Wykład 3

Prognozowanie na podstawie klasycznych modeli trendu

Interesuje nas dyskretny proces stochastyczny (Y_t)_t=1,2,…. Zaobserwowane wartości tego szeregu oznaczamy: y₁, y₂,… y_n i nazywamy szeregiem czasowym. Możemy rozważać szereg czasowy momentów lub okresów. Dodatkowo zakładamy, że odstępy czasowe są równe.

Zdajemy sobie sprawę z tego, że zaobserwowane wartości Y nie musiały wystąpić, mogły być inne bliskie bądź dalekie od zanotowanych. Obserwowany proces jest procesem stochastycznym. Przyjmujemy następujący model opisu obserwowanego procesu. Przyjmujemy, że jest on wypadkową działania:

1. składowej deterministycznej (składowa systematyczna, przyczyny główne);

1. trendu

2. stałego poziomu;

3. składowej okresowej:

1. wahań cyklicznych;

2. wahań sezonowych;

2. procesu stochastycznego (przyczyn ubocznych, przypadkowych).

Proces wyznaczania składowych szeregu czasowego nazywamy procesem dekompozycji szeregu czasowego. Proces dekompozycji polega na budowie modelu szeregu czasowego.

Wyróżniamy dwa główne typy modelu szeregu czasowego:

1. addytywny: y_t = f(t) + g(t) + h(t) + ξ_t ; t = 1, 2, … n ;

2. multiplikatywny: y_t = f(t) ⋅ g(t) ⋅ h(t) ⋅ ξ_t ; t = 1, 2, … n ;

gdzie:

f - funkcja opisująca trend ;

g - funkcja opisująca wahania sezonowe ;

h - funkcja opisująca wahania cykliczne ;

ξ_t - składnik losowy.

Budując model musimy ustalić postać analityczną funkcji f, g, h. Krokiem w kierunku ustalenia postaci funkcji może być analiza graficzna zaobserwowanych wielkości y₁, y₂¸ … y_n i na tej podstawie próba ustalenia postaci funkcji trendu. (patrz zeszyt Excela „wykład 3”, arkusz „funkcje trendu”)

Przyjmiemy, że funkcja trendu jest funkcją:

1. liniową, gdy (t, y_t) układają się w przybliżeniu wzdłuż linii prostej; (y_t = a + bt)

2. wykładniczą, gdy (t, ln(y_t)) układają się w przybliżeniu wzdłuż linii prostej; (y_t = a ⋅ b^t)

3. logarytmiczną, gdy (ln(t), y_t) układają się w przybliżeniu wzdłuż linii prostej; (y_t = a ⋅ ln(t))

4. potęgową, gdy (ln(t), ln(y_t)) układają się w przybliżeniu wzdłuż linii prostej; (y_t = a ⋅ t^b)

Na podstawie analizy graficznej danych (lub na innej podstawie), wybraliśmy postać analityczną funkcji trendu. Musimy teraz zweryfikować dokonany wybór.

Ad a) Jeśli funkcja trendu ma postać liniową f(t) = a + b⋅t , to przyrosty są stałe (z dokładnością do składnika losowego):

Δy_t = y_t - y_t-1 = b + (ξ_t - ξ_t-1) ;

Weryfikujemy hipotezę, o stałości przyrostów zakładając liniowość przyrostów: Δy_t = α + β⋅t + ε_t ;

a następnie weryfikujemy testem t-Studenta hipotezę zerową H₀: ( β = 0 ) przeciwko hipotezie alternatywnej H₁: ( β ≠ 0 ).

Ad b) Jeśli funkcja trendu ma postać wykładniczą f(t) = a ⋅ b^t , to spełniony jest warunek:

( f(t) - f(t-1) ) / f(t-1) = b - 1

A to oznacza, że szereg czasowy ma stałe przyrosty względne (z dokładnością do składnika losowego) lub inaczej mówiąc, że indeksy łańcuchowe dla tego szeregu są stałe z dokładnością do czynnika losowego.

