matma różniczki, Studia, matematyka


RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

DEF 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci

F(x , y , y' )=0,

gdzie y' oznacza pochodną funkcji y zmiennej x.

UWAGA 1. Zamiast y' będziemy również pisać 0x01 graphic
.

DEF 2. Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego jest każda funkcja klasy C1 postaci y=ϕ(x), która spełnia to równanie tzn.: F(x , ϕ(x) , ϕ' (x ) )=0.

DEF 3. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego jest funkcja postaci ϕ(x , C), gdzie CR. Przy ustalonym C rozwiązanie ogólne staje się rozwiązaniem szczególnym.

UWAGA 2. Dane równanie różniczkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych.

PRZYKŁAD 1.Spróbujmy rozwiązać równanie postaci y' = y. Rozwiązaniem tego równania może być funkcja 0x01 graphic
, ponieważ tylko ta funkcja i jej pochodna są równe. Jest to rozwiązanie szczególne bowiem rozwiązanie ogólne jest postaci 0x01 graphic
. Istotnie 0x01 graphic
dla dowolnej liczby rzeczywistej C. Rozwiązanie szczególne powstaje, gdy w rozwiązaniu ogólnym podstawić za C konkretną liczbę np.: C=1.

PRZYKŁAD 2. Rozwiąż równanie

y' = 2y

y = e2x

(e2x)' = 2e2x.

y = e2x- rozwiązanie szczególne

y = C e2x- rozwiązanie ogólne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH

DEF 4. Równaniem różniczkowym zwyczajnym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci

0x01 graphic
,

gdzie p i q oznaczają funkcje ciągłe jednej zmiennej.

PRZYKŁAD 3. Rozwiążemy równanie postaci

y20x01 graphic
= x.

W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania przez dx co daje nam

y2dy= x dx .

Całkujemy obustronnie

y2 dy= x dx .

i otrzymujemy

0x01 graphic
y3 = 0x01 graphic
x2 +C

skąd

y3 = 0x01 graphic
x2 +3 C -rozwiązanie ogólne.

PRZYKŁAD 4. Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Mamy 0x01 graphic
.

Dzielimy najpierw przez (1+x2 ) a następnie przez 0x01 graphic
(0x01 graphic
oraz mnożymy przez dx i otrzymujemy

0x01 graphic
.

Całkujemy obustronnie 0x01 graphic

skąd 0x01 graphic
, więc rozwiązaniem ogólnym jest 0x01 graphic

PRZYKŁAD 5. Rozwiążemy równanie postaci 2x20x01 graphic
= y.

W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania najpierw przez 2x2, x 0 co daje nam 0x01 graphic
,

a następnie przez y przy założeniu, że y 0 i otrzymujemy postać 0x01 graphic
.

Teraz mnożymy obie strony przez element dx i dostajemy 0x01 graphic
.

Całkujemy obustronnie 0x01 graphic

i otrzymujemy ln|y| = - 0x01 graphic
+C

skąd 0x01 graphic
.

Funkcja stała y = 0 jest także rozwiązaniem tego równania , bo 0x01 graphic

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y' = f(ax + by +c)

Rozpatrzymy teraz równanie postaci

y' = f(ax + by +c),

w którym wykonujemy podstawienie

u =ax +by +c

, skąd

0x01 graphic

i

0x01 graphic
, dla b 0.

PRZYKLAD 6. Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
=(x-y)2 + 1 przy warunku początkowym 0x01 graphic
dla x=0.

Podstawmy u = x - y,

skąd 0x01 graphic
,

więc 0x01 graphic
.

Wstawmy to do równania i dostajemy 0x01 graphic
.

Dalej mamy 0x01 graphic

i 0x01 graphic
,

skąd 0x01 graphic
,

czyli 0x01 graphic
.

Wracając do naszego podstawienia otrzymujemy 0x01 graphic
, ostatecznie więc rozwiązaniem ogólnym jest

0x01 graphic
.

Uwzględniając warunek początkowy mamy 0x01 graphic
, czyli C=-2, więc jednym z rozwiązań szczególnych jest funkcja 0x01 graphic
, która dla x=0 przyjmuje wartość 0x01 graphic
.

PRZYKLAD 7. Rozwiąż równanie y' = 2x + 3y +1.

