BRYŁA SZTYWNA - ZADANIA

1. Oblicz moment bezwładności układu składającego się z 3 mas: m1, m2 oraz m3, umieszczonych w rogach trójkąta równobocznego o boku długości a, względem osi przechodzącej przez środek masy układu i prostopadłej do płaszczyzny trójkąta,

2. Jednorodny walec o masie M oraz promieniu R ustawiono na równi pochyłej o kącie nachylenia a. Z jakim przyspieszeniem liniowym i kątowym będzie poruszać się walec, jeśli puścimy go swobodnie ? Jaką prędkość będzie miał walec po przebyciu drogi L wzdłuż równi ? Jaką pracę wykona na tej drodze siła tarcia ? Rozważyć przypadek ruchu bez poślizgu.

3. Na gładkim, poziomym stole leży pręt o masie M i długości L. W odległości d<L od środka pręta uderza w niego krążek o masie m, poruszający się poziomo, prostopadle do pręta z prędkością v. Zderzenie jest idealnie sprężyste. Znajdź ruch pręta oraz krążka po zderzeniu.

4. Człowiek o masie m stoi na brzegu płyty o promieniu R i momencie bezwładności I, mogącej obracać się bez tarcia wokół osi prostopadłej do płaszczyzny płyty i przechodzącej przez jej środek. Człowiek zaczyna poruszać się po obwodzie płyty. Jaką drogę względem płyty pokona człowiek do momentu kiedy zatoczy on pełen okrąg w nieruchomym układzie odniesienia ?

5. Ile wynosi praca, jaką należy wykonać, aby koło zamachowe o momencie bezwładności I rozpędzić tak, by wykonywało n obrotów w ciągu jednostki czasu?

6. Wirówka obracająca się z częstotliwością 3000 obr / min została wyłączona i zatrzymała się po czasie 30 s. Oblicz średnie przyspieszenie kątowe i całkowitą liczbę obrotów od chwili wyłączenia wirówki do jej zatrzymania.

7. 
   Koło zamachowe zostało rozpędzone w czasie 5s, a następnie zahamowane w czasie 25 s. Oblicz na podstawie wykresu przyspieszenia kątowe podczas rozpędzania i podczas hamowania.

8. 
   Metalowy, jednorodny krążek został wprawiony w ruch obrotowy wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek przez siłę o wartości 49 N styczną do obwodu krążka (rys). Podczas wirowania krążek hamowany jest siłą tarcia, której moment względem osi wynosi 2,45 Nm. Jaką masę ma krążek? Wiadomo, że obraca się on z przyspieszeniem kątowym 50 s^-2 , r= 25 cm.

9. Nieruchomy walec o momencie bezwładności 25 kg*m² został wprawiony w ruch obrotowy wokół osi równoległej do tworzącej i przechodzącej przez jego środek. Moment siły względem osi obrotu wynosił 50 Nm. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia obracania się walec wykona 400 obrotów? Wiadomo, że jego prędkość kątowa rośnie liniowo, poczynając od wartości 0.

10. Pręt o długości 1m i masie 400 g wiruje wokół pionowej osi, prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek. Jakie jest przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym pręta, gdy działa na niego moment siły 0,05 Nm ?

11. Metalowe koło o momencie bezwładności 120 kg *m² wiruje z prędkością kątową 25 1/s wokół osi przechodzącej przez środek koła. Oblicz moment siły hamującej, która spowoduje zatrzymanie się koła po czasie 20 s.

12. Do jednorodnego krążka o promieniu 40 cm i masie 50 kg przyłożono stycznie do jego obwodu siłę o wartości 50 N (patrz rys w zad. 4).Po jakim czasie krążek uzyska prędkość kątową 100 1/s ?

13. Koło zamachowe pod wpływem siły napędzającej obracało się z częstotliwością 16 Hz. Kiedy wyłączono silnik napędzający koło, zatrzymało się ono po 50 s. Jaki był moment siły hamującej? Moment bezwładności koła wynosił 50 kg *m².

