Podstawy Statystyki z przykładami, Statystyka


Statystyka może być rozumiana dwojako, w sensie potocznym uważa się za nią niektóre zestawienia liczbowe charakteryzujące np. umieralność niemowląt, wydobycie kopalin, wypadki przy pracy, spożycie dobra na jednostkę itp. Tak pojmowana statystyka nie jest dyscypliną naukową. Przez statystykę bowiem rozumiemy naukę, która zajmuje się badaniem prawidłowości zachodzących w procesach masowych.

Procesy masowe rządzą się prawami wielkich liczb (na 1000 dzieci rodzi się 517 chłopców i 483 dziewczynki), nie mówimy o nich gdy mamy do czynienia z jednym i tylko jednym przypadkiem (w jednej rodzinie urodziły się cztery dziewczynki)

Prawidłowości statystyczne są wynikiem występowania tzw. przyczyn głównych, prawidłowości są odkształcane (zakłócane) poprzez występowanie przyczyn ubocznych, im większa jest liczba obserwacji tym mniejsze jest oddziaływanie przyczyn ubocznych, a gdy liczba obserwacji dąży do nieskończoności oddziaływanie przyczyn ubocznych wzajemnie się znosi (spada do zera).

Zadania statystyczne

Podstawowym zadaniem statystycznym jest dostarczanie wiarygodnych informacji w celu zarządzania wszystkimi dziedzinami życia.

Podział statystyki (wg różnych kryteriów)

Statystyka matematyczna Statystyka opisowa

0x08 graphic
0x08 graphic

Podstawowe pojęcia

ZNAKI UMOWNE

-

Zjawisko nie występuje

0,0

Zjawisko występuje w ilościach mniejszych niż da się to wyrazić w przyjętej jednostce miary

.

Brak danych lub brak danych wiarygodnych

X

Wypełnienie rubryki nie dotyczy, nie ma sensy

Zbiorowość statystyczna - nie definiujemy - stanowi odpowiednik zbioru w matematyce, podajemy jednak przykłady zbiorowości np. zbiorowość osób, przedmiotów, zjawisk (przyrodniczych, ekonomicznych, społecznych). Zbiorowość zwana inaczej populacją albo zbiorowością generalną składa się z jednostek statystycznych (odpowiedniki elementów w zbiorze).

Każda jednostka zbiorowości ma pewne właściwości. Te właściwości nazywamy cechami statystycznymi - to one podlegają badaniu.

Ogólny podział cech statystycznych

Stałe,

Zmienne,

Wspólne wszystkim jednostkom statystycznym i z uwagi na to nie są przedmiotem badania a tylko odpowiedniego grupowania zbiorowości na pewne podzbiorowości.

Rozróżniają jednostki pomiędzy sobą. Dzielą się na:

cechy mierzalne inaczej ilościowe (takie, których wartość da się przedstawić za pomocą liczby).Wśród mierzalnych wyróżnia się cechy:

ciągłe, ich wartości przedstawia się w postaci dowolnej liczby rzeczywistej np. wiek, waga, wydajność pracy, cena, kurs, temperatura,

skokowe, ich wartość da się przedstawić wyłącznie za pomocą zera lub liczb naturalnych (np. liczba dzieci w rodzinie 0, 1, 2, 3...)

quasi ciągłe

cechy niemierzalne (jakościowe) to takie cechy, których wartości nie da się zmierzyć a jedynie opisać w sposób słowny (płeć, wykształcenie, kolor włosów).

Kompleksowa analiza struktury zbiorowości

W skład kompleksowej analizy struktury zbiorowości wchodzą:

Średnia (klasyczna i pozycyjna),

Miary rozproszenia (dyspersji),

Miary skośności (asymetrii),

Miary spłaszczenia (koncentracji).

Ad.1 Średnie klasyczne

Średnia arytmetyczna (średnia x - 0x01 graphic
)

dla szeregów prostych gdy dane nie są uporządkowane wyraża się wzorem

0x08 graphic
0x01 graphic

xi - wartość badanej cechy i-tej jednostki statystycznej,

N - liczba badanych jednostek statystycznych.

