w wodzie, a w połowie w naf­cie. Jaką masę m ma materiał, z którego wykonano ten przedmiot? Gęstość wody p_w =1000 kg/m³ ?

Odp. m = 900 g

Zadanie 7.19

Z materiału o gęstości ρ_] = 900 kg/m³ wykonano sześcian, który za­nurzono do wody i znajdującej się nad nią benzyny (niezmieszanych) o gęstości ρ₂ = 700 kg/m³. Jaka część sześcianu będzie pływać w wodzie (o gęstości p₁ =1000 kg/m³ )?

Zadanie 7.20

Na powierzchnię rtęci o gę­stości ρ_r =13,6 • 10³ kg/m³ nalano wody o gęstości p_w =1000kg/m³. Do obydwu cieczy włożono sztabkę metalową tak, że będąc w równowadze, pływała za­nurzona w rtęci na n1 = ¼ swojej wyso­kości i w wodzie na n₂ = ½ wysokości. Jaka jest gęstość metalu, z którego wykonano sztabkę?

Odp. ρ_x = 3900 kg/m³

Zadanie 7.21

Kulka o gęstości ρ = 400 kg/m³ wpada swobodnie z wysoko­ści h = 12 cm do wody o gęstości

p_w =1000 kg/m³ . Na jaką głębokość zanurzy­łaby się ona w wodzie, jeśli opory jej ruchu można by było zaniedbać?

Odp. x = 8 cm

Zadanie 7.22

Do szalki wagi przyczepio­no na nici probówkę wypełnioną rtęcią i zanurzoną otwartym końcem w naczy­niu z rtęcią, jak pokazano na rysunku 7.2. (w probówce ponad rtęcią są pary rtęci). Jaki ciężarek należy położyć na drugiej szalce, aby waga była w równowadze?

a) nie jest potrzebny żaden ciężarek

b) ciężarek o masie równej masie probówki

c) ciężarek o masie równej masie rtęci w probówce

d) ciężarek o masie równej sumie mas probówki i zawartej w niej rtęci

Zadanie 7.23

Na jednej szalce wagi znaj­dującej się w równowadze, stoi naczynie z wodą, a na drugiej statyw, do którego końca przywiązano na nici metalową kulkę o objętości V (rysunek 7.3.). Kul­kę opuszczono tak, że całkowicie pogrą­żyła się w wodzie, nie dotykając dna naczynia. Jaką masę powinien mieć ciężarek dokładany na prawą szalkę, aby układ nadal był w równowadze?

a) 0g

b) (V ρ₁) g- gdzie p₁ to gęstość wody

c) 2 (V • ρ₁) g - gdzie ρ₁ to gęstość wody

d) (V p₂) g- gdzie p₂ to gęstość me­talowej kulki.

Zadanie 7.24

W naczyniach połączo­nych, jak na rysunku 7.4., znajduje się woda o gęstości p_w =1000 kg/m³ , a w każ­dym z ramion naczynia, na powierzchni wody, umieszczone są drewniane klocki o masach

m₁ = 2 kg i m₂ = 3 kg. Pola prze­krojów poprzecznych rurek wynoszą S₁ = 0,12 cm² oraz S₂ = 0,18 cm². Oblicz róż­nicę poziomów wody w obu ramionach.

Zadanie 7.25

Do końca jednorodnej li­stewki o masie m = 40 g i długości l = 24 cm przymocowano na nici kulkę aluminiową o objętości V = 10 cm³. Lis­tewkę położono na brzegu naczynia z wodą w ten sposób, że kulka zanurzy­ła się w wodzie (rysunek 7.5.), a listew­ka pozostała w równowadze. W jakiej odległości od prawego końca listewki znajduje się punkt podparcia? Gęstość aluminium ρ_a = 2720 kg/m³ , a gęstość wody p_w =1000 kg/m³ .

Odp. x = 3,84 cm

PRACA, ENERGIA, MOC

Zadanie 8.1

Metalowa listewka o cięża­rze P₁ = 5 N podparta jest w odległości ⅛ długości od jednego z końców (rysu­nek 8.1). Jaką prace należy wykonać, aby przesunąć krótszy koniec listewki w dół o x = 3 cm? Zakładamy że ruch ten odbywa się po linii prostej.

Odp. W = 0,45 J

Zadanie 8.2

Jaką pracę należy wykonać, aby metalowy łańcuch o długości l = 10 m i masie m = 20 kg, zwisający do studni, nawinąć na kołowrót? Należy rozpatrzyć zmianę położenia środka ciężkości łańcucha.

Odp. W = 980 J

Zadanie 8.3

Ciężką skrzynię w kształcie sześcianu o boku a = 40 cm i ciężarze P = 500 N przetoczono na odległość

l = 8 m, obracając skrzynię względem jej krawędzi. Przy jakim współczynniku tarcia skrzyni o podłoże praca wykona­na podczas przetaczania skrzyni byłaby równa pracy zużytej na jej przesunięcie na tę samą odległość? Należy przyjąć, że praca wykonywana podczas przeta­czania skrzyni związana jest tylko z uno­szeniem jej środka ciężkości.

Odp. f = 0,207

Zadanie 8.4

Ciało o masie m = 2 kg pod­niesiono na wysokość h = 1 m, wykonu­jąc przy tym pracę W = 25 J. Z jakim przyspieszeniem a podniesiono to ciało?

a) 2 m/s² b) 2,5 m/s²

c) 2,7 m/s² d) 4 m/s²

Zadanie 8.5

Jaką pracę wykonały siły ciężkości działające na swobodnie spa­dającą kulę o masie m = 1 kg w drugiej sekundzie jej lotu?

a) 100 J b) 122 J

c) 144 J d) 150 J

Zadanie 8.6

Holownik ciągnie po jezio­rze barkę tak, że lina holownicza two­rzy z kierunkiem ruchu barki kąt α = 30°. Siła naciągająca linę holowniczą ma wartość F =2,5 kN. Jaką pracę wykona holownik, przeciągając barkę na odle­głość s = 1 km?

Odp. W = 2,165 MJ

Zadanie 8.7

W przedstawionych na ry­sunku 8.2. trzech przypadkach przesu­wania klocka po podłożu bez tarcia za każdym razem działano siłą o jednako­wej wartości F, przesuwając klocek na taką sama odległość s. W którym wypad­ku wykonano najmniejszą pracę?

a) w każdym przypadku wykonano taką samą pracę

b) w pierwszym przypadku wykona­no najmniejszą pracę

c) w drugim przypadku wykonano najmniejszą pracę

d) w trzecim przypadku wykonano najmniejszą pracę

Zadanie 8.8

Po rozpędzeniu samochodu do szybkości v = 72 km/h kierowca wy­łączył silnik, jadąc dalej po poziomej drodze, na której efektywny współczyn­nik tarcia wynosił f = 0,1. Jak daleko zajedzie samochód od chwili wyłącze­nia silnika?

Odp. s = 204 m

Zadanie 8.9

W kopalni odkrywkowej wa­gonik jest wciągany ruchem jednostaj­nym na odległość l = 25 m po nachylo­nym stoku góry o wysokości h = 5 m. Całkowita masa wagonika z rudą wynosi m = 250 kg, a współczynnik tarcia jego kół o szyny wynosi f = 0,05. Jaką pracę musi wykonać wyciągarka, aby wagonik dotarł do szczytu górki?

Odp. W = 15266 J

Zadanie 8.10

Jaką pracę należy wykonać, aby wyciągnąć z wody, tuż nad jej po­wierzchnie, płaski kamień o objętości

V = 0,4 m³, leżący na głębokości a = 1 m? Gęstość kamienia ρ = 2,5•10 kg/m³, gę­stość wody

ρ _w =1000 kg/m³ .

Odp. W = 5880 J

Zadanie 8.11

Na rysunku 8.3. przedsta­wiono wykres zależności wartości siły F_N, powodującej przesuwanie klocka po poziomej powierzchni, od drogi s. Kie­runek przyłożonej siły pokrywa się z kie­runkiem przesunięcia. Na klocek działa hamująca siła tarcia F_T, która także jest przedstawiona na wykresie. Oblicz, ile procent wykonanej pracy zostało prze­kształcone na nadanie klockowi energii kinetycznej.

Odp. k = 40 %

Zadanie 8.12

Z wysokości h = 10 m upusz­czono na ziemię (tzn. prędkość początko­wa była równa zeru) pewien przedmiot o masie m = 2 kg. W momencie uderzenia o ziemię jego prędkość miała wartość v = 10 m/s. Jaka praca została wykonana na pokonanie sił oporu powietrza?

a) 0 J b) około 100 J

c) około 150 J d) około 200 J

Zadanie 8.13

Kamień rzucony pionowo do góry z prędkością początkową o war­tości v₁ = 10 y upadł na ziemię z prędkością o wartości v₂ = 2 m/s. Jaką pracę wykonały siły oporu powietrza? Masa kamienia m = 100 g.

Odp. W = 4,8 J

Zadanie 8.14

Z jakiej wysokości h po­winna spaść do wody kulka o gęstości p_k = 0,5 • 10³ kg/m³, aby zanurzyła się na głębokość H = 10 cm? Należy przyjąć, że nie występują opory powietrza i wody, a jedyny efekt hamujący ruch kulki w wodzie pochodzi od siły wyporu. Gęstość wody ρ _w = 1 • 10³ kg/m³

Odp. h = 10 cm

Zadanie 8.15

Na rysunku 8.4a. przedsta­wiono wykres zależności szybkości sa­mochodu od czasu. Który z wykresów zależności energii kinetycznej od czasu, przedstawionych na rysunku 8.4b., obra­zuje energię kinetyczną tego samochodu?

a) l b) II

c) III d) IV

Zadanie 8.16

Na ciężarek o masie m = 2,5 kg, będący w spoczynku, działa siła o wartości F = 1 N w czasie t = 2 s. Oblicz energię kinetyczną ciężarka po czasie t.