14. 
    Przez blok nieruchomy, który ma moment bezwładności I, przerzucono nić i na jego końcach umieszczono dwa ciężarki o masach m₁ i m₂. Jakie będą siły napinające nici po obu stronach bloku, jeżeli układ ciężarków zacznie poruszać się pod wpływem siły ciężkości?

15. Na jednorodny wałek o masie 4 kg nawinięta jest linka, na której końcu umocowany jest ciężarek o masie 1 kg. Z jakim przyspieszeniem będzie opadał ciężarek? Wałek może swobodnie i bez tarcia obracać się względem osi przechodzącej przez jego środek.

16. 
    Blok nieruchomy o masie 0,5 kg umieszczony jest na krawędzi stołu. Przez blok przełożono linkę, do której końców przymocowano dwa jednakowe ciężarki o masach 0,5 kg. Z jakim przyspieszeniem będzie przesuwał się ciężarek po stole? Współczynnik tarcia o stół wynosi 0,2.

17. Po stole toczy się bez poślizgu moneta o masie 50 g z szybkością 4 m/s. Jaka jest jej energia całkowita?

18. Jednorodna kula toczy się bez poślizgu po poziomej powierzchni. Jaki jest stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego kuli do jej całkowitej energii kinetycznej?

19. Obręcz i krążek o jednakowych masach toczą się bez poślizgu po poziomej powierzchni z jednakowymi prędkościami v. Oblicz całkowitą energię kinetyczną krążka. Całkowita energia kinetyczna obręczy wynosi 16 J.

20. Energia kinetyczna wału obracającego się z częstotliwością 10 obr/s wynosi 120 J. Jaki jest moment pędu wału?

21. Z jaką liniową szybkością v będzie się poruszać środek masy obręczy staczającej się bez poślizgu z równi pochyłej w jej najniższym punkcie ? Wysokość równi wynosi 1 m, a obręcz zaczęła staczać się ze szczytu równi z zerową prędkością początkową.

22. Wentylator obracał się z częstotliwością 15 obr /s. Po wyłączeniu zasilania wentylatora jego łopatki wykonały jeszcze 75 obrotów, a siły oporów ruchu wykonały pracę 43,3 J. Jakie wartości mają moment bezwładności obracającej się części wentylatora i moment sił oporów ruchu? Zakładamy, że prędkość obrotowa wentylatora od chwili wyłączenia go malała liniowo.

23. 
    Na wałek o promieniu 10 cm i momencie bezwładności 0,49 kg*m² nawinięta jest linka, do której końca przywiązany jest ciężarek o masie 2 kg. Wałek może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Jaką różnicę wysokości powinien pokonać ciężarek, aby swobodnie opadając pod wpływem siły ciężkości i obracając wałkiem, spowodował jego obracanie się z częstotliwością 3 obr/min ?

24. Ołówek o długości 15 cm stoi pionowo na stole. Jaką prędkość będzie miał górny koniec ołówka w chwili dotknięcia stołu, jeżeli ołówek wywróci się bez poślizgu?

25. Rowerzysta cyrkowy o całkowitej masie M wraz z rowerem zjeżdża z pewnej wysokości h i wjeżdża na tor zwany „ martwą pętlą”. Jaka powinna być co najmniej wysokość h, aby rowerzysta przejechał całą pętlę? Promień pętli wynosi R, każde koło roweru ma masę m. Koło należy potraktować jako cienki pierścień.

26. Platforma obrotowa o masie 341 kg wiruje w płaszczyźnie poziomej z częstotliwością 12 obr/min wokół osi przechodzącej przez jej środek. Na brzegu platformy stoi człowiek o masie 75 kg. Z jaką częstotliwością będzie obracać się platforma, jeżeli człowiek przejdzie do jej środka? Platforma ma kształt dużego krążka, człowieka można uznać za masę skupioną w jednym punkcie.