Weryfikujemy hipotezę, o stałości przyrostów zakładając liniowość przyrostów: Δy_t / y_t-1 = α + β⋅t + ε_t ;

Testem t-Studenta weryfikujemy hipotezę zerową H₀: ( β = 0 ) przeciwko hipotezie alternatywnej H₁: ( β ≠ 0 ).

*******************

*******************

Prognozowanie na podstawie trendu.

Rozważmy obecnie modele szeregów czasowych, w których składowa systematyczna ma postać trendu oraz w których występuje składowa losowa. Rozważamy więc modele postaci:

Y_t = f(t) + ξ_t - postać addytywna (A)

Y_t = f(t) ⋅ ξ_t - postać multyplikatywna (M)

dla t = 1, 2, …n

Będziemy obecnie zakładać, że f jest funkcją liniową: f(t) = α₀ + α₁⋅t

Dodatkowo zakładamy, że :

1. w modelu (A) addytywnym E(ξ_t) = 0 ;

2. w modelu (M) multyplikatywnym E(ξ_t) = 1 ;

Tak więc model szeregu czasowego ma postać:

y_t = α₀ + α₁⋅t + ξ_t , t = 1, 2, … n;

Parametry α₀ , α₁ są nam nieznane. Musimy je oszacować. Szacujemy za pomocą metody najmniejszych kwadratów i jako wynik dostajemy a ₀ , a₁ .

Szereg czasowy możemy więc przedstawić następująco:

y_t = a₀ + a₁⋅t + e_t ; t = 1, 2, … n ;

gdzie

to reszty modelu;

zaś
to wartości teoretyczne prognozowanej zmiennej

Model trendu możemy zapisać w postaci macierzowej: y = X α + ξ

gdzie:

,
,
,
.

Przez a oznaczmy oszacowanie wektora α za pomocą metodą najmniejszych kwadratów. Wektor a dany jest więc wzorem:

Zachodzi tożsamość:

y = X a + e

y^ = Xa

gdzie e to wektor reszt: e = y - X a =

zaś
to wektor wartości teoretycznych prognozowanej zmiennej.

Weryfikacja modelu trendu liniowego - ocena dopasowania do danych empirycznych.

1. Wariancja reszt:

2. Standardowe odchylenie reszt:

3. Współczynnik zmienności reszt

Zakładamy z góry pewną wartość krytyczną V^* współczynnika zmienności losowej, np. V^*=10%. Jeśli zachodzi nierówność:

V_e ≤ V^*

to model uważamy za dostatecznie dopasowany do zmiennych empirycznych.

4. Współczynnik zbieżności ϕ² :

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0, 1], informuje on jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona przez model. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze im mniejsze jest ϕ².

5. Współczynnik determinacji R² :

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0, 1], informuje on jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona przez model. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze im większe jest R².

Zachodzi równość: ϕ² + R² = 1 .

6. Współczynnik korelacji wielorakiej R:
   

7. Dopasowanie modelu do danych empirycznych weryfikuje się poprzez weryfikację hipotezy o istotności współczynnika determinacji (korelacji wielorakiej). Testuje się hipotezę zerową postaci H₀ : [R² = 0] przeciwko hipotezie alternatywnej H₁ : [R² ≠ 0].

Hipotezę testujemy przy pomocy statystyki F Fishera-Snedecora o m₁ = k i m₂ = (n - k - 1) stopniach swobody, gdzie k to ilość zmiennych objaśniających (u nas obecnie k = 1), n to ilość obserwacji. U nas m₁ = 1; m₂ = n - 2. Hipotezę testujemy na zadanym poziomie istotności γ (np. γ = 0,05).

Jeśli wykonujemy obliczenia „ręcznie” to dla ustalonego poziomu istotności γ wyznaczamy z tablic wartość krytyczną F^* dla m₁ , m₂ stopni swobody.