Odp. E_k = 0,8 J

Zadanie 8.17

Niewielki krążek o masie m zsuwa się bez tarcia po gładkiej powierzchni o kształcie wycinka koła, jak przedsta­wiono na rysunku 8.5. Na szczycie pro­filu krążek miał prędkość początkową o wartości V₀. Jaką prędkość V będzie miał krążek w połowie wysokości?

Zadanie 8.18

Z wysokiej wieży rzucono poziomo kamień o masie m = 250 g. Po czasie t = 2 s wektor prędkości kamie­nia tworzył z poziomem kąt α = 30°. Jaką energię kinetyczną miał kamień w tym momencie?

Odp. E_k = 192 J

Zadanie 8.19

Kulę o masie m = 1 kg rzu­cono z wysokości h = 100 m pionowo w dół z prędkością początkową o war­tości v₀ = 20 m/s. Kula wryła się w zie­mię na głębokość l =10 cm. Jaka była wartość F średniej siły tarcia kuli o grunt w czasie jej zagłębiania się?

Odp. Fśr = 11800 N

Zadanie 8.20

Pocisk o masie m = 25 g został wystrzelony pod kątem α do po­ziomu z prędkością początkową o war­tości v₀ =500 m/s. W najwyższym punk­cie lotu pocisk miał energię kinetyczną E_k = 80 J. Pod jakim kątem do poziomu wystrzelono pocisk?

Odp. cosα = 0,16

Zadanie 8.21

Kula lecąca z szybkością u wpada do skrzyni z piaskiem, zagłębia­jąc się na l₁ = 25 cm. Na jaką głębokość l₂ wryje się w piasek taka sama kula, je­żeli jej szybkość będzie dwa razy więk­sza? Siły oporów ruchu kuli w piasku w obydwu przypadkach są jednakowe.

Odp. l₂ = 4l₁

Zadanie 8.22

Stalowa kulka spada z wy­sokości h₁ = 2 m na stalową płytę i odbi­ja się od niej z szybkością v₂ = 0,8 m/s, gdzie V₁ jest szybkością, z jaką kulka dolatuje do płyty. Na jaką wysokość od­bije się kulka?

Odp. h₂ = 0,64 h₁

Zadanie 8.23

Kamień rzucony pionowo do góry opadł z powrotem na ziemię po czasie t = 8 s. jaką energię kinetyczną przekazano kamieniowi w czasie wyrzu­cania, jeżeli jego masa m = 0,4 kg?

Odp. E_k = 308 J

Zadanie 8.24

Kulkę rzucono pionowo do góry z szybkością początkową V₀ = 9 m/s. Na jakiej wysokości h energia kinetyczna kulki będzie równa jej energii potencjalnej? Opory powietrza można zaniedbać.

Odp. h = 2,06 m

Zadanie 8.25

Pocisk wystrzelony piono­wo do góry wzniósł się na wysokość H. Na jakiej pośredniej wysokości h jego energia potencjalna była n = 2 razy więk­sza od jego energii kinetycznej na tej wysokości?

Zadanie 8.26

Młotkiem o masie m = 500 g uderzono w łepek gwoździa z szybko­ścią V₀ = 4 m/s. Wskutek tego gwóźdź zagłębił się w deskę na a = 2,5 cm. Jaka była średnia siła oporów w ruchu gwoź­dzia w desce?

Odp. F_śr = 160 N

Zadanie 8.27

Samochód jadący z szyb­kością V₀ = 10 m/s gwałtownie zahamo­wał tak, że poruszał się dalej z zablokowanymi kołami, jaki był średni współ­czynnik tarcia, jeżeli samochód zatrzy­mał się po przebyciu drogi s = 12 m?

Odp. f = 0,425

Zadanie 8.28

Kulka metalowa upuszczo­na z wysokości H uderza w poziomo rozłożoną gazetę i przebija ją, tracąc przy tym n = 0,5 swojej szybkości. Z ja­kiej co najmniej wysokości h należy upu­ścić tę kulę, aby mogła przebić gazetę?

Zadanie 8.29

Samochód o masie m = 1,5 t ruszył z miejsca ruchem jednostaj­nie przyspieszonym i w czasie t = 2,5 s przejechał drogę s = 25 m. Oblicz śred­nią moc silnika tego samochodu, zakła­dając, że nie występowały żadne opory jego ruchu.

Odp. P = 120 kW

Zadanie 8.30

Silnik elektrowozu jadące­go z szybkością V = 25 m/s, rozwija moc P = 750 kW. Jaka jest siła ciągu elektrowozu, jeżeli k = 0,2 mocy silnika ulega zamianie na ciepło?

Odp. F = 24 kN

SPRĘŻYSTOŚĆ CIAŁ

Zadanie 9.1

Jaki jest współczynnik sprę­żystości sprężyny, która pod cięża­rem o masie m = 3 kg rozciągnęła się o

Δl = 5 cm?

Odp. K = 598 n/M

Zadanie 9.2

Dwie jednakowe sprężyny o współczynniku sprężystości k połą­czono tak, że otrzymano jedną sprężynę dwa razy dłuższą. Jaki będzie współczyn­nik sprężystości tej długiej sprężyny?

a) 0,5 • k b) k

c) 2 • k d) k²

Zadanie 9.3

Długą sprężynę o współ­czynniku sprężystości k powieszono pod sufitem i rozciągnięto siłą F o pewną długość Δx. Sprężynę tę podzielono na­stępnie na trzy równe części i powieszo­no je obok siebie, w równych odległo­ściach, pod sufitem. Za pomocą listewki o masie do pominięcia rozciągnięto jed­nocześnie te trzy sprężyny siłą F taką jak poprzednio. O ile teraz wydłuży się każda ze sprężyn?

a) o ¹/₉ Δx b) o ¹/₃ Δx

c) o Δx d) o

Zadanie 9.4

Na gładkim stole (leżą dwa ciężarki o masach m₁ i m₂ połączone sprę­żyną o współczynniku sprężystości k. Jaka siła F działająca poziomo, przyłożona do pierwszego ciężarka spowoduje wy­dłużenie sprężyny o Δl? Załóż, że cię­żarki mogą poruszać się bez tarcia.

Zadanie 9.5

Dwie sprężyny o jednako­wych długościach rozciągane są jedna­kową siłą F. Jedna z nich, o współczynni­ku sprężystości k₁ =500 N/m, zwiększyła swoją długość o Δl₁ = 2 cm. Jaki jest współczynnik sprężystości drugiej sprę­żyny, jeżeli rozciągnęła się o l₂ = 5 cm?

a) 100 N/m b) 200 N/m

c) 400 N/m d) 500 N/m

Zadanie 9.6

Dwie sprężyny o jednako­wych długościach i współczynnikach sprężystości k₁ =400 N/m i k₂=600 N/m powieszono tak, że swobodnie zwisały w odległości l = 0,8 m od siebie. Do dol­nych końców sprężyn przyczepiono po­ziomą, metalową listewkę, o pomijalnej masie. W jakiej odległości x od jednego z końców listewki należałoby powiesić ciężarek, aby listewka pozostała pozioma?

Odp. x = 0,48 m

Zadanie 9.7

Przez nieruchomy bloczek przerzucono nić i do jednego jej końca doczepiono ciężarek o masie m₁ = 60 g, a do drugiego końca przymocowano sprężynę o długości l = 15 cm i do niej ciężarek o masie m₂ = 100 g. Jaka bę­dzie długość sprężyny, gdy ciężarki m₁ i m₂ będą się poruszać? Uwaga: spręży­na ta pod działaniem siły o wartości F = 0,2 N wydłuża się o Δl = 3 cm.

Odp. l + x = 26,2 cm

Zadanie 9.8

Na rysunku 9.1. przedstawio­no układ sprężyna-ciężarek będący w równowadze, który znajduje się na wózku. W pewnej chwili wózek zaczął się poruszać z przyspieszeniem o war­tości a, co spowodowało odchylenie cię­żarka o kąt α w stronę przeciwną do ru­chu wózka. Jak zachowa się sprężyna?

a) jej długość się nie zmieni

b) ściśnie się

c) rozciągnie się

d) zacznie okresowo ściskać się i rozciągać

Zadanie 9.9

Do jednego końca nici prze­rzuconej przez nieruchomy bloczek przyczepiony jest ciężarek o masie

m₁ = 75 g, a do drugiego - sprężynka z przy­mocowanym do jej dolnego końca dru­gim ciężarkiem o masie m₂ = 150 g. W czasie ruchu ciężarków długość sprę­żyny wynosi l₁ = 15 cm. Jaka jest dłu­gość sprężyny nierozciągniętej? Pod działaniem siły F₀ = 10 N sprężyna ta wydłuża się o Δl = 20 cm.

Odp. l = 13 cm

Zadanie 9.10

Na rysunku 9.2. przedsta­wiono zależność wydłużenia sprężyny Δx od wartości F przyłożonej siły. Na podstawie tego wykresu oblicz pracę, jaką trzeba wykonać, aby rozciągnął sprężynę o Δx = 5 cm.

Odp. W = 0,25 J

Zadanie 9.11

Sprężyna łączy sobą dwa ciężarki o masach m i M. Jeżeli powiesi się układ, przyczepiając ciężarek m do sufitu, to długość sprężyny wynosi l₁ (rysunek 9.3a). Jeżeli postawi się układ na stole tak, żeby ciężarek M był na dole, to długość sprężyny wynosi /₂ < l₁ (rysunek 9.3b.). Jaka jest długość sprę­żyny /₀ w stanie nienaprężonym?

Zadanie 9.12

Niewielki ciężarek o masie m podnoszony jest na gumowej lince pio­nowo do góry z przyspieszeniem a₁ następnie zaś opuszczany z takim samym przyspieszeniem. Współczynnik spręży­stości linki wynosi k. Oblicz różnicę dłu­gości linki l₁ - l₂, gdzie l₁ - długość linki podczas podnoszenia ciężarka, a l₂ -długość linki podczas opuszczania.

