stereometria - teoria, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SEMESTR 1, GRAFIKA INŻYNIERSKA, PODRĘCZNIKI


Graniastosłup

Niech w przestrzenia dany będzie wielokąt wypukły F1 oraz wektor 0x01 graphic
, nie zawierający się w płaszczyźnie wielokąta F1. niech wielokąt F2 będzie obrazem wielokąta F1 w przesunięciu równoległym o wektor 0x01 graphic
. Zbiór odcinków postaci 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
nazywamy graniastosłupem o podstawach F1 i F2.

Niech A1, A2, …An będą kolejnymi wierzchołkami wielokąta F1, natomiast B1, B2, …,Bn będą odpowiednio ich obrazami w przesunięciu równoległym o wektor 0x01 graphic
. Odcinki postaci 0x01 graphic
nazywamy krawędziami bocznymi graniastosłupa. Równoległoboki o wierzchołkach Ak, Ak+1, Bk+1, Bk nazywamy ścianami bocznymi graniastosłupa.

0x01 graphic

Na rysunku wyżej krawędź podstawy 0x01 graphic
oznaczono na brązowo, krawędź boczną 0x01 graphic
oznaczono na czerwono, ścianę boczną A1A2B2B1 oznaczono kolorem błękitnym, przykładowy odcinek 0x01 graphic
ze zbioru odcinków tworzących graniastosłup oznaczono kolorem granatowym.

Jeśli, tak jak na rysunku wyżej, wektor 0x01 graphic
nie jest prostopadły do płaszczyzny podstawy F1, to graniastosłup nazywamy ukośnym.

Graniastosłup nazywamy prostym, gdy wektor 0x01 graphic
jest prostopadły do płaszczyzny podstawy F1. w graniastosłupie prostym wszystkie ściany boczne są prostokątami i są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. Wszystkie krawędzie boczne są odcinkami o równych długościach. Graniastosłup prosty nazwiemy prawidłowym n-kątnym, gdy jego podstawy F1, F2 są przystającymi n-kątami foremnymi.

Przykłady:

Graniastosłup prawidłowy trójkątny i czworokątny. Ich podstawami są odpowiednio trójkąt równoboczny i kwadrat.

0x01 graphic

Graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany boczne i podstawy są prostokątami nazywamy prostopadłościanem. Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadrami nazywamy sześcianem.

Wysokością graniastosłupa prostego i ukośnego nazywamy długość odcinka 0x01 graphic
, gdzie S1 jest dowolnym punktem jednej z podstaw graniastosłupa, zaś S2 jest jego obrazem w rzucie prostopadłym na drugą podstawę. W przypadku graniastosłupa prostego wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

Oznaczmy wysokość graniastosłupa h, wówczas jego objętość obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
oznacza pole powierzchni podstawy.

Ostrosłup

Niech w przestrzeni dany będzie wielokąt wypukły F oraz punkt S nie należący do płaszczyzny zawierającej wielokąt F. zbiór wszystkich odcinków postaci 0x01 graphic
, gdzie A jest dowolnym punktem wielokąta F, nazywamy ostrosłupem o podstawie F i wierzchołku S.

Niech A1, A2, …An będą kolejnymi wierzchołkami wielokąta F. odcinki postaci 0x01 graphic
nazywamy krawędziami bocznymi ostrosłupa, boki wielokąta F nazywamy krawędziami podstawy ostrosłupa, trójkąty postaci AkAk+1S nazywamy ścianami bocznymi ostrosłupa. Niech S' będzie obrazem punktu S w rzucie prostopadłym na płaszczyznę zawierającą wielokąt F. długość odcinka 0x01 graphic
nazywamy wysokością ostrosłupa. Jeśli punkt S' należy do wielokąta F, to ostrosłup nazywamy prostym, w przeciwnym wypadku mówimy o ostrosłupie ukośnym.

0x01 graphic

Na rysunku wyżej przedstawiono przykład ostrosłupa prostego 0x01 graphic
.

Kolorem granatowym zaznaczono przykładową krawędź boczną;

Kolorem zielonym zaznaczono przykładową krawędź podstawy;

Kolorem błękitnym zaznaczono przykładową ścianę boczną;

Kolorem brązowym zaznaczono przykładowy odcinek ze zbioru odcinków tworzących ostrosłup.

Ostrosłup prosty nazywamy prawidłowym n-kątnym, gdy wielokąt F jest n-katem foremnym i punkt S' znajduje się w jego środku geometrycznym. Środkiem geometrycznym n-kąta foremnego nazywa się środek okręgu opisanego na tym n-kącie. W przypadku trójkąta foremnego (równobocznego) jego środek geometryczny pokrywa się z punktem przecięcia jego wysokości. W przypadku czworokąta foremnego (kwadrat) jego środek geometryczny pokrywa się z punktem przecięcia jego przekątnych.

