Definicja różniczkowalności w Rn
Niech
będzie zbiorem otwartym. Mówimy że funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie odwzorowanie liniowe
, że:
Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie
.
Definicja pochodnej kierunkowej
Ustalamy zbiór otwarty
.
Mówimy, że funkcja
ma pochodną kierunkową w punkcie
w kierunku wektora
, gdy istnieje granica:
Jeśli funkcja ma pochodną kierunkową w punkcie
w kierunku wektora
, to oznaczamy ją:
, czyli:
Związek między różniczkowalnością a pochodną kierunkową
Jeśli
jest różniczkowalna w punkcie
, to posiada pochodne kierunkowe w kierunku dowolnego wektora
oraz
Pochodne cząstkowe
Ustalamy zbiór otwarty
.
Mówimy, że funkcja
ma w punkcie
pochodną cząstkową względem j-tej zmiennej
gdy istnieje pochodna kierunkowa w tym punkcie w kierunku wektora
.Oznaczamy
Twierdzenie o funkcji uwikłanej
Niech
;
jest funkcją ciągłą spełniającą warunki:
I.
II. F jest klasy C1 w pewnym otoczeniu (x0,y0)
III.
wówczas dla pewnego ε > 0 istnieje funkcja
taka że
oraz
Jakobian i macierz Jacobiego
Ustalmy zbiór otwarty
oraz
.
Niech
i niech
takie, że:
Jeżeli funkcje
mają wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie
to macierzą Jacobiego tej funkcji nazywamy macierz:
Jeżeli M = N to wyznacznik macierzy Jacobiego nazywamy jakobianem funkcji f w punkcie x0.
Twierdzenie Greena
Niech
będzie obszarem normalnym w kierunku obu osi układu współrzędnych, którego brzegiem jest krzywa L zorientowana dodatnio. Jeśli funkcje P, Q są klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym krzywą L to: