Wydział: FIZYKI	Dzień/godzina				NR zespołu: 23
		Data:		19.04.2004
1. Kuhiwczak Marcin 2. Waśkiewicz Łukasz		Ocena z przygotowania		Ocena z sprawozdania	Ocena końcowa
Prowadzący: dr Michał Urbański				Podpis Prowadzącego:

1.TEMAT:

Drgania proste harmoniczne: wahadło rewersyjne i wahadło torsyjne.

2. CEL ĆWICZENIA:

Celem wykonywanego przez nas ćwiczenia było wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego, oraz modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego.

3. WPROWADZENIE:

Wahadło rewersyjne:

Wahadło rewersyjne jest to specjalny rodzaj wahadła fizycznego. Wahadło na którym przeprowadzaliśmy doświadczenie składało się z pręta o długości l, dwóch równoległych przesuwanych osiach zaczepu O₁ i O₂ ( dzięki czemu mogliśmy regulować rozkład masy),

oraz obciążnika.

Energia potencjalna wahadła jest sumą energii potencjalnych uzyskiwanych przez środek ciężkości(zmieniany przez nas):

Człon M·g·b pełni funkcję grawitacyjnego momentu kierującego(wytwarzanego przez siłę ciężkości).

Do ostatecznego wyprowadzenia wzoru na energię wykorzystaliśmy rozwinięcie sinusa w szereg Taylora (ograniczając się do pierwszego wyrazu, gdyż dla małych kątów następne poprawki są nieistotne):

Energia kinetyczna wahadła jest sumą energii kinetycznych uzyskiwanych przez każdą z części naszego wahadła:

ω - prędkość kątowa, która dzięki sztywności pręta jest porównywalna z wychyleniem wahadła θ i jej wartość nie zmienia się na całej długości.

Więc:

Moment bezwładności I obliczyliśmy korzystając z twierdzenia Steinera.

Całkowita energia układu jest więc stała i wynosi:

θ zmienia się następująco :
, gdzie:

• θ₀ - amplituda drgań (oscylacji)

• φ - faza

Skąd z dobrym przybliżeniem możemy obliczyć ω :

Ponieważ:
całkowity moment bezwładności

Wzór ten możemy przekształcić do następującej postaci:

Z której to postaci będziemy korzystać w dalszych obliczeniach

Aby obliczyć okres drgań wahadła rewersyjnego musimy wprowadzić pojęcie długości zredukowanej, czyli długości wahadła fizycznego równej długości wahadła matematycznego o tym samym okresie drgań.

W naszym przypadku wynosi ona:

Badany przez nas okres drgań wahadła względem osi A będzie wynosił więc:

Powyższy wzór musi by zgodny również dla osi A^' :

_'

Wahadło torsyjne

W wahadle torsyjnym drgania powodowane są przez naprężenia w materiale. W naszym wypadku są to naprężenia sieczne, które charakteryzuje wzór:

, gdzie :

F_S - siła styczna do powierzchni

S - powierzchnia na którą działa siła

Korzystając z prawa Hooke'a:

wyprowadzimy wzór dla cylindrycznego pręta od grubości dr i promieniu wewnętrznym r' oraz długości l. Wiedząc że
, gdzie s to element łuku
otrzymujemy:

Możemy teraz policzyć moment siły skręcającej pręt:

gdyż:

Po scałkowaniu otrzymujemy:

moment siły powodujący drgania

Korzystając z II zasady dynamiki otrzymujemy:

Ponieważ nie jesteśmy w stanie policzyć bezwładności wahadła, będziemy robić pomairy dla różnego jego obciążenia co pozwoli nam wyeliminować tą niedogodność. W tym celu przekształcamy wzór na okres do postaci:

4.WYKONANIE ĆWICZENIA:

Wahadło torsyjne:

Po zmierzeniu parametrów aparatury przystępujemy do dokonania pomiarów, w tym celu zakładamy na ramiona wahadła, po 2 ciężarki na przeciwległych ramionach. Wychylając wahadło o niewielki kąt z położenia równowagi i mierzymy czas 20 wahnięć.