Zadanie 9.13

Dwie płytki o masach m₁ i m₂ znajdują się jedna nad drugą połą­czone sprężyną o współczynniku sprężystości k, jak pokazano na rysunku 9.4. Jaką siłą F należałoby nacisnąć na gór­ną płytkę, dodatkowo ściskając spręży­nę, aby po odjęciu siły układ płytek ode­rwał się od podłoża (podskoczył)? Czy zawsze jest to możliwe?

Zadanie 9.14

Sprężyna o współczynniku sprężystości k = 800 N/m była wstępnie rozciągnięta o Δx₁= 4 cm. Jaką pracę trzeba wykonać, aby jej rozciągnięcie osiągnęło Δx₂ = 14 cm?

Odp. 8 J

Zadanie 9.15

Na stole leży ciężarek o masie m = 10 kg, do którego przycze­piona jest sprężyna o współczynniku sprężystości k = 500 N/m. Wolny koniec sprężyny zaczęto ciągnąć pewną siłą równoległą do powierzchni stołu w taki sposób, że ciężarek zaczął przesuwać się ruchem jednostajnym. Jaką pracę wyko­nano, przesuwając ciężarek na odległość s = 2,5 m, jeżeli współczynnik tarcia cię­żarka o stół f = 0,2?

Odp. 50,4 J

Zadanie 9.16

Niewielka płytka o masie m leżąca na stole ma przymocowaną w środ­ku sprężynkę o współczynniku sprężysto­ści k. Jaką pracę trzeba wykonać, aby ru­chem jednostajnym podnieść płytkę na wysokość h nad powierzchnię stołu, ciągnąc za wolny koniec sprężynki?

Zadanie 9.17

Jaką co najmniej średnicę d musi mieć drut aluminiowy, aby utrzymał - zawieszony na nim ciężar

Q = 10 kN? Wytrzymałość na zerwanie drutu alumi­niowego W = 11• 10⁷ N/m².

Odp. d = 11 mm

Zadanie 9.18

Jaką długość może mieć zwisający drut miedziany umocowany jednym końcem, aby nie zerwał się pod własnym ciężarem? Wytrzymałość na zerwanie drutu miedzianego W = 24,5 • 10⁷ N/m², a jego gęstość

ρ = 9000 kg/m³.

Odp. l = 2775 m

Zadanie 9.19

W celu zmierzenia głębo­kości morza spuszczono na stalowym dru­cie niewielki ciężarek. Jaka jest największa głębokość morza, którą można zmie­rzyć tą metodą? Wytrzymałość na zerwa­nie drutu stalowego W = 78,5•10⁷ N/m², gęstość stali ρ₁ =7500 kg/m³, gęstość wody morskiej ρ ₂ = 1000 kg/m^3. Należy przyjąć, że gęstość wody morskiej nie zmienia się z głębokością, a masa cię­żarka jest do pominięcia.

Odp. l = 12300 m

Zadanie 9.20

Do sufitu umocowany jest stalowy pręt o długości l = 1,5 m i prze­kroju poprzecznym S = 0,01 cm². Do jego dolnego końca przyczepiono ciężar o masie m = 250 kg. O ile wydłuży się pręt, jeżeli moduł Younga stali wynosi E =196 •10⁹ Pa? Zaniedbaj masę pręta.

Odp. Δl = 12,5 mm

Zadanie 9.21

Podczas rozciągania ekspandera (sprężyny do treningu sportowe­go) maksymalna przyłożona siła ma wartość F = 200 N; efektywny współ­czynnik sprężystości sprężyny ekspandera wynosi k = 2000 N/m. Oblicz pracę wy­konaną przez sportowca podczas n = 50 krotnego rozciągania ekspandera.

Odp. W = 500 J

Zadanie 9.22

Na drucie stalowym o dłu­gości l = 2 m i polu przekroju poprzecz­nego S = 2,5 mm² powieszono ciężar o masie m = 150 kg. Jaka praca została wykonana podczas rozciągania drutu przez ten ciężar? Moduł Younga stali, z której wykonany jest drut, wynosi E = 210•10⁹ N/m².

Odp. W = 41 mJ

Zadanie 9.23

Metalowy walec o masie m = 200 kg powieszono na czterech równooddalonych drutach mających ta­kie same długości i pola przekroju po­przecznego (rysunek 9.5.). Jaką siłą bę­dzie rozciągany każdy z drutów, jeżeli skrajne wykonane są ze stali, a środko­we z miedzi? Moduł Younga stali jest n = 1 razy większy niż moduł Younga miedzi.

Odp. F_cu = 327 N; F_s = 654 N

Zadanie 9.24

Profilowany pręt o dwu róż­nych średnicach umocowany jest w ścia­nie (rysunek 9.6.). Odcinek grubszego pręta o polu przekroju poprzecznego S₁ = 4 cm² ma długość l₁ = 2 m, nato­miast odcinek cieńszego - o polu prze­kroju poprzecznego S₂ = 2 cm² ma dłu­gość l₂ = 1 m. Na pręt działa pozioma siła ściskająca o wartości F = 600 kN.

Jakie będzie całkowite skrócenie pręta, jeżeli wykonany jest z materiału, które­go moduł Younga wynosi

E = 10⁵ MPa?

Odp. Δl = 1 cm

Zadanie 9.25

Na rysunku 9.7. pokazano cztery wykresy. Który z wykresów i lustru­je zależność energii sprężystości E_s od wydłużenia sprężyny x?

a) l b) II

c) III d) IV

Zadanie 9.26

O ile wydłuży się pręt ni­klowy o długości l = 2 m i polu prze­kroju poprzecznego S = 2 cm², jeżeli przy jego rozciąganiu wykonano prace W= 0,25 J? Moduł Younga niklu wynosi E = 2•10" Pa.

Odp. Δl = 0,16 mm

Zadanie 9.27

Kula o masie m uderza w sprężynę z szybkością V i ściska ją o Δx. O ile skróci się sprężyna, jeżeli ude­rzy w nią ta sama kula z szybkością 2v?

a) o Δx b) o 2 Δx

c) o 4 Δx d) o 0,5 Δx

Zadanie 9.28

Jeżeli na nici o długości l zostanie zawieszony ciężarek o masie M, to nastąpi jej wydłużenie o Δx = 1 % dłu­gości, a jednocześnie zostanie przekro­czona granica wytrzymałości nici i nastąpi jej zerwanie. Do takiej nici przyczepio­no ciężarek o masie m < M. Na jaką co najmniej wysokość h należy unieść zwi­sający ciężarek m, aby po swobodnym jego puszczeniu zerwał nić?

Zadanie 9.29

Do rozciągnięcia sprężyny o Δx₁= 4 cm trzeba użyć pewnej siły, gromadząc w ten sposób energię potencjalną sprężystości. Ile razy wzrośnie ta energia, jeżeli sprężyna zostanie rozcią­gnięta do Δx₂ = 8 cm?

Odp. n = 4

Zadanie 9.30

Na stalowym pręcie, umo­cowanym jednym końcem w suficie, wisi kula o masie m, powodując wydłużenie pręta o Δx. Ile razy energia potencjalna ciężkości kuli zmaleje w stosunku do zwiększenia się energii potencjalnej sprężystości pręta? Ciężar pręta można zaniedbać.

a) 0,5 raza b) 1 raz

c) 2 razy d) 4 razy

Zadanie 9.31

Do sprężyny o współczyn­niku sprężystości k₁, umocowanej jed­nym końcem do sufitu, przyczepiono dru­gą sprężynę o współczynniku sprężysto­ści k₂ Do dolnej sprężyny doczepiono ciężarek o masie m. Jaki jest stosunek energii potencjalnych sprężystości tych sprężyn n = E_p1 : E_p2, jeżeli zaniedbamy cię­żary sprężyn?

Zadanie 9.32

Na stacji rozrządowej wa­gon towarowy o masie m = 50 t jechał po poziomym torze z szybkością v = 2 m/s do momentu sczepienia się automatycz­nie ze składem towarowym (pociągiem). O ile zostanie ściśnięta każda z czterech sprężyn amortyzatorów wagonu w trak­cie sczepiania, jeżeli współczynnik sprężystości każdej z nich wynosi k = 2,25•10⁵ N/m? Przyjmij, że masa wagonu jest dużo mniejsza od masy składu.

Odp. 1,5 cm

Zadanie 9.33

Gimnastyk o masie m = 70 kg skoczył na batut z wysokości h = 5 m. O ile ugnie się batut, jeżeli pod stojącym na nim sportowcem ugina się o x₀ = 20 cm?

Odp. x = 1,63 m

Zadanie 9.34

Metalową kulę o masie m = 0,75 kg upuszczono z wysokości h = 10 m na pionowo stojącą sprężynę o długości l = 20 cm. Spadająca kula ugięła sprężynę o połowę. Oblicz współ­czynnik sprężystości sprężyny.

Zadanie 9.35

W pistoleciku-zabawce można ścisnąć sprężynę i po włożeniu plastikowej kulki wystrzelić z niego. Ja­kie przyspieszenie a uzyskuje plastiko­wy pocisk, jeżeli po ściśnięciu sprężyny o Δl= 10 cm i skierowaniu lufy piono­wo do góry pocisk wyskakuje na wyso­kość H = 0,5 m? Należy przyjąć, że pla­stikowa kulka odrywa się od sprężyny w momencie, kiedy jest ona całkowicie rozprężona. Opory ruchu kulki należy zaniedbać.

Odp. g = 19 g

Zadanie 9.36

Duży ciężar o masie m = 400 kg opuszczany jest powoli ze stałą prędkością o wartości v = 2 m/s na lin­ce, której współczynnik sprężystości wynosi k = 4•10⁵ N/m. Jaką maksymal­ną siłą zostanie napięta linka, jeżeli opuszczanie zostanie gwałtownie za­trzymane?