PRZYKŁAD :

Średni wzrost mężczyzn (10 elementów)

x1 = 168 x2 = 178 x3 = 171 x4 = 185 x5 =180

x6 = 171 x7 = 179 x8 =183 x9 =180 x10 =175

0x08 graphic

0x01 graphic
= 177 cm

dla szeregu rozdzielczego - jeżeli w wyniku odpowiedniego grupowania danych nieuporządkowanych w szereg rozdzielczy w postaci:

0x08 graphic
x

ni

x`i

ni ⋅x`i

700-800

11

750

8250

800-900

18

850

15300

900-1000

26

950

24700

1000-1800

36

1400

50400

1800-2400

32

2100

67200

2400-3000

16

2700

43200

suma

N=139

209050

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

ni - liczebność i-tego przedziału klasowego (suma ni równa się N)

x`i - środek i-tego przedziału klasowego

Średnia geometryczna

stosujemy dla liczb względnych (procenty, promile np. roczne wykonanie planu).

0x01 graphic
gdzie xi >0 (PI oznacza iloczyn)

Średnia harmoniczna

jest odwrotnością średniej arytmetycznej - stosujemy gdy dane są podane jako odwrotność np. zużycie paliwa na jednostkę, wydajność na godzinę.

0x01 graphic
gdzie xi ≠0

Ad. 1 Średnie pozycyjne

Wynikają z pozycji w szeregu, wyznacza się na podstawie tzw. wzorów interpolacyjnych.

Dominanta (wartość typowa , modalna, dominująca) - to taka wartość badanej cechy, której odpowiada największa liczebność

0x08 graphic

Sposób wyznaczania dominanty dla szeregu prostego:

Dominantą będzie wartość występująca najczęściej.

Sposób wyznaczania dominanty dla szeregu rozdzielczego

0x01 graphic

gdzie: xo - dolna granica przedziału w którym znajduje się dominanta,

co - rozpiętość przedziału dominanty,

nd - liczebność przedziału, w którym znajduje się dominanta,

nd-1 - liczebność przedziału poprzedzającego,

nd+1 - liczebność przedziału następnego po przedziale dominanty.

Dominantę z szeregu rozdzielczego można w przybliżeniu wyznaczyć także w sposób graficzny.

0x08 graphic

Mediana (wartość środkowa)

Kwartyl 1 - Q1 to taka wartość badanej cechy, która dzieli populację na dwie części w sposób następujący - 25% jednostek statystycznych jeszcze tej wartości nie osiągnęło a pozostałe 75% tę wartość przekroczyło.

Kwartyl 2 - Q2 - Me (mediana) to taka wartość badanej cechy, która dzieli populację na połowy, inaczej mówiąc jest to wartość środkowa. W medianie połowa populacji jeszcze nie osiągnęła wartości badanej cechy a druga połowa już tę wartość przekroczyła.

Kwartyl 3 - Q3 to taka wartość badanej cechy, której 75% liczebności jeszcze nie osiągnęło tej wielkości a 25% ją przekroczyło.

Sposób wyznaczania mediany dla szeregu prostego

Jeżeli szereg jest nieparzysty wartość mediany stanowi wartość cechy wyrazu środkowego

0x08 graphic
168, 178, 171, 185, 180, 171, 179, 183, 180, 175, 186

168, 171, 171, 175, 178, 179, 180, 180, 183, 185, 186

Me = 179

Jeżeli szereg jest parzysty są dwa wyrazy środkowe a medianę stanowi średnia arytmetyczna wartości badanej cechy wyznaczona z obu wyrazów środkowych

159, 168, 171, 171, 175, 178, 179, 180, 180, 183, 185, 186

Me = (178+179) ÷ 2 = 178,5 ≈ 179

Mediana dla szeregu rozdzielczego:

0x08 graphic

0x01 graphic

gdzie: xk = dolna granica przedziału, w którym znajduje się mediana (początek przedziału),

Co = rozpiętość przedziału, w którym znajduje się mediana (długość przedziału),

nk = liczebność przedziału, w którym znajduje się mediana (wielkość odpowiadająca przedziałowi),

k-1 = suma ni od początku do przedziału z medianą.

N/2 (a gdy liczba obserwacji jest nieparzysta (N+1)/2 - oznacza pozycję mediany w szeregu

Miary dyspersji (rozproszenia - zróżnicowania zjawiska)

Najprostszą miarą dyspersji jest rozstęp oznaczający różnicę pomiędzy wartością minimalną a maksymalną badanej cechy

R = xmax - xmin

Przykład:

Jeżeli w przedsiębiorstwie najwyższa płaca wynosi 4.800 zł. A najniższa 800 zł. To rozstęp wynosi 4.800 - 800 = 4.000 zł.

