Statystyka- wzory

• średnia arytmetyczna ważona dla szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi

lub

n-liczba obserwacji

_i- środek przedziału klasowego(
)

• W szeregu rozdzielczym przedziałowym dominantę można wyznaczyć graficznie ( wykorzystując histogram) lub analitycznie ( za pomocą wzoru):

D- wartość dominanty

x_OD- dolna granica przedziału, w którym znajduje się dominanta

n_D- liczebność przedziału dominanty

n_D-1- liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

n_D+1- liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty

h_D- rozpiętość (długość) przedziału dominanty

• Wyznaczanie mediany w szeregu indywidualnym:

Analizowany szereg należy uporządkować od wartości najmniejszej do największej, a następnie stosujemy wzór:

Me=
, dla n nieparzystych

Me=0,5(
), dla parzystych

• Wzór dla mediany w szeregu przedziałowym:

Me=

x_OMe- dolna granica przedziału, w którym znajduje się mediana

n_Me- liczebność przedziału mediany

n_sk-1- zsumowana narastająco (skumulowana) liczebność przedziałów poprzedzających przedział mediany

h_Me- rozpiętość przedziału mediany

• Wzór dla kwartyla pierwszego w szeregu przedziałowym:

Q₁=

• Wzór dla kwartyla trzeciego w szeregu przedziałowym:

Q₃=

• Podstawową miarą zmienności jest odchylenie standardowe:

S(x)=
, gdzie S²(x)- wariancja

• Wzory na wariancję:

S²(x)=
- szereg szczegółowy (indywidualny)

S²(x)=
- k- liczba klas, szereg rozdzielczy punktowy

S²(x)=
- szereg rozdzielczy przedziałowy

• Klasyczny współczynnik zmienności ( miara względna)

• Typowy obszar zmienności:

MIARY ASYMETRII I KONCENTRACJI

• moment zwykły rzędu r:

dla r= 1,2,…

m_r=x - najprostszy moment zwykły to średnia arytmetyczna

• Moment centralny rzędu r:

µ₁=0 wynika z własności średniej arytmetycznej (suma odchyleń od średniej arytmetycznej jest równa zero)

µ₂=S²(x) drugi moment centralny to wariancja

Dodatkowy wzór na wariancję:

S²(x)=m₂- (m₁)²

• Wskaźniki asymetrii Ws:

Ws=
- D lub W_s= (Q₃-Q₂)- (Q₂-Q₁)

• Mieszany ( klasyczny i pozycyjny) współczynnik asymetrii:

, S(x) - miary klasyczne ( jeżeli we wzorach jest średnia arytmetyczna)

D- miara pozycyjna

Przyjmuje najczęściej wartości w przedziale od -1 do 1

• Pozycyjny współczynnik asymetrii:

Q- odchylenie ćwiartkowe

• określa siłę i kierunek asymetrii jednostek zawartych między pierwszym i trzecim kwartylem

• przyjmuje wartości wyłącznie z przedziału [-1,1]

• Klasyczny współczynnik asymetrii:

• Klasyczny współczynnik koncentracji:

µ₄- moment czwarty centralny [mi 4]

• Pozycyjny współczynnik koncentracji:

D₉, D₁- decyl dziewiąty i pierwszy

• współczynnik korelacji liniowej Pearsoha ( współczynnik korelacji)

W liczniku występuje kwariancja (cov(x,y)) będąca średnią arytmetyczną iloczynu odchyleń wartości zmiennych X i Y od ich średnich arytmetycznych: [mierzy kierunek zależności nie siłę]

• Współczynnik korelacji kolejnościowej Spearmana:

interpretuje się go jak Pearsona

• Agregatowy indeks ilości według formuły Laspayesa ma postać:

• Agregatowy indeks ilości według formuły Paaschego:

• Agreatowe indeksy ilości informują o tym pile- przeciętnie rzecz biorąc- wzrosła lub zmalała ilość określonego zbioru artykułów (wyborów, produktów) w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym.

Przy obliczaniu agregatowych indeksów cen rolę wag spełniają ilości:

Agregatowy indeks cen:

Według formuły Laspeyresa:

Według formuły Paaschego:

Statystyka matematyczna:

Rozkład dwumianowy:

Jeżeli chcemy określić prawdopodobieństwo wystąpienia k razy określonego zdarzenia w n niezależnych doświadczeniach przy danym prawdopodobieństwie p wystąpienia tegoż zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu korzystamy z rozkładu dwumianowego

gdzie:

n- liczba powtórzonych zdarzeń

p- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu

q=1-p prawdopodobieństwo porażki, czyli niewystąpienia zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu

k- liczba sukcesów, czyli doświadczeń, w których ma wystąpić dane zdarzenie

Dla rozkładu dwumianowego zachodzi:

• wartość oczekiwana E(X)=np.

• wariancja D²(X)=npq

• normalny (Gaussa)

Jednym z najważniejszych rozkładów ciągłych jest rozkład normalny.

Zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

gdzie: E(x)=m,
=D(x), exp{a}=e^a, e= 2,7182

1

---