Odp. k = 14800 N/m

PĘD, ZDERZENIA, ZASADY DYNAMIKI

Zadanie 10.1

Pocisk wystrzelony z kara­binu miał szybkość v₁ = 700 m/s. Przy wystrzale karabin został odrzucony z szybkością v₂ =2 m/s. Jaki jest stosunek masy karabinu do masy pocisku?

Odp. M/m = 350

Zadanie 10.2

Kula o masie m = 10 kg, lecąca poziomo z szybkością v = 50 m/s, wpada do platformy z piaskiem, o masie M = 5 t, stojącej na torze, i grzęźnie w tym piasku. Z jaką szybkością zacznie poruszać się platforma?

Odp. v_x = 0,1 m/s

Zadanie 10.3

Działko o masie M = 400 kg, stojące na lodzie, wystrzeliwuje pocisk o masie m = 5 kg pod kątem α = 60° do poziomu z szybkością V₁ = 400 m/s. Jaka będzie szybkość działka w chwilę po wystrzale?

Odp. v₂ = 2,5 m/s

Zadanie 10.4

Kulka o masie m = 250 g spada z wysokości h = 4 m z przyspie­szeniem o wartości a = 8 m/s². Jaki pęd będzie miała kulka tuż przed upadkiem na ziemię?

Odp. p = 2 kg *m/s

Zadanie 10.5

W którym wypadku zasięg strzału z działka będzie największy?

a) działko stoi na powierzchni bez tarcia

b) działko stoi, oparte tak, że nie może się cofnąć

c) działko porusza się z pewną pręd­kością do przodu

d) działko porusza się z pewną pręd­kością do tyłu

Zadanie 10.6

Piłkarz kopnął piłkę o ma­sie m = 750 g, nadając jej szybkość v = 20 m/s. Jaką średnią siłą działał na piłkę, jeżeli czas zetknięcia nogi z piłką wynosił t = 0,04 s?

Zadanie 10.7

Jaką prędkość może uzy­skać piłka kopnięta przez zawodnika, jeśli założyć, że siła, jaką może on dzia­łać na piłkę, zmienia się liniowo w cza­sie, jak pokazano na rysunku 10.1., a pił­ka ma masę m = 500 g?

Odp. F = 375 N

Zadanie 10.8

Spadająca pionowo w dół metalowa kulka o masie m = 250 g ude­rza w metalową podłogę z prędkością o wartości v = 10 m/s odbija się i pod­skakuje na wysokość h = 46 cm. Oblicz zmianę pędu Δp kulki.

Odp. Δp = 13,5 kg * m/s

Zadanie 10.9

Kula o masie m lecąca z szybkością v uderza w ścianę pod kątem α do pionu i odbija się od niej pod takim samym kątem bez straty szyb­kości. O ile zmienia się pęd Δp kulki po odbiciu?

Zadanie 10.10

Łyżwiarz o masie M = 80 kg, stojący na zamarzniętym jeziorze, rzuca kamień o masie m = 400 g pozio­mo w kierunku brzegu. Kamień dolatuje do brzegu odległego o s = 15 m po cza­sie t = l ,5 s. Zakładając, że kamień po­ruszał się ruchem jednostajnym, oblicz prędkość łyżwiarza po rzucie.

Odp. v = 0,05 m/s

Zadanie 10.11

Dwaj chłopcy o masach m₁ = 50 kg i m₂ = 39 kg stoją na łyżworolkach naprzeciwko siebie. Jeden z nich, o większej masie, rzuca w kierunku dru­giego ciężarek o masie m = 1 kg z szyb­kością v = 10 m/s. Jaka będzie prędkość każdego z chłopców w momencie, kiedy drugi z nich złapie ciężarek?

Odp. v₁ = 0,2 m/s; v₂ = 0,25 m/s

Zadanie 10.12

Wózek o masie M = 200 kg porusza się ruchem jednostaj­nym po poziomym torze z szybkością v = 25 km/h. W pewnym momencie na wózek spada pionowo z góry kamień o masie m = 50 kg i porusza się dalej z wózkiem. Po pewnym czasie w dnie wózka otwiera się klapa, powodując wypadnięcie kamienia. Jaką szybkość będzie miał wózek po tym zdarzeniu?

a) 15 km/h b) 20 km/h

c) 25 km/h d) 30 km/h

Zadanie 10.13

Dwie łódki o jednakowych masach całkowitych, M = 500 kg każda, płyną po stojącej wodzie, zbliżając się do siebie. Kiedy łódki się mijały, z jednej przełożono kamień o masie m = 20 kg do drugiej łódki, która w wyniku tego zatrzymała się, jakie były prędkości łó­dek przed przełożeniem kamienia, jeżeli po tym zdarzeniu pierwsza łódka poru­szała się z szybkością v= 4 m/s?

Zadanie 10.14

Na poziomym torze ko­lejowym stoi odkryta platforma, na któ­rej ustawiono dwa działa, jak pokazano na rysunku 10.2. Gdy działa strzelają jednocześnie, ich pociski trafiają w cele. Jeżeli lewe działo strzeli pierwsze, a po pewnym czasie wystrzeli drugie działo to:

a) obydwa działa trafią w cel,

b) tylko lewe działo trafi w cel,

c) tylko prawe działo trafi w cel,

d) żadne z dział nie trafi w cel.

Zadanie 10.15

Trzy łódki o jednakowych masach M poruszają się po stojącej wo­dzie z jednakowymi szybkościami v, płynąc w niewielkiej odległości jedna za drugą. W pewnym momencie ze środko­wej łódki przerzucono na dwie pozosta­łe jednakowe ciężarki, każdy o masie m_, z szybkością u względem łódek. Jakie będą szybkości łódek po przerzuceniu ciężarków?

Zadanie 10.16

Na jeziorze na łódce o długości l = 4 m j masie M = 125 kg stoi wędkarz o masie m = 75 kg. W pew­nym momencie wędkarz przechodzi z jednego końca łódki na drugi. O ile przesunie się łódka względem wody?

Odp. x = 1,5 m

Zadanie 10.17

Między dwoma lekkimi wózkami o masach m₁ i m₂ = 4 m₁ znaj­duje się ściśnięta sprężyna, a wózki zwią­zane są nitką (rysunek 10.3,). W jakim stosunku będą do siebie czasy t₁ i t₂ po­ruszania się wózków po przecięciu nici, jeżeli ruch wózków będzie hamowany siłami tarcia?

Zadanie 10.18

W drewniany klocek o masie M = 490 g, leżący na poziomej powierzchni, uderza kulka ołowiana o masie

m = 10 g, lecąca z szybkością v = 400 m/s, i grzęźnie w tym klocku. Jaką drogę przebędzie klocek do chwili zatrzymania, jeżeli porusza się po po­wierzchni o współczynniku tarcia f = 0,04?

Odp. s = 81,5 m

Zadanie 10.19

Siła o wartości F = 1 N działa na kulę o masie m = 5 kg w cza­sie t = 4 s. Jaką energię kinetyczną bę­dzie miała kula po ustaniu działania siły, jeżeli jej początkowa energia kinetycz­na była równa zeru?

Odp. E_k = 1,6 J

Zadanie 10.20

W skrzyni przy ścianie A leży kula, jak pokazano na rysunku 10.4. W pewnym momencie, pod wpływem krótkotrwałego działania siły na ścian­kę B, skrzynia zaczęła poruszać się bez tarcia z szybkością v Odległość między ściankami skrzyni wynosi l, a rozmiar kuli jest do pominięcia. Masy kuli i skrzy­ni są jednakowe. Kula porusza się w skrzyni także bez tarcia. Po jakim cza­sie kula ponownie doleci do ściany A po zderzeniu ze ścianą B, jeżeli zderzenie jest sprężyste?

Zadanie 10.21

Klin o masie M znajduje się na gładkiej, płaskiej powierzchni. Na szczycie klina o wysokości h (rysunek 10.5.) umieszczono niewielki klocek o masie m, który może zsuwać się po kli­nie bez tarcia. Połączenie klina z płaską powierzchnią jest wyprofilowane, aby klocek mógł się na nią łagodnie zsunąć. Z jaką szybkością v będzie poruszał się klin w chwili, gdy klocek znajdzie się już na płaskim odcinku?

Zadanie 10.22

Kamień o masie m = 500 g został rzucony ukośnie pod pewnym kątem α do poziomu. Od chwili wyrzu­cenia do momentu upadku wartość jego wektora pędu zmieniła się o Δp = 5 kg•m/s .Jaką maksymalną wysokość osiągnął kamień w czasie swojego lotu?

Odp. h_max = 2,55 m

Zadanie 10.23

Dwaj rowerzyści, o jed­nakowych masach m = 80 kg wraz z rowerem, jechali z szybkościami v₁ = 10 m/s i v₂ = 12 m/s. Jaki pęd miał drugi rowerzysta w układzie odniesienia zwią­zanym z pierwszym rowerzystą?

Odp. p = 160 kg *m/s

Zadanie 10.24

Kula rzucona ukośnie roz­leciała się na dwa kawałki w chwili, gdy znajdowała się w najwyższym punkcie lotu. jeden z kawałków spadł dokładnie pod miejscem rozpadnięcia się kuli. Narysuj początkowy kierunek lotu dru­giego kawałka.

Zadanie 10.25

Pocisk lecący poziomo rozrywa się na dwa kawałki o jedna­kowych masach, których prędkości mają wartości odpowiednio v₁ = 300 m/s i v₂ = 400 m/s, a ich kierunki tworzą mię­dzy sobą kąt α = 90°. Z jaką prędkością leciał pocisk przed rozerwaniem się?

Odp. 500 m/s

Zadanie 10.26

Granat rzucono pod pew­nym kątem do poziomu. W najwyższym punkcie lotu granat rozerwał się na dwa kawałki o jednakowych masach, z któ­rych jeden wrócił po dotychczasowej tra­jektorii lotu do miejsca wyrzucenia. Jaki jest zasięg rzutu drugiego kawałka, jeżeli zasięg rzutu całego granatu wynosiłby S? Opory powietrza można zaniedbać.

a) 0,5 • S b) 1 • S

c) 2 • S d) 2,5 • S

Zadanie 10.27

Na nieruchomym wózku stoi człowiek, który w pewnej chwili rzu­ca poziomo kamień o masie m = 5 kg z szybkością v₁ = 5 m/s. Jaką pracę wyko­nał ten człowiek podczas wyrzucania kamienia, jeżeli jego masa wraz z wóz­kiem wynosi M = 125 kg?

Odp. W = 65 J

Zadanie 10.28

Poruszająca się bez tarcia kula uderza centralnie i całkowicie nie-sprężyście w drugą, nieruchomą kulę. Jaki powinien być stosunek mas kuł m₁ i m_2, aby szybkość pierwszej kuli zma­lała n = 1,5 raza?

Zadanie 10.29

Cztery bilardowe kule leżą w jednakowych odległościach od siebie. Piąta kula bilardowa uderza centralnie wzdłuż prostej, na której leżą cztery pozostałe, w skrajną kulę z szyb­kością v =10 m/s. Jaką szybkość będzie miała ostatnia kula po serii zderzeń kolejnych kul?

a) 0 m/s b) 2,5 m/s

c) 7,5 m/s d) 10 m/s

Zadanie 10.30

Dwie kule o masach m₁ = 2 kg i m₂ = 4 kg toczą się naprzeciw sie­bie z szybkościami v₁ = 2 m/s i

v₂ = 4 m/s, a następnie zderzają centralnie i całko­wicie niesprężyście. Oblicz różnicę cał­kowitej energii kinetycznej kuł przed zderzeniem i po nim.

Odp. ΔE = 24 J

Zadanie 10.31

Piłeczka lecąca z prędko­ścią o wartości v₁ = 15 m/s po uderzeniu rakietą tenisową porusza się po tej sa­mej prostej z prędkością o wartości v₂ = 25 m/s, ale zwrot jej prędkości jest przeciwny. Jaka jest różnica wartości pędu piłeczki Δp, jeżeli energia kinetycz­na zmieniła się o ΔE_k = 50 J?

Odp. Δp = 10 kg * m/s

Zadanie 10.32

Kula o masie m = 5 kg po­ruszająca się z szybkością v₁ = 8 ? ude­rza centralnie i całkowicie niesprężyście w drugą identyczną nieruchomą kulę. Ile energii kinetycznej zamieni się w ciepło?

Odp. ΔE_k = 80 J

Zadanie 10.33

W nieruchomą kulę bilar­dową uderza druga identyczna kula, zde­rzając się niecentralnie, tzn. kierunek prędkości ruchu drugiej kuli nie leży na prostej łączącej środki kuł. Pod jakim kątem odskoczą od siebie kule, jeżeli zderzenie było doskonale sprężyste?

a) 60° b) 90°

c) 180° d) 270°

Zadanie 10.34

Przez nieruchomy wysoko powieszony bloczek przerzucono linę. Tuż nad bloczkiem umieszczono wiązkę bananów. Do bananów tych zaczynają wspinać się, startując jednocześnie, dwie małpy o jednakowych masach, każda po innej połowie zwisającej liny. Jedna z małp wspina się dwa razy szybciej względem liny niż druga. Która z nich prędzej sięgnie do bananów?

Zadanie 10.35

Cztery kule bilardowe powieszono na niciach jednakowej dłu­gości tak, że kule stykają się (rysunek 10.6.). Trzy ku leź lewej strony odciągnię­to w bok o pewien kąt od pionu i pusz­czono. Ile kuł odskoczy w prawą stronę po zderzeniu z nieruchomą kulą?

a) l kula b) 2 kule

c) 3 kule d) 4 kule

Zadanie 10.36

W czasie wbijania pali bijak o masie m₁ = 300 kg, spadając swo­bodnie z wysokości h = 4 m uderza w pal o masie m₂ = 200 kg i wbija go na głę­bokość x = 4 cm. Jakie są średnie opory ruchu występujące podczas zagłębiania się pala, jeżeli można przyjąć, że zde­rzenie bijaka z palem jest całkowicie niesprężyste?

Odp. F_śr = 300 kN

Zadanie 10.37

Po upuszczeniu niewiel­ka metalowa kulka zaczyna swobodnie spadać. W odległości h, mierzonej od miejsca puszczenia kulki, zderza się ona z dużą stalową płytą, która porusza się pionowo do góry ruchem jednostajnym z szybkością u. Na jaką wysokość od miej­sca zderzenia odbije się kulka, jeżeli od­biła się całkowicie sprężyście, a zmianę prędkości płyty można zaniedbać?

Zadanie 10.38

Wagon towarowy o masie m₁ = 4 t, poruszający się z szybkością v₁ = 2 m/s, dogania drugi wagon towa­rowy o masie m₂ = 6 t, jadący z szybko­ścią v₂ = 1 m/s, i automatycznie się z nim sczepia. Dwa te wagony, jadąc razem, zderzają się z trzecim wagonem towa­rowym jadącym im na spotkanie z szybkością v₃ = -1,5 m/s i po automa­tycznym sczepieniu wszystkie trzy po­ruszają się zgodnie z ruchem trzecie­go wagonu z szybkością v = -0,2 m/s. Jaką masę m₃ miał trzeci wagon, jeżeli wszystkie zderzenia były całkowicie niesprężyste, a opory ruchu wagonów można pominąć?

Odp. m₃ = 12,3 t

Zadanie 10.39

Stalowa kulka o masie m = 200 g spada z pewnej wysokości i odbija się sprężyście od stalowej płyty, nachylonej pod kątem 30° do poziomu, bez straty szybkości (rysunek 10.7.). W czasie odbicia popęd wynosi F Δt = 4 N • s. Na jaką wysokość wzniesie się kulka po odbiciu, licząc od miejsca od­bicia się kulki?

Odp. h = 5m

Zadanie 10.40

Dwie kule poruszają się po prostej tak, że ich zwroty prędkości są przeciwne. Prędkość pierwszej kuli ma wartość v₁ = 3 m/s, a drugiej v₂ = - 6 m/s. Po zderzeniu niesprężystym ich pręd­kość miała wartość u = 1,5 m/s, a zwrot prędkości był zgodny ze zwrotem pręd­kości v_1. Ile razy energia kinetyczna E_k1 pierwszej kuli przed zderzeniem była większa od energii kinetycznej E_K2 dru­giej kuli przed zderzeniem?

Odp. n = 1,25

Zadanie 10.41

Neutron o masie m₀ zde­rza się ze spoczywającym jądrem atomu o masie m = 12 • m₀ centralnie i spręży­ście. Ile razy zmniejszy się energia kine­tyczna neutronu po zderzeniu?

Odp. k = 1,4

Zadanie 10.42

Metalowa kulka o masie m₁ poruszająca się z szybkością v zde­rza się z drugą nieruchomą kulką sprężyście i odskakuje pod kątem α = 90° w stosunku do swojego pierwotnego kie­runku ruchu z szybkością v/₂. Jaką masę ma druga kulka?

Zadanie 10.43

Dwie kule o jednakowych średnicach, ale różnych masach leżą na stole nieruchomo i stykają się ze sobą (ry­sunek 10.8.). W ich kierunku, po prostej przechodzącej przez środki mas kuł, zbli­ża się trzecia kula o masie m₁ która zde­rza się centralnie i sprężyście z obiema kulami. Wyznacz masy nieruchomych kuł, jeżeli wiadomo, że pędy wszystkich kuł po tym zderzeniu są jednakowe.

Zadanie 10.44

Dwie kulki, jedna o ma­sie m i prędkości o wartości v, druga o masie 2 m i prędkości o wartości 2 v, poruszają się po torach prostoliniowych, prostopadłych do siebie. Na pierwszą kulkę działa przez krótki czas pewna siła o wartości F, zmieniając jej tor ruchu i prędkość, jak przedstawiono na rysun­ku 10.9. Jak zmieni się prędkość drugiej kulki, jeżeli będzie na nią działać taka sama siła w tym samym czasie?

Odp. v₂ = 2,5 v

RUCH POSTĘPOWY PO OKRĘGU

Zadanie 11.1

Samochód osobowy jedzie z szybkością v = 90 km/h. Z jaką prędko­ścią kątową obracają się jego koła, jeżeli ich średnica wynosi d = 75 cm?

Odp. ω = 33,3 1/s

Zadanie 11.2

Punkty położone na obwo­dzie koła zamachowego pewnej maszy­ny parowej poruszają się z szybkością

v₁ = 5 m/s, natomiast punkty położone o Δr = 20 cm bliżej środka koła poru­szają się z szybkością v₂ = 4,5 m/s. Jaki promień r ma koło zamachowe?

Odp. r =2m

Zadanie 11.3

W rowerze stosunek pro­mienia przekładni do promienia koła zębatego przy kole wynosi R₁ : R₂ = n , podobnie jak stosunek promienia tyl­nego koła do promienia przekładni R₃ : R₁ = n (rysunek 11.1.). Jaki jest sto­sunek prędkości kątowej tylnego koła ω₃ do prędkości kątowej przekładni ω₁?

a) ω₃ : ω₁ = 1 b) ω₃ : ω₁ = n

c) ω₃ : ω₁ = n² d) ω₃ : ω₁ = π

Zadanie 11.4

Prędkość liniowa punk­tów położonych na obwodzie koła ma wartość v₁ =4 m/s, natomiast punktów położonych o Δr = 10 cm bliżej środka osi obrotu koła v₂ =3 m/s. Z jaką często­tliwością obraca się koło?

