Podstawowe wzory i twierdzenia, Matematyka(1)


1

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

1.1 Definicja i interpretacja geometryczna funkcji rzeczywistej o dwóch zmiennych rzeczywistych.

Jeżeli 0x01 graphic
pryporządkowana jest dokładnie jedna wart. ZR to mówimy, że w zb Z określona jest f. rzeczywista o dwuch zmiennych x,y i ozn. ją Z=f(x,y) lub f:DR.

Def. Granica podwójna w pkt.

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x,y) w Po gdy dla każdego ciągu punktów Pn (Pn ? Po, Pn ? Po, Pn D) f(Pn) ? g

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

1.2. Def. funkcji ciągłej w punkcie.

Niech Po(xo,yo) należy do obszaru określoności funkcji f(x,y).

Def. f(x,y) nazywamy ciągłą w punkcie Po jeżeli:

1o f posiada granicę w Po

2o f posiada wartość w Po

3o g=f(xo,yo)=f(Po)

0x01 graphic

1.3. Def. pochodnej cząstkowej I rzędu ze względu na zmienną x dla funkcji o dwóch zmiennych.

Niech f(x,y) określona w Q(Po) 0x01 graphic

Tw. Schwarza.

Jeżeli f(x,y) ma w obszarze D ciągłe pochodne mieszane II rzędu, to 0x01 graphic
dla każdego punktu tego obszaru.

1.4. Def. pochodnej cząstkowej I rzędu ze względu na zmienną y.

Niech f(x,y) określona w Q(Po) 0x01 graphic

Def. pochodnej kierunkowej dla funkcji o dwóch zmiennych.

f : Q(Po)

0x01 graphic

PQ(Po); PPo 0x01 graphic
jeżeli istnieje ta granica, to będziemy ją nazywać pochodną kierunkową w kierunku prostej Pos.

1.5. Wzory: poch. funkcji uwikłanej 0x01 graphic
.

1.6. Wzory: pochodna funkcji złożonej o jednej i dwóch zmiennych.

1) jednej zmiennej:

0x01 graphic

2) dwóch zmiennych:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.7. Def. różniczki zupełnej I rzędu

Niech f(x,y) będzie różniczkowalna w punkcie Q(Po). Składnik liniowy 0x01 graphic
nazywamy różniczką zupełną funkcji f(x,y) w punkcie Po oznaczamy symbolem 0x01 graphic

1.8. Warunek konieczny istnienia ekstremum.

Jeżeli f(x,y) ma w Po poch. 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i ma w tym punkcie ekstremum, to 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Warunek wystarczający.

Jeżeli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to f(x,y) posiada w Po ekstremum gdy W(Po )>0 (0x01 graphic
, 0x01 graphic
). 0x01 graphic
.

1.9)warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Warunek konieczny:

Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0(x0,y0) i ma w tym punkcie ekstremum to: fx(p0) =0 ; fy(p0)=0. Punkt P(x0,y0),w którym spełniony jest ten waruneknazywa się punktem stacjonarnym funkcji f(x,y). Jeżeli więc funkcja f(x,y) ma w pewnym obszarze pochodne cząstkowe rzędu pierwszego , to może mieć ona ekstremum jedynie w tych punktach tego obszaru, które są jej punktami stacjonarnymi.

Warunek wystarczający ekstremum:

Jeżeli f-cja f(x,y) jest klasy c2 w pewnym otoczeniu punktu P(x0,y0), a ponadto:

1) fx (P0) = 0 i fy (P0) = 0

2)

0x01 graphic

1.10. Def.i przykład całki zależnej od parametru.

Niech K (x,y) będzie f-cją dwóch zmiennych, określoną dla x<a,b> i yY, gdzie Y jest pewnym przedziałem. Jeżeli dla każdego yY istnieje całka oznaczona 0x01 graphic

to w przedziale Y jest określona f-cja F(y)

0x01 graphic

Zmienną y, występującą we wzorze: 0x01 graphic

nazywamy parametrem całkowania, o całce zaś mówimy, że jest zależna od parametru.

1.11. Tw. o całce zależnej od parametru.

Jeżeli f-cja K(x,y) jest ciągła w prostokącie P: a x b , α y β, to f-cja 0x01 graphic

Jest ciągła w przedziale <α,β>. Jeżeli ponadto istnieje w prostokącie P ciągła

pochodna cząstkowa

0x01 graphic

to w przedziale <α,β> istnieje pochodna F'(y) przy czym:

0x01 graphic

3

Równanie różniczkowe zwyczajne

3.1. Def. równania różniczkowego liniowego.

Równanie różniczkowe postaci 0x01 graphic
, liniowe względem y i y', nazywamy równaniem liniowym rzędu I.