Jeśli mamy do dyspozycji arkusz kalkulacyjny Excel to możemy wyznaczyć wartość krytyczną F^* przy pomocy funkcji

=ROZKŁAD.F.ODW(γ; m₁; m₂)

Jeśli F ≤ F^* to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ , czyli przyjmujemy, że współczynnik determinacji jest nieistotnie różny od zera. Jeśli F > F^* to odrzucamy hipotezę H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej H₁ , współczynnik determinacji jest istotnie różny od zera.

Jeśli mamy do dyspozycji arkusz kalkulacyjny Excel oraz dysponujemy danymi, możemy wykonać wszystkie obliczenia w Excelu.

8. Weryfikacja modelu polega na weryfikacji hipotez o istotności po kolei każdego parametru. Stawiamy więc hipotezę zerową H₀ : [α_i = 0] wobec hipotezy alternatywnej H₁ : [α_i ≠ 0] . Hipotezy weryfikujemy statystyką t­­-Studenta dla n-2 stopni swobody:

, i= 0, 1 .

Gdzie S(a₁), S(a₂) to pierwiastki liczb leżących na przekątnej macierzy D²(a) wariancji-kowariancji parametru a.

D^2(a) = Se^2(X^TX)^-1 =	d11	d12
		d21	d22

S(a₁) = (d₁₁)^0,5 ; S(a₂) = (d₂₂)^0,5 .

Z tablic t-Studenta dla n-2 stopni swobody (n-k-1 stopni swobody) i danego poziomu istotności γ odczytujemy wartość krytyczną
. Jeżeli:

to odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej. Czyli przyjmujemy, że i-ty parametr jest istotny.

Jeśli mamy do dyspozycji arkusz kalkulacyjny Excel to możemy wyznaczyć wartość krytyczną
przy pomocy funkcji

=ROZKŁAD.T.ODW(γ; ilość stopni swobody)

W przeciwnym wypadku nie mamy podstaw do odrzucenia H₀ , czyli parametr strukturalny α_i różni się nieistotnie od zera, a to oznacza, że czas czyli zmienna t nie wpływa w sposób istotny na wartość zmiennej objaśnianej Y.

Prognoza punktowa

Wartość prognozy na okres T = n+1, n+2, … obliczamy zgodnie z zasadą predykcji nieobciążonej przez ekstrapolację oszacowanej funkcji trendu:

gdzie c traktujemy jak „kolejny” wiersz macierzy obserwacji X, zaś a to wektor oceny parametrów strukturalnych modelu.

Ocena ex ante średniego błędu predykcji wyliczana jest ze wzoru:

Ocena ex ante względnego błędu predykcji wyliczana jest ze wzoru:

Prognoza przedziałowa

Przedział prognozy na poziomie wiarygodności γ_T , na okres (moment) T to przedział postaci:

budujemy tak, aby:

gdzie y_T^P - prognoza punktowa, S(D_T) - średni błąd prognozy, γ_T - wiarygodność prognozy (=0,05 np.), u współczynnik odczytany z tablic dwustronnych t-Studenta dla n-2 stopni swobody i prawdopodobieństwa (1-γ_T), przy założeniu normalności rozkładu reszt trendu liniowego.

**********************

Przykład 1 (Zeliaś s. 81) (Obliczenia w zeszycie Excela „wykład 3” arkuszach „Zeliaś 1”).

Mamy dane miesięczne z lat 1991 - 1994: średnie kursy $100 USD w złotych.

Chcemy zbudować prognozę średnich kursów na kolejne dwa lata.

1. Wykonujemy ocenę graficzną zebranych danych.

2. Przyjmujemy liniową postać funkcji trendu

Y_t = ₀ + ₁·t

3. Weryfikujemy hipotezę o stałości przyrostów zmiennej Y_t .

y_t = ₀ + ₁·t + _t

gdzie y_t = y_t - y_t-1

Na podstawie danych w tabeli budujemy liniowy model dla y_t

yt =	2,2981	+	0,0356·t
	(1,1069)		(0,0402)

4. Weryfikujemy teraz hipotezę zerową H₀ o zerowaniu się parametru ₁ przeciwko hipotezie H₁ :

H₀ : ₁ = 0 ;

H₁ : ₁ ≠ 0 ;

Statystyka t(b₁) = b₁ / S(b₁) ma rozkład t-Studenta z (m-2) stopniami swobody.

