Graniastosłup

Niech w przestrzenia dany będzie wielokąt wypukły F1 oraz wektor
, nie zawierający się w płaszczyźnie wielokąta F1. niech wielokąt F2 będzie obrazem wielokąta F1 w przesunięciu równoległym o wektor
. Zbiór odcinków postaci
, gdzie
nazywamy graniastosłupem o podstawach F1 i F2.

Niech A1, A2, …An będą kolejnymi wierzchołkami wielokąta F1, natomiast B1, B2, …,Bn będą odpowiednio ich obrazami w przesunięciu równoległym o wektor
. Odcinki postaci
nazywamy krawędziami bocznymi graniastosłupa. Równoległoboki o wierzchołkach Ak, Ak+1, Bk+1, Bk nazywamy ścianami bocznymi graniastosłupa.

Na rysunku wyżej krawędź podstawy
oznaczono na brązowo, krawędź boczną
oznaczono na czerwono, ścianę boczną A1A2B2B1 oznaczono kolorem błękitnym, przykładowy odcinek
ze zbioru odcinków tworzących graniastosłup oznaczono kolorem granatowym.

Jeśli, tak jak na rysunku wyżej, wektor
nie jest prostopadły do płaszczyzny podstawy F1, to graniastosłup nazywamy ukośnym.

Graniastosłup nazywamy prostym, gdy wektor
jest prostopadły do płaszczyzny podstawy F1. w graniastosłupie prostym wszystkie ściany boczne są prostokątami i są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. Wszystkie krawędzie boczne są odcinkami o równych długościach. Graniastosłup prosty nazwiemy prawidłowym n-kątnym, gdy jego podstawy F1, F2 są przystającymi n-kątami foremnymi.

Przykłady:

Graniastosłup prawidłowy trójkątny i czworokątny. Ich podstawami są odpowiednio trójkąt równoboczny i kwadrat.

Graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany boczne i podstawy są prostokątami nazywamy prostopadłościanem. Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadrami nazywamy sześcianem.

Wysokością graniastosłupa prostego i ukośnego nazywamy długość odcinka
, gdzie S1 jest dowolnym punktem jednej z podstaw graniastosłupa, zaś S2 jest jego obrazem w rzucie prostopadłym na drugą podstawę. W przypadku graniastosłupa prostego wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

Oznaczmy wysokość graniastosłupa h, wówczas jego objętość obliczamy ze wzoru:

gdzie
oznacza pole powierzchni podstawy.

Ostrosłup

Niech w przestrzeni dany będzie wielokąt wypukły F oraz punkt S nie należący do płaszczyzny zawierającej wielokąt F. zbiór wszystkich odcinków postaci
, gdzie A jest dowolnym punktem wielokąta F, nazywamy ostrosłupem o podstawie F i wierzchołku S.

Niech A1, A2, …An będą kolejnymi wierzchołkami wielokąta F. odcinki postaci
nazywamy krawędziami bocznymi ostrosłupa, boki wielokąta F nazywamy krawędziami podstawy ostrosłupa, trójkąty postaci AkAk+1S nazywamy ścianami bocznymi ostrosłupa. Niech S' będzie obrazem punktu S w rzucie prostopadłym na płaszczyznę zawierającą wielokąt F. długość odcinka
nazywamy wysokością ostrosłupa. Jeśli punkt S' należy do wielokąta F, to ostrosłup nazywamy prostym, w przeciwnym wypadku mówimy o ostrosłupie ukośnym.

Na rysunku wyżej przedstawiono przykład ostrosłupa prostego
.

Kolorem granatowym zaznaczono przykładową krawędź boczną;

Kolorem zielonym zaznaczono przykładową krawędź podstawy;

Kolorem błękitnym zaznaczono przykładową ścianę boczną;

Kolorem brązowym zaznaczono przykładowy odcinek ze zbioru odcinków tworzących ostrosłup.