3.2. Def. równania różniczkowego Bernoulliego.

Równanie postaci 0x01 graphic
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego, gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnyym przedziale a<x<b, a n jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dla n=0 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe.

Dla n=1 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe jednorodne względem y i y', a więc równanie, w którym zmienne dadzą się rozdzielić.

3.3. Def. równania różniczkowego zupełnego.

Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu I postaci 0x01 graphic
, w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że wyrażenie 0x01 graphic
jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F(x,y) określonej w obszarze D. Oznacza to, że w obszarze D istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że zachodzą związki: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
w każdym punkcie tego obszaru.

3.4.Twierdzenie I o czynniku całkującym dla równania różniczkowego zupełnego

Jeżeli

0x01 graphic

to μ(x,y)=0x01 graphic

μ(x,y)-czynnik całkujący

0x01 graphic

3.5.Twierdzenie II o czynniku całkującym dla równania różniczkowego zupełnego

Jeżeli

0x01 graphic

to μ(x,y)=0x01 graphic

μ(x,y)-czynnik całkujący

3.6.Równanie różniczkowe Clairauta.

Równanie postaci 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic

(i=1,2,...,n); jest to tzw. równanie Clairauta. Całką zupełną takiego równania jest 0x01 graphic

0x01 graphic
gdzie a1,a2,...,an są dowolnymi parametrami.

3.7.Równ. różniczkowe Lagrange'a.

Równanie postaci 0x01 graphic
nazywamy równaniem Langrange'a. Może ono być scałkowane w kwadraturach. Jeżeli a(p)+b(p)p=0 przy p=p0, to a(p0)x+b(p0)y+c(p0)=0 jest całką osobliwą równania Lagrange'a.

3.8. Def. równania różniczkowego liniowego II rzędu o stałych współczynnikach.

Równanie różniczkowe liniowe rzędu II o stałych współczynnikach ma postać: 0x01 graphic
(a0)

Równanie to jest liniowe względem y i jej poch., natomiast funkcja f zmiennej x może być w dowolnej postaci, a litery a, b, c oznaczają dowolne stałe.

3.11. Def. równania różniczkowego liniowego rzędu n o stałych współczynnikach.

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o współczynnikach stałych nazywamy równanie postaci: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Równanie to, będące bezpośrednim uogólnieniem równania rzędu II, jest liniowe względem y i wszystkich jej pochodnych; występujące w równaniu współczynniki ao, a1,…,an są stałe, a f(x) jest dowolną funkcją.

3.12. Zagadnienie trajektorii.

Trajektorią izogonalną rodziny krzywych nazywamy krzywą, która w każdym swym punkcie przecina krzywą rodziny przechodzącą przez ten punkt pod stałym kątem 0x01 graphic
. Jeżeli 0x01 graphic
to trajektorię nazywamy ortogonalną.

Tw. Jeżeli rodzina krzywych F(x,y,c)=0 ma równanie postaci f(x,y,y')=0 to rodzina trajektorii ortogonalnych ma równanie 0x01 graphic
, a rodzina trajektorii izogonalnych: 0x01 graphic
.

4

Przekształcenie Laplace'a

4.1. Definicja przekształcenia Laplace'a.

Ko - klasa oryginału

K - zb. wszystkich F o zmiennej s

α: Ko→K

0x01 graphic
0x01 graphic
s∈α

4.2. Własności podstawowe przekształcenia Laplace'a

1)£[0]=0

2) £[η(x)]=0x01 graphic
Re(s)>0

3)n0x01 graphic
No0x01 graphic

4.3. Wzór: różniczkowanie oryginału (dla pochodnej ni rzędu). Dowolna własność przekształcenia Laplace'a.

0x01 graphic

4.4. Wzór: całkowanie oryginału. Dowolna własność przekształcenia Laplace'a.

0x01 graphic

4.5. Twierdzenie o podobieństwie dla przekształcenia Laplace'a.

Jeżeli f(t)∈Ko oraz a>0 to 0x01 graphic

4.6. Twierdzenie o przesunięciu dla przekształcenia Laplace'a.

Jeżeli f(t) )Ko oraz to0, to 0x01 graphic

4.7. Twierdzenie o tłumieniu dla przekształcenia Laplace'a.

Jeżeli f(x)Ko dla dowolnego stałego a 0x01 graphic

0x01 graphic

4.8. Definicja splotu funkcji.

Niech0x01 graphic
f,gL (<0,x>), to 0x01 graphic
- nazywamy splotem funkcji w przedziale <0,x>