Poniżej przykłady ostrosłupa prawidłowego trójkątnego i czworokątnego:

0x01 graphic

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym punkty P, Q, R połowią boki podstawy, co wynika z własności trójkąta foremnego.

W ostrosłupie prawidłowym n-kątnym wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, zatem wszystkie krawędzie boczne mają jednakowe długości.

Wysokość ostrosłupa prostego lub ukośnego czyli długość odcinka 0x01 graphic
oznaczmy przez h, wówczas objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
oznacza pole powierzchni podstawy.

Stożek

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny AOS z kątem prostym o wierzchołku O. Bryłę powstała w wyniku obrotu tego trójkąta wokół prostej a zawierającej jedną z przyprostokątnych np. OS nazywamy stożkiem obrotowym.

Koło powstałe w wyniku obrotu przyprostokątnej prostopadłej do osi obrotu nazywamy podstawą stożka.

Powierzchnię w przestrzeni powstałą w wyniku obrotu przeciwprostokątnej nazywamy pobocznicą lub powierzchnią boczną stożka.

Wierzchołek S trójkąta AOS nazywamy wierzchołkiem stożka.

Każdy odcinek postaci 0x01 graphic
gdzie P jest dowolnym punktem brzegu podstawy stożka nazywamy tworzącą stożka.

Przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu trójkąta AOS nazywamy przekrojem osiowym stożka.

Każdy przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramienny o ramionach długości równej długości tworzącej stożka. Kąt o wierzchołku S w dowolnym przekroju osiowym stożka nazywamy kątem rozwarcia stożka.

0x01 graphic

Na rysunku wyżej kolorem niebieskim oznaczono trójkąt prostokątny obracany wokół prostej a. kolorem czerwonym zaznaczono przekrój osiowy stożka, będący trójkątem równoramiennym PQS.

Kąt 0x01 graphic
nazywamy kątem rozwarcia stożka.

Kąt 0x01 graphic
jest kątem nachylenia tworzącej 0x01 graphic
do podstawy stożka.

Wysokością stożka jest długość odcinka 0x01 graphic
.

Oznaczmy: 0x01 graphic

Objętość stożka obliczamy: 0x01 graphic

Pole pobocznicy obliczamy: 0x01 graphic

Pole powierzchni całkowitej obliczamy: 0x01 graphic
.

Walec

Rozpatrzmy prostokąt ABCD. Bryłę powstałą w wyniku obrotu tego prostokąta wokół prostej a zawierającej jeden z boków prostokąta na 0x01 graphic
, nazywamy walcem obrotowym lub cylindrem.

Koła powstałe w wyniku obrotu boków prostokąta prostopadłych do osi obrotu nazywamy podstawami walca.

Powierzchnię w przestrzeni, powstałą w wyniku obrotu boku prostokąta równoległego do osi obrotu nazywamy powierzchnią walcową (cylindryczną) lub pobocznicą walca.

Każdy odcinek postaci 0x01 graphic
, gdzie S, P są punktami brzegowymi dwóch podstaw walca nazywamy tworzącą walca.

Wysokością walca nazywamy długość boku prostokąta zawartego w osi obrotu. Wysokość walca jest równa długości każdej z jego tworzących.

Przekrój walca zawierający oś obrotu prostokąta ABCD nazywamy przekrojem osiowym. Każdy przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach długości równym wysokości walca i średnicy podstawy.

0x01 graphic

Na rysunku wyżej kolorem niebieskim oznaczono prostokąt obracany wokół prostej a. Kolorem czerwonym zaznaczono przekrój osiowy walca, będący prostokątem.

Oznaczmy: 0x01 graphic

Objętość walca obliczamy: 0x01 graphic

Pole podstawy walca obliczamy: 0x01 graphic

Pole powierzchni bocznej walca obliczamy: 0x01 graphic

Pole powierzchni całkowitej walca obliczamy: 0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Seminarium - referaty, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I sto
Zadania bilanse, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia,
Projekt 2 - Ewa Litwinek, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I
Cwiczenie 53c, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SE
Cwiczenie 11i, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SE
kryształy egzamin 2009, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I st
Pytanianakolosach, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia
Układ MgO-Al2O3-SiO2, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stop
wyniki zaliczenia w I term. gr 3.x, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stac
Cwiczenie 32f, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SE
Cwiczenie 0f, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SEM
Sprawozdanie JP, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia,
Tablica przedzialy Ufnosci 1, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarn
Metody badan odpornosci korozyjnej, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stac
Całość, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SEMESTR 2
Egzamin fizyka 31-35, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stop
Wstep 0, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SEMESTR
Z5 - układ CaO-Al2O3-SiO2, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I
do druku lool, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, SE

więcej podobnych podstron