Wahadło rewersyjne:

Zdejmujemy jedną ruchomą oś zakładamy oba ciężarki na końce pręta (2 cm od końców). Po wychyleniu wahadła z położenia równowagi znów mierzymy czas 20 okresów. Przesuwając po każdym pomiarze oś o 2 cm w stronę środka pręta. Robimy to do momentu gdy wahania zostaną wytłumione na 4 cm od środka dokonujemy wtedy pomiaru dla 5 cm od środka.

Zakładamy drugą ruchomą oś budując układ jak na rysunku. Następnie dokonujemy pomiaru czasu 15 wahnięć (gdyż jedynie na tyle starczy nam czasu), przesuwając za każdym razem ciężarek m_a o 3 cm w kierunku osi O'.

5.TABLEKI Z WNIKAMI I WYKRESY

Wahadło torsyjne:

l=1,29 ± 0,002 [m] Długość pręta

d=0,15 ± 0,01 [m] Odległość środka ciężarków od osi obrotu

Charakterystyka dla 20 wahnięć wahadła torsyjnego
Ilość odważników	masa odważników [kg]	czas					czas [s]	okres [s]
				min	:	s			:
2	1,0615	0	:	45	:	60	45,60	2,28
4	2,1230	0	:	52	:	69	52,69	2,63
6	3,1845	1	:	9	:	85	69,85	3,49
8	4,2460	1	:	18	:	69	78,69	3,93

Z powodu braku odważników i odpowiedniej ilości czasu odważniki mierzyliśmy tylko parami po dwa. Następnie liczymy średnią arytmetyczną oraz niepewność wartości średniej:

Wyniki zamieszczamy w tabelce:

Ciężarki	masa [g]
1,2	1062
3,4	1062
5,6	1060
7,8	1062
Średnia:	1061,5	±	0,0005 [g]

Czyli dla pojedynczego ciężarka m=0,5307 ± 0,0003 [kg]

Na tej samej zasadzie liczymy:

Promień odważników:

Odważnik	Średnica [mm]
1	86,1
2	86,0
3	86,1
4	86,0
5	85,9
6	86,1
7	86,1
8	86,1
Średnia	86,05	±	0,026726 [mm]

Promień ciężarka r=0,043025 ± 0,000013 [m]

Promień pręta na jakim zawieszone jest wahadło:

Tara dla śruby wynosi 0,00 mm

pomiar	średnica[mm]
1	3,52
2	3,47
3	3,47
4	3,48
5	3,47
6	3,47
7	3,48
8	3,47
9	3,47
10	3,48
11	3,48
12	3,48
13	3,49
14	3,48
15	3,48
16	3,48
17	3,47
18	3,48
19	3,48
20	3,48
21	3,48
22	3,49
23	3,50
24	3,49
25	3,46
średnia	3,48	±	0,00238 [mm]

Otrzymując ostatecznie R=0,0017400 ± 0,0000012 [m]

Teraz korzystając z wyprowadzonego wzoru

Przyjmujemy że n·m=x oraz
i korzystamy z metody najmniejszych kwadratów

Średnie odchylenia standardowe Sa i Sb wyrażają się za pomocą wzorów:

podstawiając za:

zaokrąglając otrzymujemy:

Błąd wyznaczenia masy jest na tyle niewielki w porównaniu z mierzoną masą, że słupki błędów na wykresie pozostają niewidoczne

Korzystając z tego że wyznaczony współczynnik prostej kierunkowej to:

oraz

otrzymujemy

Błąd liczymy metodą różniczki zupełnej:

Moduł sprężystości wynosi

Wahadło rewersyjne:

x[cm]	czas					Czas[s]
		min	:	s	:
40	0	:	48	:	34	48,34
42	0	:	48	:	66	48,66
44	0	:	49	:	84	49,84
46	0	:	51	:	63	51,63
48	0	:	53	:	35	53,35
50	0	:	55	:	59	55,59
52	0	:	58	:	22	58,22
54	1	:	1	:	35	61,35
56	1	:	6	:	3	66,03
58	1	:	11	:	12	71,12
60	1	:	18	:	97	78,97
62	1	:	25	:	84	85,84
64	1	:	46	:	62	106,62
65	1	:	58	:	40	118,40

l_p=1,4 ± 0,01 [m] Długość wahadła

m_p=0,91 ± 0,005 [kg] Masa wahadła

m_c=0,76 ± 0,005 [kg] Masa ciężarka

Do wyprowadzonego wzoru podstawiamy:

, gdzie 0,02 jest to odległość ciężarków od końca wahadła.