4.9. Własności splotu funkcji.

1)0x01 graphic

2) 0x01 graphic

4.10. Twierdzenie Borela.

Jeżeli f1(t) i f2(t) są oryginałami, to istnieje α-transformata ich splotu, przy czym 0x01 graphic

5

Szeregi liczbowe

5.1. Definicja i zbieżność szeregu geometrycznego.

Ciąg nieskończony (Sn) o wyrazach: S1=a1, S2=a1+a1q, S3=a1+a1q+a1q2, Sn=a1+a1q+...+a1qn-1nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego (Sn) lub szeregiem geometrycznym, co piszemy:

a1+a1q+...+a1qn-1+...=0x01 graphic

Ciąg sum częściowych (Sn) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę S(szereg geometryczny ma sumę S) wtedy i tylko wtedy , gdy |q|<1 lub a1=0, wówczas:

0x01 graphic
, gdy |q| < 1, lub S=0, gdy a1= 0.

5.2. Definicja i zbieżność szeregu harmonicznego.

Szereg który spełnia warunek szeregu:

lim an=0, jednakże jest rozbieżny, jest tzw. szeregiem harmonicznym:

0x01 graphic
, czyli szereg 0x01 graphic

szereg ten nazywa się harmoniczny, dlatego, że każdy jego wyraz (oprócz pierwszego) jest średnią harmoniczną wyrazu poprzedniego i następnego, tzn. ,że odwrotność n-tego wyrazu (n ≥2) jest równa połowie sumy odwrotności wyrazów:

(n-1)-go i (a+1)-go.

5.3Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu liczb jest, aby jego ogólny wyraz dążył do 0.

5.4 5.5 Kryterium d'Alamberta zbieżności, rozbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
to 0x01 graphic
jest zbieżny gdy q<1, rozbieżny gdy q>1. Przy q=1 kryterium nie daje rozstrzygnięcia: szereg może być zbieżny albo rozbieżny.

5.6 5.7 Kryterium Cauchy'ego zbieżności i rozbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
to szereg 0x01 graphic
jest zbieżny gdy q<1, a rozbieżny gdy q>1; gdy q=1 to kryterium nie daje rozstrzygnięcia.

5.8 Kryterium porównawcze zbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli dla szeregu 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
można wskazać taki zbieżny szereg 0x01 graphic
, dla którego zachodzi 0x01 graphic
to szereg 0x01 graphic
jest też szeregiem zbieżnym.

5.9 Kryterium porównawcze rozbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli dla szeregu 0x01 graphic
można wskazać taki rozbieżny szereg 0x01 graphic
, w którym 0x01 graphic
to szereg 0x01 graphic
jest również szeregiem rozbieżnym.

5.10 Kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego.

Szereg o wyrazie ogólnym 0x01 graphic
jest rozbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa 0x01 graphic
jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna to szereg o wyrazie ogólnym f(n) jest rozbieżny. Przy czym dolną granicę całkowania c należy tak obrać, żeby funkcja f(x) w przedziale c < x < ∞ była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

5.11 Definicja szeregu liczbowego przemiennego.

Szereg 0x01 graphic

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
są liczbami dodatnimi, nazywamy szeregiem przemiennym.

5.12 Kryterium Leibniza zbieżności szeregu przemiennego.

Jeżeli: 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
to szereg przemienny jest szeregiem zbieżnym.

5.13. Definicja szeregu zbieżnego bezwzględnie.

Szereg zbieżny 0x01 graphic
nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny szereg

0x01 graphic

Szereg zbieżny 0x01 graphic
nazywamy warunkowo zbieżnym jeżeli szereg

0x01 graphic
jest rozbieżny

5.12. Tw. o związku pomiędzy zbieżnością zwyczajną i bezwzględną.

Jeżeli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny, to jest zbieżny bezwzględnie szereg 0x01 graphic

6

Szeregi funkcyjne

6.1 Definicja szeregu potęgowego.

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci 0x01 graphic

0x01 graphic
lub postaci 0x01 graphic

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
(i=1,2...) są stałymi współczynnikami.