Odp. ω = 10 1/s

Zadanie 11.5

Punkty położone o Δ x = 6 cm bliżej środka wirującego koła niż punkty leżące na jego obwodzie poru­szają się z prędkością liniową o warto­ści n = 2,5 raza mniejszej niż punkty na obwodzie koła. Jaki jest promień koła?

a) 2,5 cm b) 6 cm

c) 8,5 cm d) 10 cm

Zadanie 11.6

Jaką wartość ma prędkość liniowa końca minutowej wskazówki zegara na wieży ratuszowej, jeżeli jej długość wynosi l = 5 m?

Odp. v = 8,7 mm/s

Zadanie 11.7

Wskazówka minutowa w zegarku jest n = 3 razy dłuższa od wskazówki sekundowej. Jaki jest stosunek wartości liniowych prędkości końców wskazówek sekundowej do minutowej?

Odp. k = 20

Zadanie 11.8

Promień korby przy studni jest n = 3 razy większy od promienia drewnianego wałka, na który nawijany jest łańcuch podczas wyciągania wody. Jaka jest prędkość liniowa końca korby, jeżeli w czasie t = 15 s wiadro z wodą zostało uniesione ruchem jednostajnym z dna studni na wysokość h = 10 m?

Odp. v = 2 m/s

Zadanie 11.9

Jaka jest prędkość liniowa punktów położonych na powierzchni wału, którego promień wynosi

r =25 cm, jeżeli wał obraca się z częstotliwością f = 600 obr./min

Odp. v = 15,7 m/s

Zadanie 11.10

Na wałek o promieniu r = 10 cm nawinięto w czasie t = 5 s nitkę o długości l = 6 m. Z jaką częstotliwością obracał się wałek, jeżeli jego ruch był równomierny?

Odp. f = 1,9 Hz

Zadanie 11.11

Kulka zawieszona na nit­ce zatacza poziome kręgi, poruszając się ze stałą prędkością liniową o wartości

v = 1 m/s. W czasie t = 2 s kierunek pręd­kości kulki zmienił się o α = 30°. Jaką wartość ma przyspieszenie dośrodkowe działające na kulkę?

Odp. a = 0,26 m/s²

Zadanie 11.12

Kamień o masie m, uwią­zany na sznurku, wiruje w płaszczyźnie poziomej ze stałą szybkością v. Jak zmieni się pęd kamienia, jeżeli kamień wykona pół obrotu w swojej drodze po okręgu?

a) 0 b) mv

c) mv√2 d) 2 mv

Zadanie 11.13

Oblicz energię kinetycz­ną kuli o masie m = 500 g poruszającej się po okręgu o promieniu R = 50 cm z częstotliwością f = 5 Hz.

Odp. E = 61,7 J

Zadanie 11.14

Kula porusza się po okrę­gu o promieniu R = 0,4 m ze stałą szyb­kością taką, że jej energia kinetyczna wynosi E_K = 8 J. Jaką wartość ma siła dośrodkowa F działająca na kulę?

Odp. F = 40 N

Zadanie 11.15

Kolarz jedzie ze stałą prędkością v po równym, prostolinio­wym odcinku drogi. Jaką wartość ma chwilowa prędkość punktów A, B, i C, położonych na kole roweru (rysunek 11.2.)?

Zadanie 11.16

Koło zamachowe obraca się z częstotliwością f = 4 obr./s. Po wy­łączeniu silnika napędzającego koło obracało się do chwili zatrzymania przez czas t = 0,5 min. Ile obrotów wykonało to koło od chwili odłączenia napędu do chwili zatrzymania się? Należy przyjąć, że prędkość koła malała liniowo.

Odp. n = 60 obr.

Zadanie 11.17

Kamień uwiązany na sznurku o długości l = 1 m został wpra­wiony w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej tak, że zakreślał koło o pro­mieniu równym długości sznurka. Kiedy częstotliwość obrotów ustabilizowała się na poziomie f = 180 obr./min, kamień zerwał się ze sznurka, gdy kierunek jego prędkości liniowej tworzył kąt α = 30° z kierunkiem poziomym, jak pokazano na rysunku 11.3. Na jaką wysokość wzniesie się ten kamień w stosunku do punktu, w którym się urwał?

Odp. h = 4,53 m

Zadanie 11.19

Dwa jednakowe ciężarki powieszono na dwu bloczkach nieru­chomych, jak pokazano na rysunku 11.5. Ciężarki znajdują się w równowadze. W pewnym momencie jeden z ciężar­ków został odchylony o pewien kąt α, a następnie puszczony tak, że zaczął się wahać. Co można powiedzieć o stanie równowagi ciężarków?

a) stan równowagi ciężarków pozo­stanie bez zmian

b) nieruchomy ciężarek zacznie się opuszczać, a huśtający podnosić

c) nieruchomy ciężarek zacznie się podnosić, a huśtający opuszczać

d) ciężarki będą na przemian pod­nosić się i opuszczać

Zadanie 11.20

Dziecinne wiaderko, uwiązane na sznurku o długości l = 1 m, napełniono wodą i wprawiono w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej najmniejszej częstotliwości obrotów f woda nie wyleje się z wia­derka, jeżeli będzie ono w położeniu do góry dnem?

Odp. f = 0,5 Hz

Zadanie 11.21

Jak długo powinna trwać doba na Ziemi, aby człowiek stojący na równiku był w stanie nieważkości? Pro­mień Ziemi R = 6,38 • 10⁶ m. Wskazów­ka: porównaj ciężar i siłę dośrodkowa.

Odp. T = 1h24min

Zadanie 11.22

O ile procent ciężar na równiku jest mniejszy od ciężaru na biegunie w wyniku wirowania Ziemi wokół własnej osi, jeżeli założy się, że Ziemia jest kulą? Promień Ziemi R = 6,38 • 10⁶ m.

a) 0% b) 0,34%

c) 0,92% d) 2,48%

Zadanie 11.23

Ciężarek o masie m = 500 g, uwiązany na sznurku, wiruje w płaszczyźnie pionowej. Jaka jest róż­nica napięcia sznurka w górnym i dol­nym położeniu ciężarka?

Odp. ΔN = 4,9 N

Zadanie 11.24

Wewnątrz napompowa­nej opony koła samochodowego znaj­duje się niewielki kamyk. Jaką co naj­mniej wartość v musi mieć prędkość samochodu, aby kamyk wirował razem z kołem? Zewnętrzny promień opony wynosi R = 40 cm.

Odp. v = 2 m/s

Zadanie 11.25

Kulka uwiązana na nici została wprawiona w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Jaką masę ma kulka, jeżeli różnica między maksymal­nym i minimalnym naprężeniem nici wynosi Δ F = 5 N?

Odp. m = 250 g

Zadanie 11.26

Kamień uwiązany na sznurku o długości l = 50 cm wiruje w płaszczyźnie pionowej ruchem jedno­stajnym po okręgu. Przy jakiej częstotli­wości wirowania f sznurek się zerwie, jeżeli wiadomo, że wytrzymuje siłę o wartości równej dziesięciokrotnemu (n = 10) ciężarowi kamienia?

Odp. f = 2,1 Hz

Zadanie 11.27

Ciężarek przywiązany jest do nitki o długości l =50 cm i wiru­je w płaszczyźnie poziomej, zakreślając okrąg o promieniu R = 20 cm (rysu­nek 11.6.). Z jaką częstotliwością wiru­je ciężarek?

Odp. f = 0,74 Hz

Zadanie 11.28

Ciężarek o masie m = 100 g uwiązany na nici wiruje w płasz­czyźnie poziomej po okręgu o promie­niu

R = 60 cm z prędkością kątową ω = 2 rad/s (rysunek 11.6,). Jaką siłą napi­nana jest nić?

Odp. F = 1,01 N

Zadanie 11.29

Zawieszony na nici ka­mień o masie m = 250 g odchylono w bok na wyprostowanej nici o kąt α = 90° tak, że znalazł się na wysokości punktu zawieszenia, a następnie pusz­czono. Jaką siłą T będzie napinana nić w momencie, gdy kamień znajdzie się w najniższym punkcie?

Odp. T = 2,45 N

Zadanie 11.30

Samochód jadący po po­ziomej drodze zaczął poruszać się po łuku o promieniu r = 16 m. Z jaką największą szybkością v może jechać ten samo­chód, aby nie wpaść w poślizg? Współ­czynnik tarcia kół o drogę wynosi f = 0,4.

Odp. v = 28,5 km/h

Zadanie 11.31

Z jaką szybkością v po­winien jechać samochód w najwyższym punkcie wypukłego mostu, którego pro­mień krzywizny R = 40 m, aby pasaże­rowie przez chwilę byli w stanie nie­ważkości?

Odp. v = 71,3 km/h

Zadanie 11.32

Samochód osobowy wje­chał z szybkością v =25 m/s na wypukły most o stałym promieniu krzywizny R. Jaką wartość ma R, jeżeli na szczycie mostu nacisk samochodu na most zmniejszył się dwukrotnie w stosunku do nacisku samochodu na prostej drodze?

Odp. R = 127 m

Zadanie 11.33

Samolot zakreślił w po­wietrzu koło o promieniu R = 500 m w płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej prędkości samolotu przyspieszenie dzia­łające na pilota osiągnie wartość a = n • g. Oblicz tę prędkość dla n = 5.

Odp. v = 504 km/h

Zadanie 11.34

Niewielki ciężarek może przemieścić się po łuku okręgu z punktu A do punktu B lub z punktu A₁ do B₁ (rysunek 11.7.). Na obydwu odcinkach współczynnik tarcia jest jednakowy i nie zależy od prędkości ciężarka. Po której drodze ciężarek zsunie się w krótszym czasie? Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 11.35

Na wirującym z częstotli­wością f = 0,5 obr./s wokół własnej osi krążku, w odległości x = 25 cm od środ­ka krążka, znajduje się niewielki ciężarek. Jaką co najmniej wartość musi mieć współczynnik tarcia ciężarka o krążek, aby ciężarek nie zsuwał się z krążka?

