2.1 Przykłady rachunkowe

2.1.1

Wartość skuteczna

Wartość średnia

Wartość średnia sygnału wyprostowanego

Współczynnik szczytu

Współczynnik kształtu

Współczynnik zniekształceń nieliniowych

2.1.2

Sygnał sinusoidalny o parametrach

Wartość skuteczna po podstawieniu do wzoru i po przeprowadzeniu wszystkich przekształceń otrzymujemy wzór:

Warto zauważyć, że wartość skuteczna nie zależy od ω i φ.

2.1.3

Dodatni okresowy przebieg prostokątny o wypełnieniu η=τ/T

Wartość skuteczna :

Wartość średnia wyprostowana:

Współczynnik szczytu:

Współczynnik kształtu:

Rzeczą, która zwraca uwagę jest fakt że współczynnik kształtu jest równy współczynnikowi szczytu i że wszystkie parametry zależą od wypełnienia.

2.1.4

Trygonometryczny szereg Fouriera

Wzór ogólny:

Sygnał sinusoidalny:

gdzie a- amplituda sygnału , h - numer harmonicznej.

Sygnał prostokątny :

Sygnał trójkątny :

Sygnał prostokątny i trójkątny reprezentowany jest przez nieparzyste harmoniczne. Przebieg trójkątny różni się tym że jego współczynniki są podniesione do kwadratu.

2.1.5

Funkcja nieparzysta x(t)=-x(-t)

a₀=0

a_n=0

b_n - obliczamy ze wzoru (dla n parzystych b_n=0)

Funkcja parzysta x(t)=x(-t)

a₀ i a_n - obliczamy ze wzoru (dla n parzystych a_n=0)

b_n=0

Funkcja asymetryczna x(t)=-x(t+T/2)

a₀=0

a_n i b_n - obliczam ze wzoru (dla n parzystych a_n i b_n=0)

2.1.6

Należy obliczyć nowe współczynniki podanego przebiegu według powyższych wzorów. Nasz przebieg jest nieparzysty więc a_n=0, a dla parzystych n b_n też równa się zero.

2.1.7

Widmo sygnału prostokątnego

Zmiana wypełnienia ma wpływ na widmo sygnału. Zmiana wypełnienia z 0,5 na 0,1 powoduje zmniejszenie amplitudy (spłaszczenie) oraz otrzymujemy więcej pojedynczych prążków widma. Np.:

2.1.8

Kryterium pierwsze miejsce zerowego obwiedni widma amplitudowego

T = 10ms

η = 0,2

τ = T * η = 2ms

A dla pierwszego miejsca zerowego:

f_g= 500 Hz

Kryterium spadku amplitudy granicznej harmonicznej poniżej 10% amplitudy pierwszej harmonicznej.

warunek

zachodzi dla argumentu funkcji

większego od 3π czyli

f_g = 1500 Hz

2.1.9

Warunek ten będzie spełniony jeśli:

Z warunku tego wynika, że zmianie w układzie niezniekształcającym może ulec jedynie amplituda.

Po przekształceniu powyższego równania otrzymuje się:

2.1.10

Widmo amplitudowe harmonicznych ma postać:

Wynika z tego, że widmo fazowe wynosi odpowiednio:

2.2 Przykłady Laboratoryjne

1. Sygnał sinusoidalny o amplitudzie 1V, bez składowej stałej:

a) Schemat układu pomiarowego.

b) Uporządkowane wyniki pomiarów.

U_sk=1/√2=0,707 V

f [kHz]	Miernik 1 [V]	Miernik 2 [V]	Miernik 3 [V]
1	0,704	0,7146	0,7116
20	0,703	0,7344	0,7117
100	0,699	0,7656	0,7041
400	0,741	0,0057	0,6713
500	0,782	0,0050	0,6246

c) Wnioski i spostrzeżenia.

Najszerszy zakres częstotliwości posiada Miernik 1, który dla wszystkich badanych częstotliwości wskazywał poprawną wartość napięcia skutecznego. Pozostałe dwa mierniki przy częstotliwości 400 kHz pokazywały niepoprawną wartość napięcia skutecznego.

2. Sygnał sinusoidalny o amplitudzie 1V, ze składową stałą:

a) Schemat układu pomiarowego.

b) Uporządkowane wyniki pomiarów.

U0 [V]	f [kHz]	Miernik 1 [V]	Miernik 2 [V]	Miernik 3 [V]
1	1	0,703	0,7137	1,2462
-1			0,703	0,7136	1,2006

c) Wnioski i spostrzeżenia.

Poprawną wartość skuteczną przebiegu sinusoidalnego ze składową stałą wskazał Miernik 3. Pozostałe mierniki nie reagowały ani na dodatnią, ani na ujemną składową stałą.

3. Sygnał prostokątny i trójkątny o amplitudzie 1V, bez składowej stałej i wypełnieniu η=0,5:

a) Schemat układu pomiarowego.

b) Uporządkowane wyniki pomiarów.

Sygnał prostokątny

U_sk=U_m=1

f [kHz]	Miernik 1 [V]	Miernik 2 [V]	Miernik 3 [V]
1	1,169	1,0684	1,0618

Sygnał trójkątny

f [kHz]	Miernik 1 [V]	Miernik 2 [V]	Miernik 3 [V]
1	0,552	0,5832	0,5813

c) Wnioski i spostrzeżenia.

Tylko Miernik 2 i Miernik 3 wskazał poprawną wartość napięcia skutecznego przebiegu prostokątnego, ponieważ oba te mierniki mierzą wartość skuteczną korzystając z definicji, natomiast Miernik 1 mierzy taką wartość poprawnie jedynie dla sygnału sinusoidalnego.

4. Sygnał prostokątny i piłokształtny o amplitudzie 103mV, częstotliwości 1kHz, bez składowej stałej. Amplitudy trzech pierwszych niezerowych harmonicznych widma amplitudowego:

a) Schemat układu pomiarowego.

b) Uporządkowane wyniki pomiarów.

Sygnał:	Amplitudy harmonicznych [mV]
		1-sza	3-cia	5-ta
prostokątny	92	30,1	18
piłokształtny	59	6	2

c) Obliczenia:

Amplitudy harmonicznych:

Sygnał prostokątny Sygnał trójkątny

Wnioski:

Wyniki obliczeniowe pokrywają się z wynikami z pomiarów. Rozbieżności pochodzą

z niedokładności pomiarów i przyjętych zaokrągleń.

V1

V2

V3

Generator funkcyjny

OSC

V1

V2

V3

Generator funkcyjny

OSC

V1

V2

V3

Generator funkcyjny

OSC

Vn

Generator funkcyjny

Vn - nanowoltomierz sekektywny

---