6.2 Wzory na promień zbieżności szeregu potęgowego.

0x01 graphic
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru wart bezwzg. wszystkich wartości x, dla których ten szereg jest zbieżny (oznaczamy jako R).

6.3, 6.4, 6.5, Znaczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego dla R=r > 0, R=0, R=.

Jeżeli istnieje granica 0x01 graphic

0x01 graphic
to 0x01 graphic

6.6 Twierdzenie o rozwinięciu funkcji w szereg Taylora.

Każda funkcja 0x01 graphic
, analityczna wewnatrz pewnego koła o środku a, może być w każdym punkcie tego koła w sposób jednoznaczny przedstawiona w postaci szeregu potęgowego: 0x01 graphic
, gdzie współczynnikami 0x01 graphic
rozwinięcia są liczby zespolone określone wzorem 0x01 graphic
. W ten sposób otrzymujemy szereg Taylora: 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

6.7 Twierdzenie o rozwinięciu funkcji w szereg Maclaurina.

Jest to rozwinięcie funkcji 0x01 graphic
w szereg według potęg zmiennej x. Jest to przypadek szczególny szeregu Taylora dla a=0. 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Reszta szeregu Maclaurina: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

6.8 Warunki Dirichleta.

Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale domkniętym warunki Dirichleta jeżeli:

-f(x)przedziałami monotoniczna w (a,b)

-f(x) ciągła w (a,b) z wyjątkiem skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości: 0x01 graphic
0x01 graphic

6.9.Definicja szeregu Fouriera w przedziale(-π,π).

Jeżeli f-cja f spełnia warunek Dirichleta w przedziale <-π,π> to:

0x01 graphic

, gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic

7

Całka podwójna

7.1. Tw. o zmianie całki podwójnej na iterowaną dla obszaru normalnego względem osi OX.

Jeżeli obszar D jest obszarem normalnym względem osi OX danym nierównościami 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. Występujące funkcje są ciągłe i ograniczone w D.

7.2. Tw. o zmianie całki podwójnej na iterowaną dla obszaru normalnego względem osi OY.

Jeżeli obszar D jest obszarem normalnym względem osi OY danym nierównościami 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Występujące funkcje są ciągłe i ograniczone w D.

7.3. Tw. o zmianie zmiennych w całce podwójnej.

Jeżeli: 1o odwzorowanie 0x01 graphic
; 0x01 graphic
przekształca jednoznacznie wnętrze obszaru Δ (regularnego) na wnętrze obszaru D (regularnego),

2o 0x01 graphic
,

3o 0x01 graphic
0x01 graphic
- domknięty i ograniczony,

4o 0x01 graphic
w 0x01 graphic
,to 0x01 graphic

7.4. Tw. o zmianie zmiennych prostokątnych na biegunowe w całce podwójnej.

Wprowadzamy współrzędne biegunowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i mamy 0x01 graphic

7.5. Zastosowanie całki podwójnej: objętość bryły.

1o 0x01 graphic

0x01 graphic

2o 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
.

7.6. Zastosowanie całki podwójnej: pole płata powierzchniowego.

D - obszar płaski, regularny, ograniczony jedną krzywą zamkniętą K,

Niech 0x01 graphic

0x01 graphic
.

7.7. Zastosowanie całki podwójnej: masa obszaru płaskiego.

Jeżeli 0x01 graphic
0x01 graphic
- gęstość obszaru 0x01 graphic
(domknięty i ograniczony), to 0x01 graphic
.

7.8. Zastosowanie całki podwójnej: moment statyczny i moment bezwładności obszaru płaskiego.

0x01 graphic
- gęstość powierzchniowa masy

0x01 graphic
- masa

Moment statyczny:

0x01 graphic
.

Moment bezwładności:

0x01 graphic
.

7.9. Zastosowanie całki podwójnej: środek ciężkości obszaru płaskiego.

0x01 graphic
.

8

Całki potrójne

8.1 Tw. o zamianie całki potrójnej na podwójną dla bryły normalnej względem płaszczyzny XOY.

0x01 graphic

Jeżeli:

1. V - bryła normalna względem płaszczyzny XOY

2. π1: z = ϕ1(x,y), (x,y) ∈Ω

3. π2: z = ϕ2(x,y), (x,y) ∈Ω, to:

0x01 graphic

8.2 Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej.