Odp. f = 0,25

Zadanie 11.36

Kierowca samochodu ja­dącego z szybkością v po wyasfaltowa­nej płycie lotniska w kierunku bramy znajdującej się w okalającym teren mu­rze zauważył w odległości s od tej bra­my, że jest ona zamknięta. Ma w tej sy­tuacji dwie możliwości: albo hamować, albo zawrócić po łuku o promieniu R = s, nie zmieniając szybkości. Który z tych wariantów jest bezpieczniejszy w związ­ku z ryzykiem wpadnięcia w poślizg? Współczynnik tarcia kół o asfalt równy jest f. Wskazówka: oblicz najkrótszą dro­gę hamowania oraz najmniejszy promień łuku, po którym można zakręcać.

Zadanie 11.37

Na kamień umocowany na sznurku o długości l₁ = 2 m i wirują­cy w płaszczyźnie poziomej działa siła o wartości n = 8 razy większej niż na kamień o k= 5 razy mniejszej masie wi­rujący na sznurku o długości /₂ = 20 cm, także w płaszczyźnie poziomej, jaki jest stosunek szybkości v₁ : v₂?

Zadanie 11.38

Dwa ciężarki o jednako­wych masach uwiązano na lince o dłu­gości l tak, że jeden znajdował się na końcu tej linki, a drugi w odległości ⅔ l od pierwszego ciężarka. Wolny koniec linki umocowano i wprawiono wraz z cię­żarkami w ruch obrotowy w płaszczyź­nie poziomej, jak pokazano na rysunku 11.8. Na ciężarek m₁ umieszczony na końcu linki działa siła o wartości F₁, która jest większa o ΔF = 150 N od wartości siły F₂ działającej na ciężarek o masie m₂ Jaką wartość ma maksymalna siła rozciągająca linkę?

a) 100 N b) 150 N

c) 200 N d) 250 N

Zadanie 11.39

Na końcach nieważkiej listewki umieszczono dwa ciężarki o ma­sach m₁ i m_2. Następnie listewkę wpra­wiono w ruch obrotowy o częstotliwo­ści f, w płaszczyźnie poziomej wokół osi, która podzieliła listewkę na dwie nie­równe części. Masa m₁ była odległa od osi obrotu o l₁, natomiast masa m₂ była odległa o /₂. Oblicz wartość poziomej siły działającej na oś obrotu.

Zadanie 11.40

Do końca gumowego sznura o długości / = 50 cm przymoco­wano ciężarek o masie m = 2 kg. Po umocowaniu drugiego końca sznura wprawiono go wraz z ciężarkiem w ruch obrotowy w płaszczyźnie poziomej z częstotliwością f = 120 obr./min. O ile wy­dłuży się sznur, jeżeli jego współczyn­nik sprężystości wynosi k = 950 N/m, a masę sznura można zaniedbać? Przy jakiej częstotliwości obrotów guma się zerwie?

Odp. x = 25 cm; f₁ = 208 obr./min

Zadanie 11.41

Metalowa kula o masie m = 250 g porusza się po okręgu o pro­mieniu R = 50 cm w płaszczyźnie poziomej, z częstotliwością f₁ = 6 obr./s. Jaką pracę należy wykonać, aby zwięk­szyć częstotliwość obrotów kuli do f₂ = 10 obr./s ?

Odp. W = 80 J

Zadanie 11.42

Niewielka kulka przy­wiązana do nitki o długości l = 61 cm została wprawiona w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Jaki może być największy okres obrotu T kulki, aby jej ruch był jeszcze ruchem jednostajnym po okręgu?

Odp. T = 1,57 s

Zadanie 11.43

Metalowa kulka o masie m umocowana jest na nitce o długości l. Kulkę na wyprostowanej nici odchylono o pewien kąt tak, że została uniesiona na wysokość h w stosunku do położe­nia równowagi, jak pokazano na rysunku 11.9. Kulkę puszczono swobodnie. Na jaką wysokość h₁ uniesie się kulka, jeżeli nitka w czasie ruchu napotka wbi­ty gwóźdź, który staje się nowym punk­tem obrotu? Spełniony jest warunek AB < - h : 2 .

a) 0,5 • h b) 1 h

c) 1,5 • h d) l

Zadanie 11.44

Kulka o masie m powie­szona na nici o długości / została od­chylona o kąt α = 90°, a następnie swo­bodnie puszczona. W punkcie A poło­żonym w odległości h = ⅔ l od punktu zaczepienia nici, pionowo pod nim, znajduje się bolec, o który zaczepia nić, co powoduje zmianę promienia okręgu, po którym porusza się kulka (rysunek 11.10.). Jakie będzie naprężenie nici w chwili, gdy kulka znajdzie się w poło­żeniu B takim, że odcinek nici między bolcem a kulką będzie poziomy?

Odp. F = 4 mg

Zadanie 11.45

Cienka listewka o pomijalnej masie może obracać się swobod­nie bez tarcia wokół punktu O, w któ­rym jest umocowana na przegubie. Do listewki przymocowano w odległości l od punktu podparcia pierwszy ciężarek o masie m i drugi identyczny ciężarek w odległości 0,5 l od punktu O. Po prze­ciwnej stronie, w odległości 0,5 / od punktu podparcia, umieszczono na li­stewce trzeci ciężarek o masie 2 m, jak pokazano na rysunku 11.11. Układ utrzy­mano nieruchomo w położeniu pozio­mym, a następnie odblokowano tak, że mógł swobodnie obracać się wokół osi O. Jaką szybkość v będzie miał drugi cięża­rek w momencie, kiedy listewka obróci się o kąt 90° i będzie dalej się poruszała?

Zadanie 11.46

Akrobata o masie m = 75 kg huśta się w cyrku na trapezie, któ­ry zawieszony jest na linkach długości / = 5 m każda. Jaką siłą naciągane są poszczególne linki trapezu, jeżeli pręd­kość akrobaty w chwili przechodzenia przez punkt równowagi ma wartość v = 6 m/s?

Odp. F = 638 N

Zadanie 11.47

Kulka o masie m zawie­szona jest na nici, która wytrzymuje ob­ciążenie T=2mg. O jaki kąt a można od­chylić kulkę z nitką, aby po jej puszczeniu nitka nie urwała się w chwili przecho­dzenia kulki przez punkt równowagi?

Zadanie 11.48

Na poziomej listewce o pomijalnej masie, która może swobod­nie obracać się wokół pionowej osi, znajdują się dwa ciężarki o masach m₁ i m₂ związane nicią o długości l (rysu­nek 11.12). Ciężarki mogą swobodnie przesuwać się po listewce bez tarcia. Układ listewka-ciężarki wiruje wokół osi obrotu, W jakiej odległości od osi obro­tu znajduje się każdy z ciężarków, jeśli są one w stanie równowagi?

Zadanie 11.49

Na obręcz o promieniu R nałożony jest niewielki pierścionek, któ­ry może przesuwać się po obręczy bez tarcia. Obręcz wprawiono w ruch obro­towy wokół pionowej osi, jak pokazano na rysunku 11.13 Jaka jest prędkość ką­towa ω obręczy, jeżeli pierścionek uniósł się na wysokość h?

Zadanie 11.50

Niewielki metalowy pro­stopadłościan zsuwa się po równi pochy­łej bez tarcia i wpada do wnętrza cylin­dra o promieniu R, w którym także może poruszać się bez tarcia (rysunek 11.14.}. Z jakiej co najmniej wysokości h powi­nien zsunąć się prostopadłościan, aby mógł wykonać pełny obrót wewnątrz cy­lindra, nie odrywając się od jego ścianki?

Odp. h = 2,5 R

Zadanie 11.51

Na poziomym pręcie znajduje się ciężarek o masie m, który może przesuwać się po nim bez tarcia. Ciężarek utrzymywany jest w środku pręta za pomocą dwu jednakowych sprężyn o takim samym współczynniku sprężystości k (rysunek 11.15.). Pręt za­czyna obracać się wokół osi O-O'. Przy jakiej prędkości kątowej cd położenie ciężarka w dowolnym miejscu na pręcie będzie zawsze położeniem równowagi trwałej?

Zadanie 11.52

Na łuku drogi o promie­niu R, nachylonym pod kątem a do po­ziomu w stronę środka krzywizny, jedzie motocyklista. Z jaką szybkością on je­dzie, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna kół motocykla jest prostopadła do po­wierzchni drogi? Tarcie można pominąć.

Zadanie 11.53

W szklanej bańce o ma­sie M, wiszącej na nici o długości L, znaj­duje się niewielka ilość eteru (rysu­nek 11.16.). Bańka z jednej strony na wysokości swojego środka ma niewielki otwór zatkany koreczkiem o masie m. Podgrzewając bańkę, spowodowano wzrost ciśnienia par eteru i wyrzucenie korka. Jaką co najmniej szybkość u po­winien mieć korek, aby bańka wykona­ła pełny obieg po okręgu wokół punktu zaczepienia nici?

RUCH OBROTOWY BRYŁY

Zadanie 12.1

Jaki jest moment bezwład­ności I oraz moment pędu K kuli ziem­skiej? Promień Ziemi R = 6400 km, a jej masa m = 5,97 • 10²⁴ kg. Okres obrotu Ziemi T = 24 h. Wskazówka: skorzy­staj z podanej tabelki momentów bez­władności.