27. Łyżwiarz wiruje na lodzie z częstotliwością 1Hz, mając rozłożone szeroko ręce. Jeśli przyciągnie ręce do tułowia jego moment bezwładności zmaleje z 2,94 do 0,98 kg*m². Z jaką częstotliwością będzie obracać się łyżwiarz po przyciągnięciu rąk?

28. Oblicz moment bezwładności „hantli” składającej się z cienkiego pręta o masie m₁=0,1 kg i długości l=0,2 m oraz dwóch kul o masach m₂=0,5 kg i o promieniach R=5 cm względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek ciężkości.

29. Kulka o bardzo małym promieniu, której masa wynosi m=1 g porusza się po okręgu o promieniu R=12 cm. Oblicz moment pędu tej kulki względem środka okręgu, jeżeli okres ruchu tej kulki wynosi T=0,2π s.

30. Jednorodny walec o masie m=3 kg i promieniu R=20 cm obraca się wokół osi symetrii z częstotliwością f=100 1/s. Oblicz moment pędu walca.

31. Przy uruchomieniu silnika elektrycznego na jego wirnik o momencie bezwładności I=3kg*m2 działa moment siły M= 30N*m. Po jakim czasie wirnik osiągnie częstotliwość f=1200 obr/min?

32. Cienka obręcz o promieniu R=5 cm toczy się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α=30o. Jaką prędkość kątową będzie miała obręcz po czasie t=5 s od początku ruchu?

33. Jednorodny walec o masie m=0,4 kg obraca się jednostajnie wokół osi tak, że jego energia kinetyczna wynosi E=10 J. Oblicz prędkość liniową punktów na obwodzie walca.

Jaką pracę należy wykonać, aby słup telegraficzny o masie M = 200 kg, do którego wierzchołka przymocowano poprzeczkę o masie m = 30 kg, podnieść z położenia poziomego do pozycji pionowej, jeżeli długość słupa jest równa l =10m ? Przyspieszenie ziemskie przyjąć g = 10 m/s².

35. Znaleźć hamujący moment siły, który może zatrzymać w ciągu czasu t = 20 s koło zamachowe o masie m = 50 kg i promieniu R = 0,3 m obracające się z częstotliwością f = 30 s^-1 . Założyć, że masa koła zamachowego rozmieszczona jest na jego obwodzie. Jaka praca będzie potrzebna do zatrzymania tego koła zamachowego?

Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty bezwładności tarcz wynoszą I₁ oraz I₂, a ich prędkości kątowe ω₁ i ω₂. Po upadku tarczy górnej na dolną obie tarcze ( w wyniku działania sił tarcia) obracają się razem jak jedno ciało. Wyznaczyć:

1. prędkość kątową tarcz po złączeniu;

2. pracę wykonaną przez siły tarcia.

37. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć prędkość kątową tarczy ω, gdy człowiek zacznie poruszać się wzdłuż jej brzegu z prędkością v względem niej.

Człowiek o masie m stoi na osi obrotowego stolika o promieniu R trzymając oburącz za oś, pionowo nad głową obracające wokół tej osi (pionowej) z prędkością kątową ω_o koło rowerowe o momencie bezwładności I_o. Wyznaczyć prędkość kątową ω₁ ruchu obrotowego stolika po:

1. obróceniu przez człowieka koła o kąt 180^o,

2. zahamowaniu koła przez człowieka.

Moment bezwładności stolika z człowiekiem wynosi I.

39. Listwa drewniana o długości l i masie m może się obracać dookoła osi prostopadłej do listwy, przechodzącej przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m₁, lecący z prędkością v₁ w kierunku prostopadłym do osi i do listwy. Znaleźć prędkość kątową, z jaka listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk.

Na poziomym, doskonale gładkim stole leży pręt o długości l i masie m. W koniec pręta trafia pocisk o masie m₁, lecący z prędkością v₁ w kierunku prostopadłym do osi pręta. Znaleźć prędkość kątową, z jaką pręt zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk oraz wartość prędkości liniowej środka pręta.

---