A więc t(b₁) = 0,0356 / 0,0402 = 0,886

Z tablic rozkładu t wyznaczamy wartość krytyczną na poziomie istotności  = 0,05: t _{45 ; 0,05} = 2,0142

Ponieważ zachodzi:

t(b₁) = 0,886 < t _{45 ; 0,05} = 2,0142

Więc nie odrzucamy hipotezy H_o przyjmujemy, że ₁ = 0. Tak więc możemy przyjąć liniowość funkcji trendu.

5. Szacujemy metodą najmniejszych kwadratów parametry funkcji trendu:

Y_t = ₀ + ₁·t + _t

Na podstawie danych w tabeli budujemy liniowy model dla y_t

yt =	79,7149	+	3,3852·t
	(2,1915)		(0,0779)

6. Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych:

1. Współczynnik zmienności losowej W_e = S_e / y_śr = (7,47 / 162,65) = 0,0459

2. Współczynnik determinacji R² = 105 569 / 108 138 = 0,9762

3. Współczynnik zbieżności ² = 1 - R² = 0,0238

7. Ocena ex ante dokładności wnioskowania w przyszłość.

1. Wariancja prognozy var(D_T) = S_e²·[1 + c^T (X^TX)^-1c] gdzie c^T = (1,T)

Chcemy zbudować prognozę na dwa lata (1995 i 1996) czyli na okresy od 49 do 72.

C⁴⁷ = (1 ; 49)

Wariancja prognozy ex ante na okres 49 wynosi:

var(D₄₉) = 55,851 · (1 + 0,086) = 60,653

Odchylenie standardowe - średni błąd prognozy wynosi:

S(D₄₉) = 7,788

Względny błąd prognozy wynosi:

V(D₄₉) = S(D₄₉) / y₄₉^P = 7,788 / 245,59 =

C⁴⁷ = (1 ; 72)

Wariancja prognozy ex ante na okres 72 wynosi:

var(D₇₂) = 55,851 · (1 + 0,2638) = 70,693

Odchylenie standardowe - średni błąd prognozy wynosi:

S(D₇₂) = 8,4079

Względny błąd prognozy wynosi:

V(D₇₂) = S(D₇₂) / y₇₂^P = 8,4079 / 323,45 = 0,0260

************************

Przykład 2 (Zeliaś s. 89) (Obliczenia w zeszycie Excela „wykład 3” arkuszach „Zeliaś 2”)

Mamy dane roczne z lat 1985 - 1994: produkcja w sztukach kolorowych odbiorników TV na 1000 ludności

Chcemy zbudować prognozę średnich kursów na kolejne dwa lata.

1. Wykonujemy ocenę graficzną zebranych danych.

2. Przyjmujemy wykładniczą postać funkcji trendu.

Y_t = ₀·₁^t

3. Weryfikujemy hipotezę o przyrostach zmiennej Y_t .

y_t / y_t-1 = ₀ + ₁·t + _t

gdzie y_t = y_t - y_t-1

Na podstawie danych w tabeli budujemy liniowy model dla y_t / y_t-1

yt / yt-1 =	0,06945	+	0,03474·t
	(0,2576)		(0,0458)

4. Weryfikujemy teraz hipotezę zerową H₀ o zerowaniu się parametru ₁ przeciwko hipotezie H₁ :

H₀ : ₁ = 0 ;

H₁ : ₁ ≠ 0 ;

Statystyka t(b₁) = b₁ / S(b₁) ma rozkład t-Studenta z (m-2) stopniami swobody.

A więc t(b₁) = 0,06945/ 0,2576= 0,759

Z tablic rozkładu t wyznaczamy wartość krytyczną na poziomie istotności  = 0,05: t _{7 ; 0,05} = 2,3646

Ponieważ zachodzi:

t(b₁) = 0,759 < t _{45 ; 0,05} = 2,3646

Więc nie odrzucamy hipotezy H_o przyjmujemy, że ₁ = 0. Tak więc możemy przyjąć wykładniczą postać funkcji trendu.