Jeżeli:

1. odwzorowanie x=x(u,v,w); y=y(u,y,w), z=z(u,v,w), odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wnętrze U obszaru regularnego 0x01 graphic
na wnętrze Ω obszaru regularnego 0x01 graphic

2. każda z funkcji (x,y,z) jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym 0x01 graphic
w swym wnętrzu

3. f(x,y,z) jest funkcja ciągłą w 0x01 graphic
oraz jakobian przekształcenia:

0x01 graphic

w obszarze U, to:

0x01 graphic

8.3 Twierdzenie o zamianie zmiennych prostokątnych na zmienne sferyczne w całce potrójnej

Jeżeli:

0x01 graphic

to:

0x01 graphic

założenie:

1. Odwzorowanie (**) odwzoruje jednokładnie wnętrze W obszaru regularnego W na wnętrze V obszaru regularnego 0x01 graphic
.

2. Każda z funkcji (x,y,z) jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym W w samym wnętrzu.

3. f(x,y,z) jest ciągła w V.

8.4 Zastosowanie całki potrójnej: objętość bryły.

Jeżeli 0x01 graphic
jest bryłą normalną to :

0x01 graphic

8.5 Zastosowanie całki potrójnej: masa bryły.

Jeżeli: ρ (x,y,z) jest gęstością objętościową masy prostopadłościanu P, to całka potrójna

0x01 graphic

przedstawia masę tego prostopadłościanu.

9

Całka krzywoliniowa nieskierowana

9.3. Tw. o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedyńczą dla krzywej płaskiej o równaniach parametrycznych.

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim L o przedstawieniu parametrycznym 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to całka 0x01 graphic
istnieje, przy czym 0x01 graphic

9.5. Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej: długość krzywej.

Jeżeli 0x01 graphic
, to ciąg 0x01 graphic
jest stały 0x01 graphic
, więc całka 0x01 graphic
przedstawia długość łuku 0x01 graphic
.

9.6. Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej: masa krzywej.

Jeżeli 0x01 graphic
jest gęstością liniową masy łuku L, to całka 0x01 graphic
przedstawia masę tego łuku.

10

Całka krzywoliniowa skierowana

10.3. Tw. o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na pojedyńczą dla krzywej płaskiej o równaniach parametrycznych.

Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są ciągłe na otwartym zwykłym, gładkim łuku 0x01 graphic
o przedstawieniu 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka 0x01 graphic
istnieje, przy czym 0x01 graphic
10.5. Napisać wzór na pole obszaru płaskiego przy pomocy całki krzywoliniowej skierowanej.

Jeżeli P i Q 0x01 graphic
normalnego względem osi OX i OY jednocześnie, którego brzeg K jest zorientowany dodatnio względem wnętrza, to całka podwójna po obszarze 0x01 graphic

0x01 graphic

.10.6. Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej: praca siły.

W-praca siły 0x01 graphic
na drodze AB

0x01 graphic

to:

0x01 graphic

Praca siły potencjalnego pola równa jest różnicy potencjału na końcach krzywych

.

10.7. Sformułować i udowodnić twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania.

Tw. Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C1 w obszarze jednospójnym D, to spełnione równości 0x01 graphic
w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, żeby całka 0x01 graphic
po otwartym, kawałkami gładkim łuku zwykłym 0x01 graphic
nie zależała od kształtu tego łuku, a tylko od punktów AB.

10.8. Sformułować i udowodnić twierdzenie Greena.

Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(D domknięty i ograniczony) ,D - obszar normalny względem osi OX i OY, przy czym krzywa K - brzeg obszaru D skierowana dodatnio względem wnętrza, to całka krzywoliniowa po krzywej K (zamkniętej) 0x01 graphic

względem wnętrza, to całka podwójna po obszarze Ω

0x01 graphic

12

Teoria pola

12.1. Definicja operatora Hamiltona

Operatorem Hamiltona nazywamy wyrażenie postaci

0x01 graphic

Operator Nabla

0x01 graphic

12.2. Własności operatora Hamiltona

12.3. Definicja gradiendu pola skalarnego

u = (x,y), u∈C1(Ω)

grad 0x01 graphic
, grad u=∇u

u=u(x,y,z) to:

grad 0x01 graphic

Gdy w obszarze V istnieje funkcja ve c0x01 graphic
(V) takie, że składowe pola wektorowego [P,Q,R]wyrażają się wzorem 0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
to mówimy, że pole wektorowe jest gradientem funkcji ve, a a funkcję ve nazywamy potencjałem pola.

