Funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X nazywamy każdą

funkcję F(x), taką że F'(x)=f(x) dla x € X

Tw. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w prz. X to funkcja pierwotna F(x) też jest ciągła w X.

Całka nieozn. całką nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale X nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f(x) i oznaczamy ∫ f(x)dx

Wniosek z tw. o funkcjach pierwotnych ∫f(x)dx=F(x)+C, gdzie C€R i F'(x)=f(x) funkcję nazywamy całkowalną w prz. X jeżeli ma w tym prz. funkcję pierwotną.

Tw jeżeli funkcja jest ciągła w X to jest całkowalna w tym przedziale. Ciągłość jest W.D. całkowalności funkcji.

Tw. całk przez podstawienie - jeżeli funkcja g: X→T ma ciągłą pochodną w X i funkcja f jest ciągła w T to: ∫f[g(x)] ⋅ g'(x)dx=∫f(t)dt

Tw. całk przez części - jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne w X, to

∫f'(x) ⋅ g(x)dx=fx ⋅ g(x) - ∫f(x) ⋅ g'(x)dx

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Każda funkcja wymierna jest ilorazem wielomianu f(x)=P(x)/Q(x)

Df = {x€R: Q(x) ≠ 0 }

Def:

A_a / (x-a)ⁿ , n=1,2,3,... (A;a - stałe) nazywamy ułamkami prostymi I rodzaju

Funkcje wymierne postaci A_x + B/ (x²+px+q)ⁿ , gdzie ∆=p²-4q<0, n=1,2,3... (A,B,p,q-stałe) nazywamy ułamkami prostymi II rodzaju.

Tw. o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste: każdą wymierną f(x)=P(x)/Q(x), gdzie stała P(x) < stała Q(x) można przedstawić w postaci sumy skończonej ilości ułamków prostych I i II rodzaju.

Rozkład ułamka właściwego na ułamki proste związany jest z rozkładem jego mianownika na czynniki pierwsze A wiadomo, że wielomian o wsp. rzeczyw. można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej II x-a, x²+px+q (∆<0)

1. Jeżeli w mianowniku występuje wyrażenie (x-a)ⁿ to w rozkładzie ułamka właściwego pojawi się następująca suma ułamków prostych I rodz.

A₁/x-a + A₂ / (x-a)² +...+ A_n / (x-a)ⁿ

2. Jeżeli w mianowniku występuje wyrażenie (q² + px + q)ⁿ przy czym ∆=p²-4q<0 to w rozkładzie ułamka właściwego pojawi się suma ułamków prostych II rodzaju

A_x + B₁/ q² + px + q + A_x + B₂/(q² + px + q)² +...+ A_xn + B_n/(q² + px + q)ⁿ

Tw. o rozkładzie funkcji wymiernej na sumę wielomianu i ułamków prostych. Każdą funkcję wymierną f(x)=P(x)/Q(x), gdzie stała P(x) ≥ st. Q(x) można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych I i II rodzaju.

Uzasadnienie: Skoro stopień P(x) ≥ stopień Q(x), to istnieją takie wielomiany W(x) i R(x), przy czym stała R(x)<st.Q(x) Istnieją takie wielomiany, że P(x)=W(x) ⋅ Q(x) + R(x) Zatem P(x)/Q(x)=W(x) + R(x)/Q(x), gdzie st. R(x)<Q(x)

---