TEORIA PREFERENCJI KONSUMENTA

1. Nowoczesna teoria preferencji konsumenta

2. Twierdzenia dotyczące funkcji użyteczności

3. Maksymalizacja użyteczności

WPROWADZENIE do TEORII

KONSUMENTA i POPYTU RYNKOWEGO

1. Funkcje popytu konsumenta: przedstawienie graficzne

2. Funkcja popytu

3. Uogólnione funkcje popytu

4. Funkcje popytu Cobb-Douglasa

5. Funkcje popytu rynkowego

ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI POPYTU

INDYWIDUALNEGO i RYNKOWEGO

1. Definicja elastyczności

2. Elastyczność funkcji popytu liniowej i nieliniowej

3. Elastyczność i przychody całkowite

4. Przychody całkowite, przeciętne i krańcowe wzdłuż nieliniowych krzywych popytu

FUNKCJE POPYTU SKOMPENSOWANEGO,

EFEKT SUBSTYTUCYJNY i DOCHODOWY

1. Funkcja skompensowanego popytu

2. Efekty: substytucyjny i dochodowy

3. Równanie Słuckiego

4. Elastyczność substytucji i wielkość efektu substytucyjnego

*

TEORIA PREFERENCJI KONSUMENTA

Nowoczesna teoria preferencji konsumenta

Aby przyjrzeć się bliżej tej teorii przyjmijmy, że mamy tylko dwa dobra: X oraz Y. Konsumenci porządkują koszyki z dobrami konsumpcyjnymi i dokonują wyboru. Każdy koszyk zawiera x jednostek dobra X i y jednostek dobra Y.

Twierdzenia dotyczące preferencji konsumenta (zgodne z własnościami liczb rzeczywistych)

Aby przedstawić preferencje konsumenta dotyczące koszyków dóbr przy wykorzystaniu wskaźnika wyrażonego za pomocą liczb rzeczywistych, musimy przyjąć założenia dotyczące tych preferencji, które są zgodne z własnościami liczb rzeczywistych.

Twierdzenie 1: Preferencje są spójne (zupełne).

W odniesieniu do każdej pary koszyków A i B, konsument może dokonać każdego z następujących trzech porównań:

1. A jest preferowane względem B (A^PB).

2. B jest preferowane względem A (B^PA).

3. A jest obojętne względem B (A^IB).

Uporządkowanie koszyków zrobione przez konsumenta określamy mianem uporządkowania preferencji.

TWIERDZENIE 2: Preferencje są zwrotne

Jeżeli konsument ma do wyboru dwa identyczne koszyki, czyli A = B pod każdym względem, to jest mu obojętne, który z nich wybierze. Oznacza to, że jeśli A i B są takie same, to konsument oceni je tak samo.

TWIERDZENIE 3: Preferencje są przechodnie

Jeżeli konsument preferuje A względem B oraz B względem C, to konsument preferuje A względem C: A^PB i B^PC
A^PC.

Jeśli natomiast konsumentowi jest obojętne A czy B oraz B czy C, to konsumentowi jest obojętne A czy C:A^IB i B^IC
A^IC.

Z tego twierdzenia wynika, że preferencje konsumenta są wewnętrznie zgodne.

TWIERDZENIE 4: Preferencje są ciągłe.

Jeżeli koszyk A jest preferowany względem B, a koszyk C jest dostatecznie blisko koszyka B (B jest granicą C), to również A jest preferowany względem C:A^PB i C
B
A^PC.

Twierdzenia 1 - 4 wzięte razem stanowią podstawowe cechy liczb rzeczywistych, z których chcemy skorzystać przy konstruowaniu wskaźników użyteczności:

Twierdzenie 1 głosi, że każdemu punktowi na osi liczbowej przyporządkowana jest pewna wartość.

Twierdzenie 2 głosi, że dwa identyczne punkty na osi liczbowej mają identyczną wartość.

Twierdzenie 3 głosi, że jeżeli x jest większe od y i y jest większe od z, to x musi być większe od z.

Twierdzenie 4 głosi, że jeżeli x > y na osi liczbowej, to istnieje liczba y' (między x I y), taka, że x > y'.

Jeżeli preferencje nie spełniają pierwszych trzech warunków, to nie możemy ich przedstawić za pomocą liczb rzeczywistych, nawet porządkowo.

Wszystkie cztery twierdzenia są konieczne i wystarczające dla istnienia liczbowej reprezentacji.

Taką funkcyjną zależność przypisującą liczby koszykom nazywamy funkcją użyteczności. Dla dwóch dóbr można ją zapisać w postaci: U = U(x, y).

Nienasycenie i malejąca krańcowa stopa substytucji (MRS)

Następne dwa założenia umożliwiają ekonomistom korzystać z rachunku optymalizacyjnego przy ograniczeniu w celu analizowania wyboru konsumenta.

TWIERDZENIE 5: Preferencje charakteryzuje nienasycenie.

Konsument ma dwa koszyki, A i B, takie że X w A równa się X w B, ale Y w A jest większe od Y w B. W takiej sytuacji konsument zawsze preferuje A względem B. Podobnie, jeżeli Y w A równa się Y w B, ale X w A jest większe niż X w B, to konsument preferuje A względem B.

Innymi słowy, jeżeli A równa się B w jednym wymiarze, ale jest większe od B w innym wymiarze, to A jest preferowane względem B („więcej znaczy lepiej”).

Twierdzenie 6 można sformułować na wiele sposobów. Podstawą jest to, że krzywe obojętności są gładkie i wypukłe względem początku układu współrzędnych.

Aby wprowadzić to twierdzenie, zdefiniujemy pojęcie określane mianem krańcowej stopy substytucji wzdłuż krzywej obojętności.

Pojedynczą krzywą obojętności można opisać funkcją:

y = f(x,
). Nachylenie krzywej obojętności definiujemy więc:
.

Natomiast krańcową stopę substytucji Y na X definiujemy jako ujemne nachylenie krzywej obojętności:

MRS_yx

.

Wiemy, że warunkiem wystarczającym przy optymalizacji przy liniowym ograniczeniu jest to aby powierzchnia funkcji celu była wypukła względem początku układu współrzędnych. Aby krzywe obojętności miały ten kształt muszą mieć ujemne nachylenie (pierwsze pochodne) i dodatnie drugie pochodne:

,
.

Tłumacząc to na MRS możemy powiedzieć, że jeżeli nachylenie jest ujemne, to MRS jest dodatnie. Jeżeli druga pochodna jest dodatnia, to nachylenie MRS musi być ujemne:

,
.

Tak więc MRS jest malejące.

TWIERDZENIE 6: Krzywe obojętności charakteryzują malejące krańcowe stopy substytucji.

MRS i użyteczność krańcowa (MU)

MRS możemy również przedstawić jako stosunek MUs. Po pierwsze, rozważmy ogólną postać funkcji użyteczności

U(x, y) i zapiszmy jej różniczkę zupełną:

,

gdzie:
= użyteczność krańcowa X (MU_x)

= użyteczność krańcowa Y (MU_y).

Wiemy, że wzdłuż krzywej obojętności użyteczność jest stała, czyli dU = 0:

.

Dlatego:

.

Maksymalizacja użyteczności

Zbiór osiągalny koszyków konsumpcyjnych jest to zbiór, który nie jest zbyt drogi przy danym ograniczeniu budżetowym konsumenta (rys. 5.7).

p_x = cena dobra X

p_y = cena dobra Y

M = dochód konsumenta.

Wydatki na konsumpcję muszą być mniejsze lub równe dochodowi konsumenta: p_xx + p_yy ≤ M.

Przyjmujemy, że cały dochód jest wydawany na dwa dobra:

p_xx + p_yy = M.

Dlatego:
nazywamy ograniczeniem budżetowym.

Nachylenie linii ograniczenia budżetowego wynosi:
.

Problem konsumenta maksymalizacji przy ograniczeniu

Uogólniając problem konsumenta polega na (rys. 5.8):

maksymalizacji U = U(x, y) : funkcja celu

przy ograniczeniu: M ≥ p_xx + p_yy : ograniczenie budżetowe

Przyjmując, że ograniczenie przyjmuje postać równania możemy zapisać Lagrangian:

.

Warunki pierwszego rzędu:

.

Rozwiązujemy dla
z pierwszych dwóch warunków pierwszego rzędu:

.

Dlatego:
.

Ale:
.

A więc:
.

WPROWADZENIE DO TEORII

KONSUMENTA I POPYTU RYNKOWEGO

Funkcje popytu konsumenta:

przedstawienie graficzne

W teorii konsumenta warunek jednakowych nachyleń zrównuje MRS ze stosunkiem cen. Z tego warunku możemy wyprowadzić funkcję w przestrzeni xy opisującą wybór konsumenta maksymalizujący użyteczność przy każdym poziomie dochodu i stałych cenach. Ekonomiści nazywają tę funkcję krzywą ekspansji dochodowej (rys. 6.1).

Wielkość popytu jako funkcja dochodu

Aby wyznaczyć wielkość popytu jako funkcję dochodu przy stałych cenach, bierzemy punkty z krzywej ekspansji dochodowej i streszczamy zależność między dochodem i x* (y*) jako zmienną zależną. Dochód jest zmienną niezależną.

Na przykład, wyprowadźmy wykres y jako funkcji dochodu przy założeniu, że x jest zawsze wybrany optymalnie:

.

Ekonomiści nazywają ten wykres krzywą Engla (rys.6.2).

Dobra normalne i niższego rzędu

Rys. 6.3

Krzywa ekspansji cenowej

Rys. 6.5: zbiór linii ograniczenia budżetowego.

Jeżeli określimy wybór maksymalizujący użyteczność dla każdej linii ograniczenia budżetowego, to będziemy mogli wyznaczyć jeszcze jedną funkcję y* i x* przy zmieniającej się p_x i stałym dochodzie i stałej p_y:

.

Ekonomiści nazywają tą funkcję krzywą ekspansji cenowej. (Rys. 6.6).

Normalna krzywa popytu

Mając wyznaczoną krzywą ekspansji cenowej możemy określić wielkość popytu X jako funkcję ceny tego dobra. Bierzemy punkty krzywej i przenosimy je na wykres, na którym x jest zmienną zależną a p_x jest zmienną niezależną przy p_y i dochodzie stałym:

.

Otrzymaną funkcję nazywamy funkcją popytu zwyczajnego na X. Przekształćmy jednak otrzymany wykres w taki sposób aby cena znalazła się na osi pionowej, a wielkość popytu na poziomej, otrzymamy wtedy funkcję popytu odwrotnego:

.

Rys. 6.7.

Krzywa popytu opadająca i wznosząca się

Rys. 6.8.

Funkcje popytu mieszanego: dobra substytucyjne i komplementarne

Funkcja popytu mieszanego:

Substytuty brutto (rys. 6.9) - gdy dochód jest stały, a użyteczność zmienia się.

Dobra komplementarne brutto (rys. 6.10)

Uogólnione funkcje popytu

Aby matematycznie wyprowadzić wyrażenia na funkcje popytu, które przedstawiliśmy graficznie, zaczynamy od maksymalizacji użyteczności:

(U = xy + x + y , x, y ≥ 0)

przy ograniczeniu budżetowym:

(M = p_xx + p_yy ).

Z problemu maksymalizacji możemy wyprowadzić wyrażenie na wielkość popytu jako funkcję wszystkich cen i dochodu. Nazywamy ją uogólnioną funkcją popytu. Z tej funkcji możemy wyprowadzić funkcję popytu zwyczajnego, krzywą Engla, funkcje popytu mieszanego dzięki uczynieniu poszczególnych cen i dochodu zmienną.

Wyprowadzenie uogólnionej funkcji popytu

Funkcja użyteczności konsumenta:

U = xy + x + y, x, y ≥ 0.

Problem maksymalizacji użyteczności konsumenta:

max U = xy + x + y

p.w. M - p_xx - p_yy = 0

Funkcja Lagrange'a:

L = xy + x + y + λ( M - p_xx - p_yy)

Warunki pierwszego rzędu:

Zrównujemy wartośćλ* z pierwszych dwóch warunków pierwszego rzędu:

Możemy teraz wyprowadzić krzywą ekspansji dochodowej rozwiązując powyższe wyrażenie dla y:

Wstawiamy je do trzeciego warunku pierwszego rzędu:

Tym sposobem otrzymujemy uogólnioną postać funkcji popytu:

Aby wyznaczyć uogólnioną funkcję popytu na Y, wstawiamy wyrażenie na x* do wyrażenia na krzywą ekspansji dochodowej:

Wyprowadzenie funkcji popytu jednej zmiennej

Aby teraz wyprowadzić funkcje popytu będące funkcjami jednej zmiennej zaczynamy od przyjęcia jako stałe, (parametry) wszystkie zmienne niezależne, a następnie pojedynczo pozwalamy im się zmieniać. A więc z uogólnionych funkcji popytu:

i

Krzywe Engla:

i

Funkcje popytu zwyczajnego:

i

Funkcje popytu mieszanego:

i

Funkcje popytu Cobb-Douglasa

Ważne jest aby posługiwać się funkcjami popytu, które są homogeniczne stopnia 0 względem wszystkich cen i dochodu. Szczególną funkcją użyteczności, z której można wyprowadzić bardzo proste funkcje popytu jest uogólniona funkcja użyteczności Cobb-Douglasa.

U = x^αy^β , x, y > 0

Wyprowadzenie funkcji popytu

max U = x^αy^β

p.w.: M - p_xy - p_yy ≥ 0.

Nie musimy stosować ograniczeń nieujemnych, gdyż krzywe obojętności są hiperbolami równoosiowymi asymptotycznymi względem osi. To eliminuje możliwość rozwiązań brzegowych. Przyjmując więc, że ograniczenie budżetowe ma postać równania, Lagrangian jest następujący:

L = x^αy^β + λ( M - p_xx - p_yy)

Warunki pierwszego rzędu:

Rozwiązując dla ၬ*:

Krzywa ekspansji dochodowej:

Wstawiając
trzeciego warunku pierwszego rzędu:

Czyli,

Przekształcając:
aby otrzymać
I odwracając otrzymane wyrażenie otrzymujemy uogólnioną funkcję popytu na X:

Wstawiając
do równania
, uogólniona funkcja popytu na Y:

Odnotujmy interesujące cechy charakterystyczne otrzymanych funkcji popytu. Po pierwsze, wykładnik każdego z dóbr podzielony przez sumę wykładników przedstawia udział w dochodzie wydatków na każde z dóbr:

ၡ/(ၡ+ၢ) udział w dochodzie wydatków na x*

ၢ/(ၡ+ၢ) udział w dochodzie wydatków na y*

Ponadto funkcje popytu mogą być przekształcone do postaci liniowych dzięki wykorzystaniu logarytmów.

Rynkowe funkcje popytu

Funkcja popytu rynkowego przedstawia całkowite wielkości popytu na danym rynku zgłaszane przez wszystkich konsumentów przy każdej cenie. Otrzymujemy ją dzięki zsumowaniu funkcji indywidualnych popytów. Jeżeli więc
jest funkcją popytu zwyczajnego na X osoby i's, to funkcję popytu rynkowego otrzymujemy sumując wszystkie funkcje popytu indywidualnego dla wszystkich n osób:

(Rys.6.13).

ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI POPYTU

INDYWIDUALNEGO I RYNKOWEGO

Definicja elastyczności

Elastyczność cenowa popytu, elastyczność dochodowa popytu, mieszana elastyczność cenowa popytu.

Elastyczność funkcji popytu liniowej i nieliniowej

Rys. 7.1, Rys. 7.2.

Popyt doskonale elastyczny i doskonale nieelastyczny

Rys. 7.3

Funkcje popytu o stałej elastyczności

Wzdłuż nieliniowych funkcji popytu elastyczność może być stała lub różna w każdym punkcie wykresu. Zaczniemy od funkcji funkcje o stałej elastyczności, w przypadku której w każdym punkcie wykresu elastyczność jest taka sama. Dzieje się tak, gdyż zmiana nachylenia wykresu zawsze równa się zmianie stosunku p_x/x. Uogólniona postać funkcji popytu o stałej elastyczności jest następująca:

x = A(p_x)^-k

gdzie A i k są dodatnimi stałymi.

Dlatego pomnożenie przez p_x/x:

.

Z tego równania wynika, że:

k > 1, popyt jest wszędzie elastyczny;

k = 1, popyt jest wszędzie jednostkowo elastyczny;

k < 1, popyt jest wszędzie nieelastyczny;

Inne nieliniowe funkcje popytu mają różne elastyczności w poszczególnych punktach wykresów.

Elastyczność i przychody całkowite

Rys. 7.4

Przychody całkowite, przeciętne i krańcowe wzdłuż nieliniowych krzywych popytu

Nieliniowe krzywe popytu mogą mieć stałe lub zmieniające się elastyczności. W przypadku funkcji popytu o stałej elastyczności MR mogą być dodatnie, 0, lub ujemne. Z tego wynika, że TR albo rosną, są stałe, albo maleją wraz ze wzrostem x.

.

Z ostatniego równania wynika, że jeżeli k > 1 (popyt elastyczny), MR są dodatnie; jeżeli k = 1 (jednostkowo elastyczny) MR wynoszą 0; i jeżeli k < 1 (nieelastyczny), MR są ujemne.

Funkcja skompensowanego popytu

Wyprowadziliśmy wielkość popytu na dane dobro jako funkcję jego ceny przy stałym dochodzie i stałych cenach pozostałych dóbr, ale pozwalając użyteczności zmieniać się. Konsument w końcu znajduje się na innej krzywej obojętności dla każdej zmiany ceny. (rys.8.1).

Kompensacja zmiany ceny

Przyjmijmy teraz, że po każdej zmianie ceny dochód konsumenta jest dostosowywany w taki sposób aby utrzymać go na tej samej krzywej obojętności, na jakiej znajdował się przed zmianą ceny. (rys. 8.2). Ta zmiana dochodu określana jest mianem kompensacji wywołanej zmianą ceny.

Optymalne wybory konsumpcji po kompensacji

Jeżeli wyznaczymy ścieżkę optymalnych wyborów x po kompensacji (x_c) na wykresie ilustrującym problem maksymalizacji użyteczności, przy x_c na osi poziomej i p_x na osi pionowej, to możemy wyprowadzić odwrotny wykres wielkości popytu na X jako funkcję p_x utrzymując użyteczność i p_y jako stałe i pozwalamy dochodowi zmieniać się.

.

Jest to funkcja popytu skompensowanego na X (rys.8.3).

Ponieważ optymalna Krzywe popytu skompensowanego zawsze mają nachylenie ujemne

wartość x_c musi znajdować się na krzywej obojętności, która jest wypukła względem początku układu współrzędnych, to wielkość popytu na X po kompensacji musi maleć przy wzroście p_x (i musi rosnąć gdy p_x maleje). Wynika z tego, że krzywa skompensowanego popytu zawsze ma nachylenie ujemne.

Zawsze się tak dzieje, gdy cena rośnie i krzywa obojętności spełnia warunek malejącej MRS, gdyż krzywa obojętności musi mieć nachylenie ujemne i być wypukła względem początku układu współrzędnych. Jeżeli więc linia ograniczenia budżetowego zwiększa nachylenie (p_x rośnie), to punkty styczności wymuszają wzrost y i malenie x.

Efekty: substytucyjny i dochodowy

Krzywa skompensowanego popytu ilustruje wpływ zmiany cen względnych na wielkość popytu, przy stałym poziomie użyteczności. Podczas analizy ekonomicznej korzystniej jest podzielić ruch wzdłuż zwykłej krzywej popytu na dwa oddzielne efekty:

• jeden wywołany zmianą cen względnych

• drugi spowodowany zmianą dostępnego zbioru koszyków dóbr konsumpcyjnych wywołaną zmianą ceny danego dobra.

Ten podział jest ważny ze względu na to, że dwie różne rzeczy dzieją się przy wzroście ceny dobra. Po pierwsze, stosunek cen X i Y zmienia się prowadząc do zmiany nachylenia linii ograniczenia budżetowego. Po drugie, dostępny zbiór koszyków maleje, co oznacza zmniejszenie się realnego dochodu konsumenta (rys. 8.4).

Efekty: substytucyjny i dochodowy

Te dwie zmiany oddziałujące na wybór konsumenta nazywane są:

1. efekt substytucyjny: efekt wpływający na wybór konsumenta wywołany zmianą stosunku cen przy niezmienionej użyteczności;

2. efekt dochodowy: efekt wpływający na wybór konsumenta wywołany zmianą zbioru dostępnych koszyków przy niezmienionym stosunku cen.

Rys.8.5

Ujemny znak efektu substytucyjnego

Co możemy powiedzieć o zwykłych funkcjach popytu patrząc na ES i ED? Po pierwsze, wiemy, że wzrost p_x zmniejsza x poprzez działanie ES przy ruchu wzdłuż krzywej obojętności, która obrysowuje ściśle wypukły zbiór. (rys. 8.5) Matematycznie:

i
.

Ponieważ pochodne cząstkowe są ujemne, to mówimy, że ES zawsze musi być ujemny (rys. 8.6).

Dobra normalne i ujemnie nachylona krzywa popytu

ES musi być ujemny, ale ED może być zarówno dodatni, jak i ujemny w zależności od tego, czy dobro jest normalne, czy też niższego rzędu. Jeżeli dobro jest normalne, przy zmniejszeniu się zbioru dostępnych koszyków na skutek wzrostu ceny, to wielkość popytu maleje na skutek działania ED. Dzieje się tak gdyż zmniejszenia się dochodu oznacza zmniejszenie wielkości popytu na dobro normalne, co możemy przedstawić w formie matematycznej:

dla dobra normalnego.

W przypadku dobra normalnego, kiedy cena rośnie, wielkość popytu maleje na skutek działania ES wzmocnionego ED. Dlatego połączony wpływ na wielkość popytu wzdłuż krzywej zwykłego popytu musi być taki, że wielkość popytu maleje przy wzroście ceny dobra. (rys. 8.7)

Dobra niższego rzędu

Jeżeli mamy do czynienia z dobrem niższego rzędu, to wielkość popytu rośnie przy zmniejszeniu się dochodu. Z tego wynika, że zmniejszenie dostępnego zbioru koszyków spowodowane wzrostem ceny, prowadzi do zwiększenia wielkości popytu w wyniku działania ED. Zwiększenie się dostępnego zbioru prowadzi do przeciwnego rezultatu. Matematycznie możemy zapisać to:

dla dobra niższego rzędu.

Jeżeli cena rośnie, ES zawsze zmniejsza wielkość popytu z powodu malejącej MRS. Ale w przypadku dobra niższego rzędu, zbiór dostępnych koszyków ulega zmniejszeniu przy wzroście ceny i ED prowadzi do wzrostu wielkości popytu. Całkowity efekt nieskompensowany może oznaczać wzrost lub zmniejszenie się wielkości popytu w zależności od tego, który efekt, ED czy ES, jest silniejszy. Rys. 8.8: lewa część: SE przeważa DE; prawa część: jeżeli mamy do czynienia z dobrem niższego rzędu i jeżeli ED jest silniejszy od ES, to efekt całkowity może oznaczać wzrost x* z x₁* do x₃*. Jeżeli więc ED przeważa ES w przypadku dobra niższego rzędu, to zwykła krzywa popytu będzie miała nachylenie dodatnie, nawet przy spełnieniu wszystkich założeń modelu preferencji konsumenta. Dobra, które mają dodatnio nachyloną krzywą popytu nazywamy dobrami Giffena.

Równanie Słuckiego

Jak już zobaczyliśmy ES i ED mogą być wykorzystywane do badania zależności między dobrami normalnymi i opadającą krzywą popytu. Pokazaliśmy, że jeden z dwóch warunków wystarcza aby zagwarantować ujemne nachylenie zwykłej krzywej popytu:

1. analizowane dobro jest dobrem normalnym lub

2. w przypadku dobra niższego rzędu ES jest silniejszy od ED.

Te wnioski dotyczące nachylenia krzywej popytu można przedstawić za pomocą równania zawierającego nachylenia odpowiednich krzywych popytu, a zwanego równaniem Słuckiego. Zaczniemy od zapisania równania i zastanowimy się, w jaki sposób ilustruje ono to, co przed chwilą stwierdziliśmy. Następnie zobaczymy, jak to równanie można wyprowadzić z rozwiązania problemu minimalizacji wydatków.

Równanie Słuckiego:

Nachylenie normalnej funkcji popytu

=

Nachylenie funkcji popytu skompensowanego

-

x* (nachylenie krzywej Engla)

Lub:

Całkowity efekt = efekt substytucyjny - efekt dochodowy

Przykład

Możemy zilustrować równanie Słuckiego wstawiając nachylenia funkcji popytu wyprowadzonych z funkcji użyteczności: U = xy do równania Słuckiego. Wiemy, że zwyczajną funkcję (nieskompensowanego) popytu na X opisuje wzór: x* = M/2p_x. Czyli:

.

Zakotwiczona funkcja skompensowanego popytu:
. Czyli:

.

Można wyprowadzić krzywą Engla z równania : x* = M/2p_x. Czyli:

.

Wstawiając
i
, równanie Słuckiego przyjmuje postać:

.

Wstawiając zwyczajną funkcję popytu na x* do ostatniego równania i pozwalając aby
, (gdyż została wyznaczona dla nieskończenie małej zmiany p_x)

,

co jest wynikiem, jaki uzyskaliśmy:
przy różniczkowaniu zwyczajnej funkcji popytu względem p_x.

Funkcje popytu o nachyleniu ujemnym i dodatnim

Znak nachylenia zwyczajnej funkcji popytu można wyznaczyć dzięki określeniu znaków każdego z komponentów równania Słuckiego i porównując ED i ES, gdy dobro jest niższego rzędu. Po pierwsze, określamy znak każdego komponentu:

1. Nachylenie funkcji skompensowanego popytu jest ujemne ze względu na malejącą MRS.

2. x* jest dodatnie, gdyż X jest dobrem konsumpcyjnym.

3. Nachylenie krzywej Engla jest dodatnie, gdy X jest dobrem normalnym I ujemne, gdy X jest dobrem niższego rzędu.

Możemy streścić znaki nachyleń funkcji popytu w następujący sposób:

Dobro normalne:

Nieskompensowany (-)

= skompensowany = (-)

-x*(krzywa Engla) -(+) (+)

Ujemne nachylenie

Dobro niższego rzędu:

Nieskompensowany (-)	= skompensowany = (-)	-x*(krzywa Engla) -(+) (-)	Ujemne nachylenie
SE jest silniejszy od DE
(+)	= (-)	-(+) (-)	Upward sloping
DE jest silniejszy od DE

Wyprowadzenie równania Słuckiego

Aby wyprowadzić równanie Słuckiego zaczniemy od rozwiązania problemu minimalizacji wydatków:

Wiemy, że optymalne rozwiązania problemy pierwotnego i dualnego mają te same rozwiązania x* i y* przy tej samej krzywej obojętności i linii ograniczenia budżetowego. Dla U* =
i M* =
, funkcje popytu skompensowanego I nieskompensowanego muszą dać te same wartości x i y. Dla tych równości możemy przekształcić równania

do postaci:

Różniczkując obie strony ostatniego równania względem p_x:

,

co przekształcamy do postaci:

.

Przekształcamy wyrażenia w ostatnim równaniu:

.

Widzimy, że ostatnie równanie jest takie samo, jak równanie Słuckiego oprócz wyrażenia:
.

W równaniu Słuckiego wyrażenie to jest po prostu x*. Jeżeli możemy wykazać, że:

,

to wykażemy, że równanie Słuckiego jest poprawne. Aby to zrobić odwołamy się do twierdzenia o obwiedni. Wiemy, że pochodna funkcji celu względem jednego z parametrów jest pochodną cząstkową, pomijając drugorzędne zmiany parametru. Innymi słowy jeżeli:

, to
i
.

Ten wniosek nosi nazwę lematy Hotellinga I pokazuje, że równanie Słuckiego jest prawdziwe.

Interpretacja równania Słuckiego

Interpretacja równania Słuckiego sprowadza się do stwierdzenia, że nieskończenie mała zmiana wzdłuż zwykłej krzywej popytu może być podzielona na dwie części. Zmiana wzdłuż krzywej popytu skompensowanego to SE. Zmiana wzdłuż krzywej Engla ważona wielkością dobra w rzeczywistości nabywaną to DE. W przypadku dóbr niższego rzędu, DE może być silniejszy od SE i zwykła krzywa popytu może mieć nachylenie dodatnie.

Elastyczność substytucji

i wielkość efektu substytucyjnego

Konsumenci z krzywymi obojętności o różnych kształtach będą mieli różne efekty substytucyjne dla danej zmiany ceny. Siłę substytucji pokazuje rys. 8.12.

Do porównywania efektów substytucyjnych u poszczególnych konsumentów wykorzystujemy miernik określany mianem: elastyczności substytucji. (W lewej części rysunku elastyczność substytucji jest względnie duża.)

Elastyczność substytucji mierzy procentową zmianę stosunku y/x spowodowaną procentową zmianą stosunku cen.

Przyjmijmy oznaczenia:

elastyczność substytucji Y na miejsce X

stosunek wielkości zakupu Y do X

stosunek cen

Dla ułatwienia załóżmy:

i
.

Mamy więc:

.

Czyli:

.

Wyprowadzając krzywą popytu skompensowanego dla funkcji U = xy stwierdziliśmy, że
(krzywa konsumpcji dochodowej). Dlatego dla tej funkcji użyteczności:

.

Warunek:
charakteryzuje funkcje użyteczności typu Cobb - Douglas'a, np. U = x^αy^β dla x, y > 0. Aby to wykazać posługujemy się krzywą konsumpcji dochodowej:
.

Po przekształceniu otrzymujemy:

,

lub:

Inne funkcje użyteczności mają inne elastyczności substytucji, np. dla
wyznaczamy:

i po obliczeniu pierwiastków kwadratowych otrzymujemy:

Skrajne przypadki elastyczności substytucji pokazuje rys. 8.13.

21

---