Odp. I = 9,87 * 10 ³⁷ kg m²; K = 7,11 * 10 ³³ kg m²/s

Zadanie 12.2

Dwa podobne walce wyko­nano z takiego samego materiału, przy czym pierwszy był jednorodny, natomiast drugi składał się z dwu części umiesz­czonych jedna w drugiej, mogących się swobodnie i bez tarcia obracać względem siebie (rysunek 12.1.). Obydwa walce umieszczono obok siebie na szczycie równi pochyłej tak, aby mogły swobod­nie się stoczyć, a następnie puszczono. Który z walców dotoczył się pierwszy do końca równi?

a) obydwa stoczyły się z równi jed­nocześnie

b) pierwszy stoczył się walec złożo­ny z dwóch części

c) pierwszy stoczył się walec jedno­rodny

d) nie można określić, który z wal­ców stoczył się pierwszy

Zadanie 12.3

Metalowy, jednorodny krążek (rysunek 12.2.) o promieniu r = 25 cm został wprawiony w ruch obroto­wy wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek przez siłę o wartości F = 49 N styczną do obwodu krążka. Podczas wirowania krążek hamowany jest siłą tarcia, której moment względem osi obrotu wynosi

M_T = 2,45 N • m. Jaką masę ma krążek? Wiadomo, że obraca się on z przyspieszeniem kątowym ε = 50 1/s.

Odp. m = 10,3 kg

Zadanie 12.4

Nieruchomy walec o mo­mencie bezwładności I = 25 kg • m² został wprawiony w ruch obrotowy wokół osi równoległej do tworzącej i przecho­dzącej przez jego środek. Moment siły względem osi obrotu wynosił

M = 50 Nm. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia obracania się walec wykona N = 400 obrotów? Wiadomo, że jego prędkość kątowa rośnie liniowo, poczynając od wartości 0.

a) 20 s b) 40 s

c) 60 s d) 80 s

Zadanie 12.5

Pręt o długości l = 1 m i masie m = 400 g (rysunek 12.3.) wiruje wokół pionowej osi, prostopadłej do prę­ta i przechodzącej przez jego środek. Jakie jest przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym pręta, gdy działa na niego moment siły M = 0,05 Nm?

Odp. ε = 1,5 1/s²

Zadanie 12.6

Metalowe koło o momen­cie bezwładności I = 120 kg • m² wiruje z prędkością kątową ω = 25 1/s wokół pionowej osi przechodzącej przez śro­dek koła. Oblicz moment siły hamują­cej, która spowoduje zatrzymanie się koła po czasie t = 20 s.

Odp. M = 150 Nm

Zadanie 12.7

Do jednorodnego krążka o promieniu r = 40 cm i masie m = 50 kg przyłożono stycznie do jego obwodu siłę o wartości F = 50 N (rysunek 12.2.). Po jakim czasie t krążek uzyska prędkość kątową ω = 100 1/s ?

Odp. t = 20 s

Zadanie 12.8

Koło zamachowe pod wpływem siły napędzającej obracało się z częstotliwością f = 16 s^-1_. Kiedy wyłą­czono silnik napędzający koło, zatrzy­mało się ono po czasie t = 50 s. Jaki był moment siły hamującej? Moment bez­władności koła wynosił I = 50 kg • m².

a) 0 Nm b) 50 Nm

c) 100Nm d) 150Nm

Zadanie 12.9

Przez blok nieruchomy, który ma moment bezwładności I, przerzu­cono nić i na jej końcach umieszczono dwa ciężarki o masach m₁ i m₂ (rysunek 12.4.). Jakie będą siły napinające nici T₁ i T₂ po obu stronach bloku, jeżeli układ ciężarków zacznie poruszać się pod wpływem siły ciężkości?

Zadanie 12.10

Na jednorodny wałek o masie m₁ = 4 kg nawinięta jest linka, na której końcu umocowany jest ciężarek o masie m₂ = 1 kg. Z jakim przyspie­szeniem a będzie opadał ciężarek? Wałek może swobodnie i bez tarcia obracać się względem osi przechodzącej przez jego środek.

Odp. a = 3,27 m/s²

Zadanie 12.11

Blok nieruchomy o masie m = 0,5 kg umieszczony jest na krawędzi stołu, jak pokazano na rysunku 12.5. Przez blok przełożono linkę, do której końców przymocowano dwa jednakowe ciężarki o masach M = 0,5 kg. Z jakim przyspie­szeniem będzie przesuwał się ciężarek po stole? Współczynnik tarcia o stół f = 0,2.

Odp. 3,14 m/s²

Zadanie 12.12

Po stole toczy się bez poślizgów moneta o masie m = 50 g z szyb­kością v = 4 m/s. Jaka jest jej całkowita energia kinetyczna?

Odp. E = 0,6 J

Zadanie 12.13

Jednorodna kula toczy się bez poślizgu po poziomej powierzchni. Jaki jest stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego kuli do jej całkowitej energii kinetycznej?

a) ¹/₇ b) ³/₇

c) ½ d) ⁵/₇

Zadanie 12.14

Obręcz i krążek o jedna­kowych masach m (rysunek 12.6.) toczą się bez poślizgu po poziomej powierzch­ni z jednakowymi prędkościami o warto­ści v. Oblicz całkowitą energię kinetycz­ną krążka. Całkowita energia kinetyczna obręczy E_kp = 16 J.

Odp. E_kk = 8 J

Zadanie 12.15

Energia kinetyczna wału obracającego się z częstotliwością f = 10 obr./s wynosi E_k = 120 J. Jaki jest moment pędu wału K?

Odp. K = 3,82 kg * m²/s

Zadanie 12.16

Jaką wartość a ma linio­we przyspieszenie środka masy kuli stacza­jącej się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α = 30°?

Odp. a = 3,50 m/s²

Zadanie 12.17

Z jaką liniową szybkością v będzie poruszać się środek rnasy ob­ręczy staczającej się bez poślizgu z równi pochyłej w jej najniższym punkcie? Wysokość równi wynosi h = 1 m, a ob­ręcz zaczęła staczać się ze szczytu rów­ni z zerową prędkością początkową.

Odp. v = 2,56 m/s

Zadanie 12.18

Wentylator obracał się z częstotliwością f = 15 obr./s. Po wyłą­czeniu zasilania wentylatora jego łopat­ki wykonały jeszcze n = 75 obrotów, a siły oporów ruchu wykonały pracę W= 43,3 J. Jakie wartości mają moment bezwładności I obracającej się części wentylatora i moment sił oporów ruchu? Zakładamy, że prędkość obrotowa wen­tylatora od chwili wyłączenia go malała liniowo.

Odp. I = 0,00975 kg m²; M = 0,092 kg m²/s²

Zadanie 12.19

Na wałek o promieniu r = 10 cm i momencie bezwładności I = 0,49 kg • m² nawinięta jest linka (rysu­nek 12.7.), do której końca przywiązany jest ciężarek o masie m = 2 kg. Wałek może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Jaką różnicę wysokości powinien pokonać ciężarek, aby swobodnie opadając pod wpływem siły ciężkości i obracając wał­kiem, spowodował jego obracanie się z częstotliwością f = 3 obr./min ? Odp. h = 4,62 m

Zadanie 12.20

Koło zamachowe obraca­jące się z częstotliwością f = 10 obr./s ma energię kinetyczną E_K= 15,7 J. Po jakim czasie t prędkość obrotowa koła wzro­śnie dwukrotnie (n = 2), jeżeli koło za­cznie być napędzane siłą, której moment względem osi obrotu koła wynosi M = 100 N•m?

Odp. t = 5 ms

Zadanie 12.21

Pręt jednorodny o długo­ści l = 40 cm powieszony jest za swój górny koniec tak, że może się swobod­nie obracać w płaszczyźnie pionowej. Jaką prędkość poziomą v należy nadać dolnemu końcowi pręta, aby koniec ten wykonał pełny obrót wokół osi?

Odp. v = 4,85 m/s

Zadanie 12.22

Ołówek o długości l = 15 cm stoi pionowo na stole, jaką pręd­kość będzie miał górny koniec ołówka w chwili dotknięcia stołu, jeżeli ołówek wywróci się bez poślizgu?

Odp. v = 2,1 m/s

Zadanie 12.23

Rowerzysta cyrkowy o całkowitej masie M wraz z rowerem zjeżdża z pewnej wysokości h i wjeżdża na tor zwany „martwą pętlą" (rysunek 12.8). Jaka powinna być co najmniej wysokość h, aby rowerzysta przejechał całą pętlę? Promień pętli wynosi R, każ­de koło roweru ma masę m₀. Koło nale­ży potraktować jako cienki pierścień.

Zadanie 12.24

Platforma obrotowa o ma­sie M = 341 kg wiruje w płaszczyźnie poziomej z częstotliwością f = 12 obr./min wokół osi przechodzącej przez jej środek. Na brzegu platformy stoi czło­wiek (rysunek 12.9.) o masie m = 75 kg. Z jaką częstotliwością będzie obracać się platforma, jeżeli człowiek przejdzie do jej środka? Platforma ma kształt dużego krążka, człowieka można uznać za masę skupioną w jednym punkcie.

Odp. f₁ = 16,3 obr./s

Zadanie 12.25

Łyżwiarz wiruje na lodzie z częstotliwością f₁=1obr./s_t mając roz­łożone szeroko ręce. Jeśli przyciągnie ręce do tułowia jego moment bezwład­ności zmaleje z I₁ = 2,94kg • m² do I₂=0,98kg • m². Z jaką częstotliwością f₂ będzie obracać się łyżwiarz po przy­ciągnięciu rąk?

Odp. f₂ = 3 obr./s

Zadanie 12.26

Człowiek o masie m = 50 kg znajduje się na platformie o masie M = 100 kg, która jest dużym krążkiem o promieniu R = 5 m i może swobodnie obracać się względem pionowej osi przechodzącej przez jej środek. Z jaką prędkością kątową zacznie obracać się platforma, jeśli człowiek zacznie iść po brzegu platformy? Szybkość człowieka względem platformy wynosi v = 0,2 m/s.

Odp. ω = 0,2 1/s

---