Podstawmy u =2x + 3y +1

oraz u' = 2 +3 y'

stąd y' = 0x01 graphic

Mamy 0x01 graphic
= u

czyli u' - 2 =3 u

0x01 graphic
= 3u + 2

0x01 graphic
= dx

0x01 graphic
ln|3u + 2| = x + C

ln|2x + 3y +1 |= 3x + 3C - rozwiązanie ogólne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y' = f(0x01 graphic
)

Rozpatrzymy teraz równanie postaci

0x01 graphic
,

gdzie f jest ciągła i x 0.

W tym przypadku wykonujemy podstawienie

0x01 graphic
,

skąd

y= x u i 0x01 graphic
.

PRZYKLAD 8.Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Zanim wykonamy podstawienie podzielimy obie strony równania przez 0x01 graphic
. Wówczas otrzymujemy równanie

0x01 graphic
.

Wykonujemy podstawienie 0x01 graphic
skąd 0x01 graphic
.

Dostajemy 0x01 graphic

stąd 0x01 graphic

Po przekształceniach otrzymujemy 0x01 graphic
,

więc 0x01 graphic
.

Po uwzględnieniu wcześniejszego podstawienia otrzymujemy 0x01 graphic
,

skąd 0x01 graphic
.

PRZYKLAD 9. Rozwiąż równanie 0x01 graphic
.

Najpierw dokonujemy podstawienia 0x01 graphic
skąd 0x01 graphic
.

Mamy u + x0x01 graphic
=0x01 graphic
+u

x0x01 graphic
=0x01 graphic

(3+u) du = 0x01 graphic

(3+u) du = 0x01 graphic

3u + 0x01 graphic
u2 = ln|x| + C

30x01 graphic
+0x01 graphic
=ln |x| + C - rozwiązanie ogólne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO

DEF 5. Równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równanie różniczkowe postaci

0x01 graphic
,

gdzie funkcje p i q są ciągłe zadane zaś y funkcją niewiadomą zmiennej x.

UWAGA 3. Jeżeli q(x) = 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym .

UWAGA 4. Jeżeli q(x) ≠ 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.

DEF 6. Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnym jest suma rozwiązań: rozwiązania ogólnego równania różniczkowego jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania różniczkowego niejednorodnego.

SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA R.R.L. I RZĘDU

I. Metoda uzmienniania stałej.

1. Znajdujemy całkę ogólną r.r.l. jednorodnego

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

y = C e-p(x)dx ,C -dowolna stała

2. Uzmiennianie stałej C

C= C(x)

y = C(x) e-p(x)dx ,

3.Różniczkujem y względem x

y' = C' (x) e-p(x)dx + C(x) e-p(x)dx (-p(x)),

4.Podstawiamy y i y' do równania y' + p(x) y = q(x)

C' (x) e-p(x)dx - C(x) p(x) e-p(x)dx + p(x) C(x) e-p(x)dx = q(x)

C' (x) e-p(x)dx = q(x)

C' (x) e-p(x)dx = q(x)

C' (x) = q(x)ep(x)dx

0x01 graphic
= q(x)ep(x)dx

C(x) = q(x)ep(x)dxdx

5.Uzyskane C(x) wstawiamy do 2

y1= e-p(x)dx q(x)ep(x)dx dx -całka szczególna r. r. l. niejednorodnego

6.Rozwiązanie końcowe

yk= y +y1

yk= C(x) e-p(x)dx + e-p(x)dx q(x)ep(x)dx dx (***)

UWAGA 5.Rozwiązanie równania y' + p(x) y = q(x) jest y= C(x) e-p(x)dx + e-p(x)dx q(x)ep(x)dx dx.

PRZYKŁAD 10. Rozwiążmy równanie y' + 0x01 graphic
y = x .

Zauważmy, że p(x) = 0x01 graphic
oraz q(x) = x.