5. Szacujemy metodą najmniejszych kwadratów parametry funkcji logarytm (trendu):

ln(y_t) = ln(₀) + ln(₁)·t + _t

Na podstawie danych w tabeli budujemy liniowy model dla ln(y_t)

ln(yt) =	1,049	·	2,0^t
	(0,1398)		(0,0225)

6. Ocena dopasowania modelu do logarytmu danych empirycznych :

1. Współczynnik zmienności losowej W_e = S_e / y_śr = (0,2047 / 2,1476) = 0,0953

2. Współczynnik determinacji R² = 3,2925 / 3,6277 = 0,9076

3. Współczynnik zbieżności ² = 1 - R² = 0,0924

7. Budowa prognoz średnioterminowych na lata 1995 - 1997:

T	prognoza
		ln(yt)^P	yt^P
1995	3,2464	25,70
1996	3,4461	31,38
1997	3,6459	38,32

***********************

Przykład 3 (Zeliaś Pawełek Wanat s. 93) (przykład z ćwiczeń)

Rozpatrujemy zagadnienie predykcji liczby udzielonych noclegów (w mln) w hotelach w Polsce. Dysponujemy danymi:

Rok	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
Okres	1	2	3	4	5	6	7	8	9
noclegi (mln)	6,11	6,50	6,77	7,15	7,52	8,05	8,53	8,89	9,28

Naszym zadanie jest wyznaczenie prognoz punktowych i przedziałowych liczby udzielonych noclegów w hotelach na lata 1999, 2000, 2001.

Prognozy uznamy za dopuszczalne jeśli będą obarczone błędem nie większym niż 4%, zaś wiarygodność prognoz przedziałowych powinna wynosić 95%.

Rozwiązanie

Obliczenia w zeszycie Excela „wykład 3” w arkuszu „Zeliaś 3”

Badamy graficzne przedstawienie danych:




Stwierdzamy, że szereg czasowy ma dwie składowe: trend i wahania losowe. Przyjmujemy, że naszym modelem tendencji rozwojowej będzie liniowa funkcja trendu. Czyli naszym modelem prognostycznym jest :

y_t = α₀ + α₁⋅t + ξ_t , t = 1, 2, … n;

Przeprowadzimy teraz weryfikację naszego modelu.

Estymacja parametrów

	t	yt	t-t^ś^r	yt-yt^ś^r	(t-t^ś^r)^2	(yt-yt^ś^r)^2	(t-t^ś^r)(yt-yt^ś^r)
	1	2	3	4	5	6	7
	1	6,11	-4	-1,5344	16	2,3545	6,1378
	2	6,50	-3	-1,1444	9	1,3098	3,4333
	3	6,77	-2	-0,8744	4	0,7647	1,7489
	4	7,15	-1	-0,4944	1	0,2445	0,4944
	5	7,52	0	-0,1244	0	0,0155	0,0000
	6	8,05	1	0,4056	1	0,1645	0,4056
	7	8,53	2	0,8856	4	0,7842	1,7711
	8	8,89	3	1,2456	9	1,5514	3,7367
	9	9,28	4	1,6356	16	2,6750	6,5422
Suma	45	68,8	0	0,0000	60	9,8640	24,2700
Średnia	5	7,6444

Obliczamy:







Oszacowana funkcja trendu ma więc postać:




Weryfikacja modelu:

Ocenę zgodności danych empirycznych z wartościami teoretycznymi (wynikającymi z postaci modelu) dokonamy na podstawie ocen parametrów struktury stochastycznej, odchylenia standardowego składnika resztowego, współczynnika zmienności resztowej, współczynnika zbieżności i współczynnika determinacji liniowej.