Możemy zapisać

grad f=0x01 graphic

12.4 Własności gradiendu pola skalarnego

  1. grad (cu)=cgradu

  2. grad(u+v)=gradu+gradv

  3. grad(f*g)=ggradf +fgradg

  4. gradf2 =2fgradf

12.5. Definicja dywergencji pola wektorowego

Dywergencją różniczkowalną pola wektorowego 0x01 graphic
(M)=[a0x01 graphic
,a0x01 graphic
a0x01 graphic
] oznaczaną div 0x01 graphic
nazywamy pole skalarne określone równością

div0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Dywergencja w odróżnieniu od gradiendu jest liczbą

12.6. Własności dywergencji pola wektorowego

  1. div 0x01 graphic
    = 0x01 graphic
    * 0x01 graphic

  2. div (c0x01 graphic
    )= c div 0x01 graphic

  3. div (0x01 graphic
    +0x01 graphic
    )=div0x01 graphic
    + div0x01 graphic

12.7. Definicja rotacji pola wektorowego

Rotacją różniczkowanego pola wektorowego 0x01 graphic
(M)=[a0x01 graphic
,a0x01 graphic
a0x01 graphic
] oznaczaną rot 0x01 graphic
nazywamy wektor oznaczony przez składowe

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

12.8. Własności rotacji p.wektorowego

rot (c0x01 graphic
) = c rot 0x01 graphic

rot (0x01 graphic
)= rot0x01 graphic
+ rot 0x01 graphic

13

Równanie różniczkowe cząstkowe

13.1. Definicja równania różniczkowego cząstkowego II rzędu

F(x,y,y0x01 graphic
,…,y0x01 graphic
)=0 -równanie różniczkowe zwyczajne n-rzędu

1)0x01 graphic
0x01 graphic
a0x01 graphic
0x01 graphic
+0x01 graphic
b0x01 graphic
0x01 graphic
+cu=f μ

a0x01 graphic
,b0x01 graphic
,c,f- funkcje ciągłe zmiennych x0x01 graphic
,x0x01 graphic
...x0x01 graphic
określonych w pewnym obszarze n-wymiarowym, μ -funkcja szukana tych zmiennych, przy czym a0x01 graphic
=a0x01 graphic
. Gdy f=0, wówczas równanie 1) jest jednorodne

13.2.Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych II rzędu

1) Formę kwadratową zmiennych x0x01 graphic
,...,x0x01 graphic

0x01 graphic
a0x01 graphic
x0x01 graphic
x0x01 graphic

a0x01 graphic
-współczynnik lewej strony równania

0x01 graphic
0x01 graphic
a0x01 graphic
0x01 graphic
=

0x01 graphic

obliczany w dowolnym punkcie obszaru D

2) Forma kanoniczna

0x01 graphic
0x01 graphic
+0x01 graphic
0x01 graphic
+...+0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
-ma wartość 1,-1lub0

3)Postać kanoniczna

0x01 graphic
0x01 graphic
=0x01 graphic
(0x01 graphic

Mówimy, że równanie jest w punkcie P0 (x0x01 graphic
;x0x01 graphic
;...;x0x01 graphic
)D typu:

-hiperbolicznego, gdy wszystkie współczynniki λ1 są różne od zera i wszystkie z wyjątkiem jednego mają ten sam znak

-parabolicznego, gdy wszystkie współczynniki λ1 z wyjątkiem jednego λk są różne od zera i mają ten sam znak oraz współczynnik przy 0x01 graphic
jest różny od zera

-eliptycznego, gdy wszystkie współczynniki λ1 są różne od zera i mają ten sam znak

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka podstawowe wzory i Nieznany
matma Matematyka podstawowe wzory
Matematyka Podstawowe wzory i przykłady
Statystyka - podstawowe wzory 2, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
Matematyka, podstawowe wzory 3
Matematyka podstawowe wzory 4 id 282961
Podstawowe wzory na całki, Studia, Zarządzanie, Matematyka w ekonomii i zarządzaniu
Matematyka podstawowe wzory 3
Matematyka podstawowe wzory
matematyka podstawowe wzory i Nieznany

więcej podobnych podstron