Znajdujemy całkę ogólną r.r.l. jednorodnego: y' + 0x01 graphic
y = 0

Musimy rozwiązać równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych( patrz wyżej)

y' = - 0x01 graphic
y

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ln |y| = -ln|x| +C

y = C10x01 graphic

Uzmienniamy stałą C1

C1= C1 (x)

y = C1(x)0x01 graphic
(*)

y'= C'1(x)0x01 graphic
- C1 (x)0x01 graphic

Podstawiamy y i y' do równania wyjściowego

C'1(x)0x01 graphic
- C1 (x)0x01 graphic
+ 0x01 graphic
C1(x)0x01 graphic
= x

C'1(x)0x01 graphic
= x

C'1(x) = x2

0x01 graphic

dC1 (x) = x2 dx

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Wstawiamy C1 (x) do (*) i mamy y = 0x01 graphic
.

Końcowe rozwiązanie jest sumą rozwiązań yk=0x01 graphic
+ C1(x)0x01 graphic
.

Inny sposób rozwiązania to podstawienie do wzoru (***) ten sposób będzie pokazany w poniższym przykładzie.

PRZYKŁAD 11. Rozwiążmy równanie y' - 3y = 2.

Zauważmy p(x)= -3 oraz q(x) = 2.

Rozwiązanie równania to właściwe podstawienie do wzoru y= C e-p(x)dx + e-p(x)dx q(x)ep(x)dx dx.

Stąd rozwiązanie równania jest postaci

y= C e- (-3)dx + e-(-3)dx 2e(-3)dx dx= C e3x + e3x 2 0x01 graphic
e-3x = C e3x - 0x01 graphic

II. Metoda przewidywań.

y' + p(x) y = q(x)

Metodę przewidywań stosujemy jeśli p(x)= C = Const (czyli jest funkcją stałą) i jeśli potrafimy przewidzieć postać całki szczególnej

q(x) -prawa strona równania

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego

Pn(x) -wielomian P stopnia n

Qn(x) -wielomian Q stopnia n

Pn(x)eαx

Qn(x)eαx ,gdy p -α

xQn(x)eαx ,gdy p= -α

keαx

meαx ,gdy p -α

xmeαx ,gdy p= -α

k cos(bx) + l sin(bx)

m cos(bx) + n sin(bx)

eαx (k cos(bx) + l sin(bx))

eαx (m cos(bx) + n sin(bx))

Pn(x) (cos(bx) +sin(bx))

Qn(x) (cos(bx) + sin(bx))

PRZYKŁAD 12. Rozwiąż równanie y' +3y = 4x +1

Najpierw znajdujemy całkę ogólną równania jednorodnego y' +3y = 0. Zauważmy, że to równanie możemy rozwiązać za pomocą rozdzielenia zmiennych. Rozwiązanie ogólne jest postaci y = C e -3x( C -dowolna stała rzeczywista).

Zauważmy, że funkcja p(x)= 3 jest stała więc możemy zastosować metodę przewidywań. Prawa strona równania wyjściowego czyli funkcja q(x) jest wielomianem stopnia pierwszego dlatego możemy przewidzieć, że poszukiwane rozwiązanie szczególne y1 jest też wielomianem pierwszego stopnia .Stąd y1 = ax +b oraz y'1 = a. Podstawiamy do równania wyjściowego i mamy:

a +3(ax +b)= 4x +1

2ax+a+b=4x+1

Dwa wielomiany są równe jeśli są tego samego stopnia i współczynniki przy odpowiednich potęgach x są równe dlatego musi być spełniony układ równań

0x01 graphic

Tak więc a = 0x01 graphic
oraz b = -0x01 graphic
. Tak więc y1 =0x01 graphic
x - 0x01 graphic
.

Stąd rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązań yk = y+ y1 = C e -3x + 0x01 graphic
x - 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 13. Rozwiąż równanie y' +4y = e 4x(2x2 +1).

W tym rozwiązaniu komentarz oraz poszczególne kroki zostanie ograniczony do minimum.

Rozwiązanie równania jednorodnego y' +2y = 0. Rozwiązanie ogólne tego równania y = C e -4x( C -stała rzeczywista).

p(x) = 4 q(x)= e 4x(2x2 +1) α=4 stąd p -α i przewidywane rozwiązanie szczególne jest postaci

y1 = e 4x (ax2 +bx + c) oraz y'1 = e 4x (4ax2 +(4b+2a)x + 4c+b). Porównując odpowiednie współczynniki otrzymujemy układ

0x01 graphic

stąd a=0x01 graphic
, b=0x01 graphic
i c=0x01 graphic
.

Rozwiązanie szczególne y1 = e 4x (0x01 graphic
x2 +0x01 graphic
x + 0x01 graphic
).

Rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązań yk = y+ y1 = C e -4x+ e 4x (0x01 graphic
x2 +0x01 graphic
x + 0x01 graphic
).

PRZYKŁAD 14. Rozwiąż równanie y' +y = 5 sin 3x.

Rozwiązanie równania jednorodnego y' +y = 0. Rozwiązanie ogólne tego równania y = C e -x( C -stała rzeczywista).

Ponieważ p(x) = 1 możemy stosować metodę przewidywania rozwiązanie szczególne, które będzie jest postaci

y1 = m sin3x + n cos3x oraz y'1 = 3m cos3x - 3n sin3x . Postępujemy jak we wcześniejszych przykładach i otrzymujemy y1 = 0.5 sin3x - 1.5 cos3x.

Rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązań yk = y+ y1 = C e -x + 0.5 sin3x - 1.5 cos3x .

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE II RZĘDU

DEF. 7 Równaniem różniczkowym zwyczajnym II rzędu nazywamy równanie postaci

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
oznaczają kolejno pierwszą i drugą pochodną.

UWAGA 6 Zamiast y',y'' będziemy również pisać 0x01 graphic
.

DEF. 8 Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu jest każda funkcja klasy 0x01 graphic
0x01 graphic
, która spełnia to równanie tzn. 0x01 graphic
.

DEF 9. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu jest funkcja postaci ϕ(x , C1 , C2), gdzie C1 ,C2R. Przy ustalonych C1 iC2 rozwiązanie ogólne staje się rozwiązaniem szczególnym.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE II RZĘDU O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

DEF. 10 Równaniem różniczkowym linowe jednorodne II rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

0x01 graphic
,

gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

DEF. 11 Równaniem charakterystycznym równania różniczkowego o stałych współczynnikach będziemy nazywać następujący trójmian kwadratowy 0x01 graphic
.

UWAGA 7. Jeżeli delta równania charakterystycznego 0x01 graphic
jest większa od zera, to rozwiązaniem równania postaci 0x01 graphic
jest funkcja 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
są pierwiastkami równania 0x01 graphic
.

UWAGA 8.. Jeżeli delta równania charakterystycznego 0x01 graphic
jest równa zero, to rozwiązaniem równania postaci 0x01 graphic
jest funkcja 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest pierwiastkiem podwójnym równania 0x01 graphic
.

UWAGA 9. Jeżeli delta równania charakterystycznego 0x01 graphic
jest mniejsza od zera, to rozwiązaniem równania postaci 0x01 graphic
jest funkcja 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 15. Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Równanie charakterystyczne jest następujące 0x01 graphic
. Delta tego równania jest większa od zera, pierwiastkami są liczby 0x01 graphic
, więc rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 16. Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Równanie charakterystyczne jest następujące 0x01 graphic
. Delta tego równania jest równa zero, pierwiastkiem podwójnym jest liczba 0x01 graphic
, więc rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 17 Rozwiążmy równanie 0x01 graphic

Równanie charakterystyczne jest postaci 0x01 graphic
. Delta równania charakterystycznego jest ujemna i 0x01 graphic
, więc rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja 0x01 graphic
.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE II RZĘDU O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

DEF. 12 Równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym II rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci 0x01 graphic
, gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast funkcja 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą.

UWAGA 10 Aby rozwiązać równanie postaci 0x01 graphic
należy najpierw rozwiązać równanie jednorodne postaci 0x01 graphic
, następnie tzw. metodą przewidywań wyznaczyć rozwiązanie 0x01 graphic
. Rozwiązanie ogólne równania ma postać 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest rozwiązaniem równania jednorodnego 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 17 Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Najpierw rozwiążemy równanie jednorodne postaci 0x01 graphic
, jego rozwiązaniem jest funkcja postaci 0x01 graphic
.

W związku z tym, że po prawej stronie równania jest funkcja 0x01 graphic
, to rozwiązanie 0x01 graphic
przewidujemy jako wielomian pierwszego stopnia postaci 0x01 graphic
.Obliczamy pierwszą i drugą pochodną 0x01 graphic
.