	t	yt	yt^^	et=yt-yt^^	(yt-yt^^)^2
	1	2	3	4	5
	1	6,11	6,0264	0,0836	0,0070
	2	6,50	6,4309	0,0691	0,0048
	3	6,77	6,8354	-0,0654	0,0043
	4	7,15	7,2399	-0,0899	0,0081
	5	7,52	7,6444	-0,1244	0,0155
	6	8,05	8,0489	0,0011	0,0000
	7	8,53	8,4534	0,0766	0,0059
	8	8,89	8,8579	0,0321	0,0010
	9	9,28	9,2624	0,0176	0,0003
Suma	45	68,8	68,8000	0,0000	0,0468
Średnia	5	7,6444

1. Standardowe odchylenie składnika resztowego:




2. Współczynnik zmienności resztowej




3. Współczynnik zbieżności ϕ² :




4. Współczynnik determinacji R² :




W arkuszu kalkulacyjnym Excel możemy na wykresie dodać linie trendu i zażądać wyświetlenia równania linii trendu oraz wielkości współczynnika determinacji R² .

Po zaznaczeniu obiektu wykres wybieramy z menu: Wykres; Dodaj linię trendu; w typie wybieramy liniowy, w opcjach zaznaczamy Wyświetl równanie, Wyświetl R-kwadrat.




W arkuszu kalkulacyjnym Excel możemy wykonać wszystkie obliczenia wywołując odpowiednie polecenie analizy danych. Jeżeli Analiza danych nie jest dostępna to musimy ją doinstalować z płytki i uaktywnić (Dodatki).

Analizę danych uruchamiamy następująco:

Menu: Narzędzia, Analiza danych, Regresja.

W tabeli regresja zaznaczymy zakres y, zakres x, czy są tytuły, gdzie mają być zapisane wyniki.

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,997624555
R kwadrat	0,995254753
Dopasowany R kwadrat	0,994576861
Błąd standardowy	0,081772526
Obserwacje	9

ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	1	9,8172	9,817215	1468,1603	2,14606E-09
Resztkowy	7	0,0468	0,0066867
Razem	8	9,864

	Współcz.	Błąd standard.	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%
Przecięcie	5,6219444	0,059406363	94,635392	3,876E-12	5,481470818	5,762418071
Zmienna X1	0,4045	0,010556788	38,31658	2,146E-09	0,379537182	0,429462818

Prognoza punktowa

Na rok 1999: y₁₀^P = 5,6215 + 0,4045 ⋅ 10 = 9,667 mln ,

Na rok 2000: y₁₁^P = 5,6215 + 0,4045 ⋅ 11 = 10,071 mln ,

Na rok 2001: y₁₂^P = 5,6215 + 0,4045 ⋅ 12 = 10,476 mln ,

Wartości ocen ex ante średnich błędów predykcji obliczonych prognoz:


mln


mln


mln

Wartości ocen ex ante względnych błędów predykcji obliczonych prognoz:










Prognoza przedziałowa:

Wartość współczynnika u odczytujemy z tablic dwustronnych rozkładu t-Studenta dla n-2 = 7 stopni swobody i prawdopodobieństwie (1 - 0,95) = 0,05 . Z tablicy odczytujemy, że u = 2,3646 .

Możemy też odczytać z arkusza Excela:

=ROZKŁAD.T.ODW(0,05;7) = 2,36462

Tak więc prognoza przedziałowa na poziomie wiarygodności 0,95 na kolejne lata wynosi:

Na rok 1999: (9,667 - 2,3646 ⋅ 0,1011 ; 9,667 + 2,3646 ⋅ 0,1011) = ( 9,428 ; 9,906 )

Na rok 2000: (10,071 - 2,3646 ⋅ 0,1069 ; 10,071 + 2,3646 ⋅ 0,1069) = ( 9,819 ; 10,324 )

Na rok 2001: (10,476 - 2,3646 ⋅ 0,1135 ; 10,476 + 2,3646 ⋅ 0,1135) = ( 10,208 ; 10,744 )

ProgSym 3 (2005).doc 2-04-2004

dr P. Zaremba 8/11

---