Odchylenie przeciętne

dla szeregu prostego ma postać:

0x08 graphic
0x01 graphic

dla szeregu rozdzielczego ma postać:

0x01 graphic

Odchylenie standardowe:

dla szeregu prostego ma postać:

0x01 graphic

dla szeregu rozdzielczego ma postać:

0x08 graphic
0x01 graphic

Odchylenie ćwiartkowe (stosujemy dla mediany)

0x01 graphic

Współczynnik zmienności jest miarą „dobroci” średniej (arytmetycznej)

0x01 graphic

jeżeli:

Vx ≤ 35% to średnia jest „bardzo dobra” (bardzo dobrze opisuje badaną rzeczywistość),

35% ≤ Vx ≤ 68% to średnia jest „dobra”,

68% ≤ Vx ≤ 75% to średnia jest „do przyjęcia”,

Vx > 75% to średnia traci swój sens poznawczy.

Miary skośności (asymetrii)

0x08 graphic

b - rozkład symetryczny (osią symetrii byłaby rzędna)

a, c - rozkłady asymetryczne; a - ma asymetrię lewostronną, c - asymetrię prawostronną

Najprostszą miarą asymetrii jest różnica pomiędzy średnią arytmetyczną a dominantą.

Rb =x - D = 0

Ra =x - D < 0 rozkład o asymetrii ujemnej

Rc =x - D > 0 rozkład o asymetrii dodatniej

Wzajemne położenie średniej, dominanty i Mediany w rozkładzie

0x08 graphic

0x08 graphic

Przy asymetrii ujemnej średnia arytmetyczna jest zaniżona, przy asymetrii dodatniej średnia arytmetyczna jest zawyżona.

Mierniki asymetrii

Nasilenie asymetrii możemy mierzyć dwojako:

Jako tzw. współczynnik asymetrii

0x01 graphic
i zawiera się -1 ≤ Was ≤ 1

Za pomocą wyrażenia:

0x01 graphic
i zawiera się -2 ≤ α3 ≤ 2

0x08 graphic
Miary spłaszczenia (koncentracji wokół średniej)

Mierzymy ją wzorem:

0x01 graphic

0x08 graphic
Rozkład normalny - funkcja Gaussa.

Mamy z nią do czynienia gdy jednocześnie α3 = 0 i α4 = 3 i ma kształt symetryczny - dzwonowaty. (wiadomo, że gdy α3=0 rozkład jest symetryczny).

Funkcja Gaussa ma postać:

0x08 graphic

( e ≈ 2,72 )

0x08 graphic
Okazuje się, że:

0x08 graphic

0x08 graphic

Reguła trzech “sigm”:

W przedziale (-3σ,3σ) mieszczą się (zawierają się) prawie wszystkie badane jednostki statystyczne.

W przedziale (-2σ,2σ) znajduje się ponad 95% wszystkich badanych jednostek ststystycznych.

W przedziale (-σ,σ) znajduje się około 68% wszystkich badanych jednostek ststystycznych.

Przedział x - σx xtyp x + σx nazywamy “x - typowym”.

Charakterystyka średnich:

Średnia arytmetyczna:

Średnia harmoniczna:

Średnia geometryczna:

Dominanta:

Mediana:

Warunki stosowania parametrów opisowych:

Względna jednorodność zbiorowości ze względu na badaną cechę (analiza Vx ; najlepiej, gdy Vx ≤ 35%, gdy współczynnik jest nie większy niż 75%).

Gdy jest niewielka asymetria rozkładu (przy dużej asymetrii x arytmetyczna nie ma wartości poznawczej).

Nie stosujemy średniej gdy szereg nie jest domknięty dołem i górą.

Nie stosujemy mediany gdy szereg ma przedziały o różnej rozpiętości.

Dla rozkładów o dużej asymetrii stosujemy wyłącznie przeciętne pozycyjne ( dominanta i kwartyle [Me]}

W październiku 1999 r. Na pewnym lokalnym rynku nieruchomości zanotowano następujące ceny ofertowe mieszkań:

Cena

w tys. zł.

Liczba mieszkań

60 - 70

1

0x08 graphic
70 - 80

3

80 - 90

20

90 - 100

26

100 - 110

14

110 - 120

12

120 - 130

10

130 - 140

7

140 - 150

5

150 - 160

2

Razem

100

Zbiorowość - liczba mieszkań.

Jednostka statystyczna - jedno mieszkanie.

Badana cecha - cena (x)

Kompleksowe badanie polega na:

0x08 graphic

x = 105,4 Me = 100 D = 93,3 σx = 19,85

R= 100 Po= 8,8 vx= 18,83% Was= - 0,61

105,4 - 19,85 = 85,55 105,4 + 19,85 = 125,25 85,55 < x-typowe < 125,25

Najpotrzebniejsze informacje:

Średnia arytmetyczna i jej interpretacje (przekłamuje).

Mediana (interpretacja).

Miary dyspersji, odchylenie standardowe.

Czemu służy współczynnik zmienności, co wiemy dzięki niemu.

Interpretacja przedziału typowego i z czego to wynika.

Czemu służy histogram, jak w przybliżeniu wyznaczyć dominantę.

Odróżnić zbiorowość statystyczną, jednostkę statystyczną i badaną cechę (umieć opisać cechę: niemierzalna, mierzalna - ciągła i skokowa.

UWAGA : Zbiór wszystkich badanych cech statystycznych nazywamy zakresem badania.

Analiza korelacji i regresji.

O korelacji mówimy, wtedy jeżeli średnim wartościom jednej cechy ściśle odpowiadają wartości drugiej cechy.

(funkcja - każdej wartości x odpowiada tylko jedna wartość y).

Wyróżnia się korelację liniową lub krzywoliniową - wśród której wyróżniamy korelację dwóch lub wielu cech statystycznych. Gdy objaśniamy jedną cechę (objaśnianą) całym zbiorem cech (objaśniających) to mamy do czynienia z korelacją wieloraką.

Jeżeli natomiast chcemy znać rzeczywistą współzależność pomiędzy dwoma cechami z wyeliminowaniem wpływu pozostałych cech to mamy do czynienia z tzw. korelacją cząstkową.

Dalsze rozważania ograniczamy do korelacji liniowej dwóch cech.

Prosty związek (współzależność) pomiędzy dwoma cechami statystycznymi można zbadać (zaobserwować) na podstawie tzw. diagramów korelacyjnych (wykresów korelacyjnych).

UWAGA : Badanie współzależności dwóch cech przeprowadzamy wtedy i tylko wtedy jeżeli pomiędzy tymi cechami zachodzi związek logiczny. (np. im wyższe wykształcenie tym wyższe kwalifikacje, ale nie koniecznie odwrotnie).

0x08 graphic

Równania regresji dwóch zmiennych służą do oszacowania średniej wielkości jednej zmiennej.

Diagram (C) wykazuje, że pomiędzy cechami (x) i (y) nie zachodzi żadna korelacja.

Diagram (D) mówi, że pomiędzy cechami (x) i (y) zachodzi korelacja krzywo-liniowa.

Diagramy (A) i (B) wskazują na istnienie korelacji liniowej. W przypadku diagramu (A) dodatniej a w diagramie (B) ujemnej.

Korelacja dodatnia oznacza związek wprost proporcjonalny, w którym wraz ze wzrostem wartości jednej cechy rośnie wartość cechy drugiej.

Korelacja ujemna oznacza związek odwrotnie proporcjonalny, w którym wraz ze wzrostem wartości jednej cechy maleje wartość cechy drugiej.

Korelację liniową mierzy się za pomocą współczynnika korelacji liniowej Pearsona, która ma postać:

0x01 graphic

Właściwości współczynnika :

rx,y = ry,x korelacja pomiędzy (x) a (y) jest taka sama jak pomiędzy (y) a (x).

-1 ≤ rx,y ≤ 1

Jeżeli r = ± 1 to mamy do czynienia z zależnością funkcyjną, matematyczną.

Jeżeli 0 < r < 1 to mamy do czynienia ze związkiem wprost proporcjonalnym.

Jeżeli - 1 < r < 0 to mamy do czynienia ze związkiem odwrotnie proporcjonalnym.

Jeżeli r jest nie większa niż 0,3 to mówimy, że korelacja jest niewyraźna.

Jeżeli r jest większa niż 0,3 a mniejsza niż 0.5 to mówimy, że korelacja jest średnia.