Wstawiamy to do równania

0x01 graphic

i dostajemy

0x01 graphic

, skąd

0x01 graphic
,

więc 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Rozwiązanie 0x01 graphic
jest postaci 0x01 graphic
. Ostateczne rozwiązanie ogólne jest następujące 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 18 Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Rozwiązaniem równania 0x01 graphic
jest funkcja postaci 0x01 graphic
.

Jako rozwiązanie 0x01 graphic
przewidujemy funkcję postaci 0x01 graphic
.

Obliczamy pochodne 0x01 graphic
,

0x01 graphic

i wstawiamy do równania otrzymując 0x01 graphic
.

Po przekształceniach dostajemy 0x01 graphic
.

Porównując obie strony mamy 0x01 graphic
skąd 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Ostatecznie, więc mamy następujące rozwiązanie ogólne 0x01 graphic
.

PRZYKŁAD 19 Rozwiążmy równanie 0x01 graphic
.

Rozwiązaniem równania 0x01 graphic
jest funkcja 0x01 graphic
.

Rozwiązanie 0x01 graphic
przewidujemy w postaci 0x01 graphic
, ponieważ elementy 0x01 graphic
występują już w rozwiązaniu 0x01 graphic
(dla 0x01 graphic
, następnie dla 0x01 graphic
).

Obliczamy pochodne 0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Wstawiamy to do równania 0x01 graphic
i uzyskujemy 0x01 graphic
Po przekształceniach dostajemy 0x01 graphic
skąd 0x01 graphic
oraz b i c są dowolne.

Mamy 0x01 graphic
, więc rozwiązaniem ogólnym jest 0x01 graphic
.

Proszę zwrócić uwagę, że możemy je jeszcze przekształcić do prostszej postaci. 0x01 graphic
.

W związku z tym, że 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są stałymi, to bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy napisać ostateczne rozwiązanie w postaci 0x01 graphic

Jeżeli teraz założymy pewne warunki początkowe 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
i ponieważ 0x01 graphic
to 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
.

Przy tych warunkach początkowych rozwiązaniem szczególnym równania jest funkcja 0x01 graphic

ZADANIA

Zad. 1 Rozwiąż równanie różniczkowe

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic
(4)0x01 graphic

(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic
(7)0x01 graphic
(8)0x01 graphic

(9)0x01 graphic
(10)0x01 graphic
(11)0x01 graphic
(12)0x01 graphic

(13)0x01 graphic
(14)0x01 graphic
(15)0x01 graphic
(16)0x01 graphic

(17)0x01 graphic
(18)0x01 graphic
(19)0x01 graphic
(20)0x01 graphic

(21)0x01 graphic
(22)0x01 graphic
(23)0x01 graphic
(24)0x01 graphic

(25)0x01 graphic
(26)0x01 graphic
(27)0x01 graphic
(28)0x01 graphic

(29)0x01 graphic
(30)0x01 graphic
(31)0x01 graphic
(32)0x01 graphic

(33)0x01 graphic
(34)0x01 graphic
(35)0x01 graphic

Zad. 2 Rozwiąż równanie różniczkowe spełniające warunki początkowe

(1) 0x01 graphic
,x=e i y=3 (2)0x01 graphic
,x=2 i y=-1

(3) 0x01 graphic
,x = 0 i y = 1 (4) 0x01 graphic
x=2,y=0



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matma sciaga, Studia, Matematyka wyższa ;p
matma - kolo3, Studia, BUD 1 rok, Matematyka
Równania różniczkowe sciąga, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka
Równania różniczkowe, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEM
matma egz, Studia UJK, Matematyka
matma zadania, Budownictwo-studia, Matematyka
C2, Matematyka studia, Matematyka dyskretna
mat, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEMATYKA WYKŁADY
Planimetria i geometria analityczna zadania, Zadania na studia z matematyki
w1, finanse i rachunkowość - studia, matematyka finansowa
4.Całka różniczki zupełnej, MATEMATYKA, CAŁKI, CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE, 01Całki krzywol
matematyczne, Budownictwo-studia, Matematyka
Praca dom z mat (6), studia, matematyka
WZORY (1), STUDIA, Matematyka finansowa
Sciaga Macierz-odwrotna, studia, matematyka
15, studia, studia, matematyka, całki i szeregi
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, Ekonomia- studia, matematyka
C7, Matematyka studia, Matematyka dyskretna

więcej podobnych podstron