Ostrosłup prosty nazywamy prawidłowym n-kątnym, gdy wielokąt F jest n-katem foremnym i punkt S' znajduje się w jego środku geometrycznym. Środkiem geometrycznym n-kąta foremnego nazywa się środek okręgu opisanego na tym n-kącie. W przypadku trójkąta foremnego (równobocznego) jego środek geometryczny pokrywa się z punktem przecięcia jego wysokości. W przypadku czworokąta foremnego (kwadrat) jego środek geometryczny pokrywa się z punktem przecięcia jego przekątnych.

Poniżej przykłady ostrosłupa prawidłowego trójkątnego i czworokątnego:

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym punkty P, Q, R połowią boki podstawy, co wynika z własności trójkąta foremnego.

W ostrosłupie prawidłowym n-kątnym wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, zatem wszystkie krawędzie boczne mają jednakowe długości.

Wysokość ostrosłupa prostego lub ukośnego czyli długość odcinka
oznaczmy przez h, wówczas objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:

gdzie
oznacza pole powierzchni podstawy.

Stożek

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny AOS z kątem prostym o wierzchołku O. Bryłę powstała w wyniku obrotu tego trójkąta wokół prostej a zawierającej jedną z przyprostokątnych np. OS nazywamy stożkiem obrotowym.

Koło powstałe w wyniku obrotu przyprostokątnej prostopadłej do osi obrotu nazywamy podstawą stożka.

Powierzchnię w przestrzeni powstałą w wyniku obrotu przeciwprostokątnej nazywamy pobocznicą lub powierzchnią boczną stożka.

Wierzchołek S trójkąta AOS nazywamy wierzchołkiem stożka.

Każdy odcinek postaci
gdzie P jest dowolnym punktem brzegu podstawy stożka nazywamy tworzącą stożka.

Przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu trójkąta AOS nazywamy przekrojem osiowym stożka.

Każdy przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramienny o ramionach długości równej długości tworzącej stożka. Kąt o wierzchołku S w dowolnym przekroju osiowym stożka nazywamy kątem rozwarcia stożka.

Na rysunku wyżej kolorem niebieskim oznaczono trójkąt prostokątny obracany wokół prostej a. kolorem czerwonym zaznaczono przekrój osiowy stożka, będący trójkątem równoramiennym PQS.

Kąt
nazywamy kątem rozwarcia stożka.

Kąt
jest kątem nachylenia tworzącej
do podstawy stożka.

Wysokością stożka jest długość odcinka
.

Oznaczmy:

Objętość stożka obliczamy:

Pole pobocznicy obliczamy:

Pole powierzchni całkowitej obliczamy:
.

Walec

Rozpatrzmy prostokąt ABCD. Bryłę powstałą w wyniku obrotu tego prostokąta wokół prostej a zawierającej jeden z boków prostokąta na
, nazywamy walcem obrotowym lub cylindrem.

Koła powstałe w wyniku obrotu boków prostokąta prostopadłych do osi obrotu nazywamy podstawami walca.

Powierzchnię w przestrzeni, powstałą w wyniku obrotu boku prostokąta równoległego do osi obrotu nazywamy powierzchnią walcową (cylindryczną) lub pobocznicą walca.

Każdy odcinek postaci
, gdzie S, P są punktami brzegowymi dwóch podstaw walca nazywamy tworzącą walca.

Wysokością walca nazywamy długość boku prostokąta zawartego w osi obrotu. Wysokość walca jest równa długości każdej z jego tworzących.

Przekrój walca zawierający oś obrotu prostokąta ABCD nazywamy przekrojem osiowym. Każdy przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach długości równym wysokości walca i średnicy podstawy.

Na rysunku wyżej kolorem niebieskim oznaczono prostokąt obracany wokół prostej a. Kolorem czerwonym zaznaczono przekrój osiowy walca, będący prostokątem.

Oznaczmy:

Objętość walca obliczamy:

Pole podstawy walca obliczamy:

Pole powierzchni bocznej walca obliczamy:

Pole powierzchni całkowitej walca obliczamy:
.

---