We wzorze:

podstawiamy za
oraz
i ponownie korzystamy z metody najmniejszych kwadratów, lecz tym razem z jej uproszczonej wersji gdyż współczynnik b=0, a więc

a widzimy że

Przyśpieszenie ziemskie w warszawie wynosi g=9,81241

(Tablice Matematyczno-Fizyczne czterocyfrowe Władysław Wojtowicz W-wa 1971)

Charakterystyka dla 15 wahnięć wahadła

x[cm]	Czas			Czas [s]	Okres [s]	Czas			Czas [s]	Okres [s]
		s	:								s	:
33	28	:	81	28,81	1,92	35	:	69	35,69	2,38
30	28	:	66	28,66	1,91	34	:	31	34,31	2,29
27	28	:	41	28,41	1,89	33	:	53	33,53	2,24
24	28	:	13	28,13	1,88	32	:	19	32,19	2,15
21	27	:	93	27,93	1,86	32	:	25	32,25	2,15
18	27	:	44	27,44	1,83	30	:	44	30,44	2,03
15	27	:	38	27,38	1,83	29	:	50	29,50	1,97
12	26	:	87	26,87	1,79	28	:	54	28,54	1,90
9	27	:	0	27,00	1,80	27	:	94	27,94	1,86
6	26	:	18	26,18	1,75	27	:	32	27,32	1,82

Nie przecięcie się wykresów najprawdopodobniej zostało spowodowane nieprzemyślanym ustawieniem ciężarka m_b i brakiem czasu na dokończenie pomiarów.

6. Wnioski

Podczas wykonywania ćwiczenia musieliśmy dokonać wielu uproszczeń, dokładność naszych pomiarów - głównie ze względu na niedoskonałość sprzętu, pozostawia wiele do życzenia - co najlepiej obrazują uzyskane przez nas wyniki.

Dla wahadła rewersyjnego przyjęliśmy odważniki jako masy punktowe. Aby uprościć obliczenia nie uwzględniliśmy masy osi.(a to bardzo ciekawe bo jednak to uwzględniliśmy) Należy uwzględnić uszkodzenia zaczepu osi, które powodowały dodatkowe wygaszanie drgań, oraz przesuwanie się osi w pionie. Podobna sytuacja dotyczyła zaczepu ciężarka ( który opadał), tak więc pomiar odległości pomiędzy osią a środkiem ciężkości obarczony jest błędami na które nie mieliśmy wpływu. Zaznaczmy jeszcze, iż pręt który stanowił „rdzeń” układu był krzywy. Fakt ten powoduje dodatkowe obarczenia naszych wyników błędami.

Aby wyniki były dokładniejsze pręt powinien być prosty - z możliwie największą dokładnością, zaczepy osi i ciężarków powinny być wzmocnione, powinniśmy również uwzględnić, że odważniki nie są masami punktowymi, oraz uwzględnić dokładne masy osi.(j.w)

Dla wahadła torsyjnego, głównymi czynnikami wpływającymi na dokładność pomiarów była mała ilość ciężarków, wspomniany już wcześniej niedokładny pomiar ich masy (wynikający z dużej niedokładności wagi, oraz braku odpowiednich odważników), oraz zbyt krótki czas pomiarów. W opracowaniach wyników, aby uprościć obliczenia przyjęliśmy, że ciężarki to wypełnione walce ( bez wydrążonej dziury ), nie uwzględniliśmy również oporu powietrza. Aby poprawić otrzymany wynik należałoby przeprowadzić dokładny pomiar masy odważników, zwiększyć ich ilość, oraz czas eksperymentu. Powinniśmy również uwzględnić rzeczywisty kształt odważników.

- 4 -

x

x

x

---