Jeżeli r jest większa niż 0,5 to mówimy, że korelacja jest wyraźna.

Równanie regresji liniowej dwóch zmiennych ma zastosowanie wtedy gdy mając dane dla jednej cechy można w przybliżeniu określić średnie wielkości lub wartości drugiej cechy.

Zależność cechy (y) od cechy (x) można wyrazić za pomocą następujących równań regresji:

1. 0x01 graphic
po przekształceniu otrzymamy

2. y = a + bx

Zależność cechy (x) od cechy (y) można wyrazić za pomocą następujących równań regresji:

3. 0x01 graphic
po przekształceniu otrzymamy

4. x = a + by

UWAGA : Kierunek regresji w obu równaniach (2 i 4) zależy wyłącznie od współczynnika (b). (a) nie ma związku ze współczynnikiem korelacji.

Wzajemne położenie linii regresji:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Jeżeli oba równania się pokrywają to korelacja przekształca się w związek funkcyjny (czyli r = -1 lub r = 1).

0x08 graphic

Jeżeli α = 90° to r = 0 więc nie ma korelacji

Szacując jedną cechę na podstawie drugiej popełnia się tzw. błędy standardowe szacunku:

Dla równania (2) 0x01 graphic

Dla równania (4) 0x01 graphic

Korelacja - współzależność 2 cech

Przykład

W 20 losowo wybranych mieszkaniach zaobserwowano następujące relacje pomiędzy liczbą pokoi w mieszkaniu a liczbą zamieszkujących te pokoje osób.

Liczba pokoi (y)

7

1

5

4

2

3

6

5

4

3

2

2

1

3

5

4

5

3

4

1

Liczba osób (x)

6

1

6

4

2

2

5

4

3

3

3

1

3

4

4

4

5

4

5

1

Zbadać czy pomiędzy wymienionymi cechami zachodzi liniowy związek korelacyjny.

Oszacować wielkość mieszkania (liczbę pokoi) dla rodziny liczącej 4 osoby.

0x08 graphic

Z wykresu korelacyjnego wynika, że mamy do czynienia z istotnym, liniowym, dodatnim związkiem korelacyjnym. Oznacza to, że korelacja ma charakter wprost proporcjonalny, gdzie wraz ze wzrostem liczby osób w rodzinie rośnie ilość zajmowanych przez tę rodzinę pokoi (z układu punktów wynika, że współczynnik korelacji musi mieć znak dodatni (+), a wartość współczynnika musi być powyżej 0,6.

Ponieważ korelacja jest widoczna można przystąpić do oszacowania wielkości mieszkania dla 4 osobowej rodziny (szacujemy „y”).

Korzystamy w tym celu z linii regresji szacującej na podstawie której oszacujemy średnią wielkość (y) na podstawie (x = 4).

x

y

x -x

y -y

(x -x)(y -y)

(x -x)2

(y -y)2

6

7

2,50

3,50

8,75

6,25

12,25

1

1

-2,50

-2,50

6,25

6,25

6,25

6

5

2,50

1,50

3,75

6,25

2,25

4

4

0,50

0,50

0,25

0,25

0,25

2

2

-1,50

-1,50

2,25

2,25

2,25

2

3

-1,50

-0,50

0,75

2,25

0,25

5

6

1,50

2,50

3,75

2,25

6,25

4

5

0,50

1,50

0,75

0,25

2,25

3

4

-0,50

0,50

-0,25

0,25

0,25

3

3

-0,50

-0,50

0,25

0,25

0,25

3

2

-0,50

-1,50

0,75

0,25

2,25

1

2

-2,50

-1,50

3,75

6,25

2,25

3

1

-0,50

-2,50

1,25

0,25

6,25

4

3

0,50

-0,50

-0,25

0,25

0,25

4

5

0,50

1,50

0,75

0,25

2,25

4

4

0,50

0,50

0,25

0,25

0,25

5

5

1,50

1,50

2,25

2,25

2,25

4

3

0,50

-0,50

-0,25

0,25

0,25

5

4

1,50

0,50

0,75

2,25

0,25

1

1

-2,50

-2,50

6,25

6,25

6,25

70

70

x

x

42,00

45,00

55,00

Średnia x x = 70 / 20 = 3,5

Średnia y y = 70 / 20 = 3,5

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczony współczynnik korelacji potwierdza istotną, liniową, dodatnia (wprost proporcjonalną) korelację pomiędzy wielkością rodziny i wielkością mieszkania. Logiczny związek pomiędzy tymi dwoma cechami oraz wysoki współczynnik korelacji sprawiają, że można przejść do oszacowania wielkości mieszkania dla 4 osobowej rodziny:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

błąd oszacowania:

0x01 graphic

Wielkość mieszkania oszacowana przedziałowo z błędem (±1,02) pokoi wynosi (3,9 - 1,02 ; 3,9 + 1,02) czyli (3 ; 5)

Zadanie

Wyznaczyć linie regresji dla (x) i narysować wspólny wykres.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Badanie tendencji rozwojowej.

Tendencja rozwojowa -ogólna dążność zjawiska do wzrostu lub spadku. Bada się ją zwykle w okresach 10 i więcej lat. Warunkiem doboru okresu badania jest działanie tych samych przyczyn głównych. Ogólną tendencję rozwojową zakłóca działanie tzw. przyczyn ubocznych, które można w jakimś sensie zneutralizować poprzez tzw. wygładzanie szeregów chronologicznych. Są dwie metody wygładzania szeregów chronologicznych.

Metoda mechaniczna. Polega na zastosowaniu tzw. średnich ruchomych.

Jeżeli wartość zjawiska w kolejnych latach wynosi (y1, y2, y3, y1, ... yn-1, yn) to trzyletnie średnie ruchome mają postać

0x01 graphic

Następna średnia ruchoma powstanie z pierwszej przez opuszczenie wyrazu pierwszego i dodanie wyrazu czwartego

0x01 graphic
itd.

Ostatnia trzyelementowa średnia ruchoma mieć będzie postać:

0x01 graphic

Pięcioelementowe średnie ruchome tworzymy w analogiczny sposób pamiętając, że uśredniamy element środkowy:

0x01 graphic

Średnie ruchome umożliwiają eliminowanie z szeregu wahań przypadkowych. Im średnia ruchoma obejmuje więcej elementów tym bardziej są eliminowane przyczyny uboczne a szereg chronologiczny jest bardziej wygładzony.

Gdy liczba obserwacji jest parzysta średnia chronologiczna przybiera postać średniej ruchomej scentrowanej:

0x01 graphic

Zaletą metody mechanicznej jest to, iż umożliwia ona uzyskanie obrazu uwolnionego od działania czynników ubocznych, wadą natomiast jest po pierwsze skracanie szeregu chronologicznego, po drugie niemożność zapisu tendencji rozwojowej w postaci matematycznej, po trzecie niemożność ekstrapolacji (przewidywania) zjawiska w przyszłości.

Metoda analityczna. Polega na opisie tendencji rozwojowej za pomocą funkcji matematycznej zwanej aproksymantą, dobranej tak aby spełniony był warunek 0x01 graphic

Suma kwadratów odchyleń wartości empirycznych (doświadczalnych) i uzyskanych na podstawie aproksymanty ma być jak najmniejsza (aproksymanta ma odpowiadać klasycznej metodzie najmniejszych kwadratów).

Sposób postępowania:

Wyznaczyć na układzie współrzędnych wartości empiryczne zjawiska i na podstawie rozkładu punktów wybrać jedną z klas funkcji (kształt aproksymanty).

0x08 graphic

0x01 graphic

b > 0

0x08 graphic

0x01 graphic

b < 0

0x08 graphic

0x01 graphic

b = 0

0x08 graphic

0x01 graphic

a > 1

0x08 graphic

0x01 graphic

a > 1

0x08 graphic

0x01 graphic

t > 1

0x08 graphic

0x01 graphic

0 < a < 1

Oszacować parametry aproksymanty.

Oszacować „dobroć” aproksymanty.

Trend liniowy

W trendzie liniowym i w każdym innym trendzie jedyną determinantą rozwoju zjawiska jest czas.

W równaniu trendu liniowego w postaci

0x01 graphic
0x01 graphic

oznacza średni poziom zjawiska w badanym okresie,

okresowe (roczne) przyrosty zjawiska (wzrost dla b>0, spadek dla b<0)

Równanie trendu linowego można wyznaczyć w sposób uproszczony postępując w następujący sposób:

1. Jeżeli szereg chronologiczny składa się z nieparzystej liczby danych to za wartość (t) dla wyrazu środkowego wpisujemy zero (0). Począwszy od zera w kierunku wcześniejszych wartości wpisujemy w miejsce (t) odpowiednio (-1, -2, -3, ...), dla wartości późniejszych począwszy od zera w miejsce (t) wpisujemy kolejno (1, 2, 3, ...).

