Sprawozdanie z laboratorium z fizyki i biofizyki
Ćwiczenie nr 1
Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego
Data wykonania ćwiczenia: 15.05.2007
Sekcja nr IV w składzie:
1. Lucyna Trzaskalik
2. Agata Matyja
Data oddania sprawozdania:……………………
Ocena:………………
I WSTĘP TEORETYCZNY:
Przyspieszenie ziemskie (g) jest przyspieszeniem nadawanym ciału materialnemu w próżni przez siłę ciężkości, zależy od wysokości n.p.m., szer. geogr. miejsca pomiaru i lokalnego rozkładu mas wewnątrz Ziemi. Do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego możemy posłużyć się wahadłem matematycznym.
Wahadło matematyczne jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici. Takie wahadło, wyprowadzone z położenia równowagi, wykonuje ruch dr
gający w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy o okresie T. Na rysunku przedstawiono wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kat φ. Na masę m działa siła ciężkości mg i naprężenie nici N.
Siła ciężkości (ciężar kulki) F = mg rozkłada się na dwie składowe S oraz N. Siła N - napina nić. Siła S powoduje ruch wahadła w kierunku położenia równowagi, a jej wartość jest równa: S = F sinφ
Analiza ruchu wahadła: jest to ruch harmoniczny - siła S to siła przeciwnie skierowana do wychylenia. Aby wyznaczyć okres tego ruchu zakładamy, że wychylenie jest o mały kąt, a dla małych kątów (wyrażonych w mierze łukowej) sin φ = φ
Piszemy wzór na siłę powodującą ruch wahadła jako
W powyższym wzorze skorzystaliśmy z za
łożenia, iż s ≈ lφ
Widać, że siła powodująca powrót ciała o masie m do położenia równowagi jest proporcjonalna do wychylenia. Należy uwzględnić, że siła S jest przeciwnie skierowana do wychylenia, stąd znak „-”
Wykorzystując podobieństwo do siły sprężystości porównujemy współczynnik sprężystości z ułamkiem z powyższego wzoru:
Wyliczamy częstość kołową tego ruchu:
korzystamy z zależności:
oraz
i otrzymujemy wzór na okres wahań wahadła matematycznego:
Z powyższego równania wynika, że okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy i masy wahadła, natomiast zależy od jego długości i wartości działającego w danym miejscu przyspieszenia ziemskiego. Wahadło matematyczne pozwala na doświadczalne wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego:
II PRZEBIEG ĆWICZENIA:
Cel ćwiczenia:
Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego
1. Opis wykonywanych czynności:
Zmierzono długość druta, na którym zawieszony był odważnik - mierzono od punktu zaczepienia (w tym przypadku od środka śruby, na której było zawieszone wahadło), do środka masy ciężkości (w połowie wysokości odważnika).
Wychylano wahadło z położenia równowagi o niewielki kąt i mierzono czas dla 50 wahnięć
Czynność tę powtórzono pięciokrotnie po 50 wahnięć dla zmierzonej długości;
Następnie zwiększono odległość odważnika od punktu zaczepienia i ponownie zmierzono odległość tak jak poprzednio;
Następnie wychylano wahadło z położenia równowagi o niewielki kąt i mierzono czas dla 50 wahnięć;
Czynność tę również powtórzono pięciokrotnie po 50 wahnięć dla zmierzonej długości.
2. Tabele wyników:
Najpierw obliczono przyśpieszenie ziemskie dla każdego okresu osobno korzystając ze wzoru:
Obliczono także błędy pomiarów posługując
się wzorami:
gdzie:
l = 0,01 m
T = 0,01 s
Następnie obliczono średnie wartości uzyskanych wyników.
Otrzymano następujące wartości:
Innym sposobem obliczenia wartości przyspieszenia ziemskiego jest skorzystanie z wartości średnich okresów:
Najpierw zapisujemy wzory na obliczenie okresów:
Oba równania podnosimy do kwadratu:
Następnie odejmujemy stronami zapisane równania:
Z zapisanego równania wyznaczamy przyśpieszenie ziemskie g:
Wstawiając do powyższego równania wartości średnie i obliczając błędy ze wzorów:
gdzie:
l1 = l2 = 0,01 m
T1 = T2 = 0,01 s
Otrzymujemy taki wynik:
III Wyniki końcowe:
Przyspieszenie ziemskie obliczone dla poszczególnych wartości:
g = 9,84 0,12 [m/s2]
Przyśpieszenie ziemskie obliczone dla wartości średnich:
g = 9,86 2,20 [m/s2]
IV Wnioski:
Z tablic fizycznych wynika, że przyspieszenie ziemskie wynosi 9,81054 m/s2.
Z pomiarów przeprowadzonych na ćwiczeniach wielkość ta wyszła inna niż powyżej. Wpływ na to miało szereg czynników, które sumując się dały tak znaczne odchylenie od normy. Możemy do nich m.in. zaliczyć:
Niedokładne obliczenie długości wahadła. Dokładność metra wynosiła 1mm, jednak metr był giętki i przy pomiarze istniała możliwość przeciągnięcia lub niedociągnięcia podziałki, co przy długościach od 1,2 do 1,31 m mogło zmienić pomiar nawet do 1cm. Błąd mógł również wystąpić przy przykładaniu metra do środka punktu zawieszenia wahadła. W celu zminimalizowania błędu i poszukiwania środka masy odważnika, pomiar wykonano do jego górnej krawędzi. To nie wpłynęło jednak na wynik podczas drugich obliczeń, gdyż przy tych obliczeniach wzór posiada różnice długości wahadeł, a ta jest stała.
Następnie obliczano czas 50 wahnięć. Mogliśmy w nieodpowiednim momencie zatrzymać stoper, zmieniając wynik o
1s, w wyniku czego mogła nastąpić zmiana odczytu pomiaru dla T średnie dla jednego wahnięcia.
Dodatkowe błędy mogły wyniknąć z tego iż przyjęto, że nie ma tarcia nici w punkcie jej zawieszenia oraz, że nie istnieją opory ruchu powietrza przeciwko ruchowi wahadła.
Błąd wynika także z podstawowego założenia prowadzenia pomiaru: przyrząd imitujący wahadło matematyczne nie spełniał całkowicie założeń wahadła matematycznego. Linka nie była w pełni nieważka i nierozciągliwa, a odważnik zawieszony na druciku nie był punktem materialnym a tym samym miał opór powietrza. Ponadto drucik był zawinięty w punkcie przymocowania, a tym samym występowały tam siły tarcia, które podczas wykonywania ruchów były głównym czynnikiem zakłócającym pomiar.
Analizując oba sposoby obliczania przyśpieszenia możemy wywnioskować, że sposób liczenia przyśpieszenia ziemskiego dla poszczególnych okresów i uzyskana w ten sposób wartość średnia jest bardziej zbliżona do wartości tablicowej niż wartość liczona dla różnic średnich wartości okresów okresów i różnicy długości.
Błędy otrzymane dla każdego z wyników również wskazują na dokładniejsze obliczenie przyśpieszenia ziemskiego pierwszym sposobem, czyli dla każdej zmierzonej wartości z osobna, a następnie pozyskanie wartości średniej obliczanej wielkości fizycznej.
2