Przykład (dane umowne)

Szereg nieparzysty

lata

yt

t

1996

15

-3

1997

18

-2

1998

16

-1

1999

19

0

2000

22

1

2001

21

2

2002

24

3

Szereg parzysty

lata

yt

t

yt t

t2

1995

13

-7

1996

15

-5

1997

18

-3

1998

16

-1

1999

19

1

2000

22

3

2001

21

5

2002

24

7

Σ

X

Σ

Σ

Miarą dobroci oszacowań (np. przewidywanie produkcji) wartości uzyskanych na podstawie funkcji trendów jest wyrażenie:

0x01 graphic
gdzie (K) jest liczbą parametrów funkcji

dla funkcji (y=a+bt) dwa parametry (a,b), dla funkcji (y= a2+bt+c) trzy parametry (a,b,c)

25

Dodać wszystkie wartości danych (x) i podzielić przez ich liczbę

168+178+171+185+180+171+179+183+180+175 = 1770

1770 ÷10 = 177

W kolumnie (x) podano przedziały zarobków.

W kolumnie (ni) podano ilość osób które spełniają warunki kolumny (x).

W kolumnie (x`i) obliczono środek przedziału klasowego

Np. (700+800) ÷ 2 = 750

W kolumnie (ni⋅x`i) podano iloczyn dwóch wcześniejszych kolumn.

UWAGA: wartości graniczne przypisujemy do wyższej klasy (np. wartość 800 przypisujemy do drugiej klasy)

209.050 ÷ 139 = 1504

Liczebność (% lub liczby rzeczywiste

Wartość badanej cechy (cecha mierzalna

Dominanta rzeczywiste

wartość rzeczywiste

Dominanta

x

n

skumulowany szereg liczebności do przedziału poprzedzającego przedział z medianą

UWAGA - odchylenie standardowe podniesione do potęgi drugiej nosi nazwę wariancji

x)2 - wariancja

Środek przedziału klasowego

b

a

c

cecha

liczebność

b

a

c

x

ni

D

D

Me

średnia

średnia

Me

D

Me

średnia

a

b

c

Największa koncentracja

Im bardziej układ wysmukły, tym mniejsze rozproszenie

punkty przegięcia

- σx

σx

0x01 graphic

- σx

σx

- 2σx

- 3σx

x

x

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Określić zbiorowość, jednostkę statystyczną i badaną cechę.

  2. Przeprowadzić kompleksową analizę cen ofertowych mieszkań.

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

A

B

C

D

r > 0

r < 0

r = 0

Korelacja krzywo linowa

y

y

y

y

x

x

Korelacja ujemna

Korelacja dodatnia

x

x

y

y

x

x

y =y

x =x

Błąd oszacowania

± Sy

pokoje

osoby

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

Współczynnik korelacji podajemy z dokładnością do 4 miejsc po przecinku

0x01 graphic

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

y[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

t[Author ID1: at Wed Jan 29 12:46:00 2003 ]

Zajmuje się weryfikacją hipotez statystycznych oraz estymacją (szacowaniem) punktową lub przedziałową parametrów.

Główne działy statystyki opisowej

Kompleksowa analiza struktury zbiorowości,

Analiza korelacji i regresji,

Analiza dynamiki zjawisk (badanie szeregów czasowych, tendencji rozwojowej).



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Podstawowe pojecia przyklady, Wielowymiarowa analiza statystyczna, Panek, wap
Przykladowe kolokwium- statystyka opisowai, Podstawy statystyki
Podstawy statystki z przykladami 15 stron , Podstawy statystyki
Podstawy statystki - z przykładami, Statystyka, statystyka(3)
Podstawy Statystyki z przykładami [21 stron], Podstawy Statystyki z przykładami
Podstawy Statystyki z przykładami [21 stron], Statystyka opisowa
Metodologia SPSS Zastosowanie komputerów Brzezicka Rotkiewicz Podstawy statystyki
Strona 3, Podstawy Statystyki i Przedsiębiorczości
Podstawy statystyki

więcej podobnych podstron