Zestaw 4.cd

Granica ciągu liczbowego (bez zadań na dowodzenie). Interpretacja pojęcia granicy. Własności funkcji (parzystość, nieparzystość; różnowartościowość). Należy położyć nacisk na odczytywanie własności funkcji z wykresu.

10. Pokazać, że funkcja f(x) = x log(|x|) jest funkcją nieparzystą.

Rozwiązanie.

Dziedzina funkcji f jest zbiorem D_f = {x∈R: x ≠ 0}. Ponieważ dla x∈R |x| = |-x| zatem dla x∈D_f f(-x) = -x log(|-x|) = -x log(|x|) = -f(-x) a to oznacza na mocy definicji funkcji nieparzystej, że f jest funkcją nieparzystą .

11 Pokazać, że funkcja f zadana równością

na D_f = {x∈R: x ≠-2}, jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie

Rozważmy x₁, x₂ ∈D i x₁ ≠ x₂ . Wtedy x₁ + 2 ≠ x₂ +2 a zatem również odwrotności są różne

1/(x₁ + 2) ≠ 1/(x₂ +2) i w konsekwencji 1/(x₁ + 2) + 1 ≠ 1/(x₂ +2) + 1 czyli f(x₁) ≠ f(x₂)

co wobec definicji różnowartościowości oznacza różnowartościowość f .

Zauważmy, że f ma postać kanoniczną funkcji homograficznej zatem przytoczone uzasadnienie może być powielone dla dowolnej homografii, skąd wyciągamy wniosek, że dowolna homografia jest funkcją różnowartościową.

Ćwiczenia.

Zadanie 4.1. Wypisz kilka wyrazów początkowych ciągu

Zadanie 4.2 Zbadaj monotoniczność ciągu

Zadanie 4.3. Oblicz granicę ciągu

Zadanie 4.4 Wyznacz granicę ciągu

Zadanie 4.5 Stosując twierdzenie o trzech ciągach oblicz granicę ciągu

Zadanie 4.6 Obliczyć granicę ciągu wykorzystując definicję liczby Eulera e .

Zadanie 4.7

Zadamie 4.8 Wyznaczyć dziedziny funkcji

Zadanie 4.9 Zbadać, czy podane funkcje są parzyste czy nieparzyste.

g) f(x) = 2x³ - x h) f(x) = x²+3x-2 i) f(x) = x⁷-2x+1

Zadanie 4,10 Zbadać różnowartościowość podanych funkcji

a) f(x) = x - 11 b) f(x) = 2^x - 1 c) f(x) = x³ - x d) f(x) = 4x² - 13

e) f(x) = x⁴ + x² + 2 f) f(x) = |x - 1| g) f(x) = |x³| h) f(X) = x|x|

Zadanie 4.11 Znaleźć f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)) i g(f(x)) dla f i g zadanych następująco

a) f(x) = x² , cg(x) = 2^x b) f(x) = log₂(x) , g(x) = x³

c) f(x) = log(x) , g(x) = 10^{x cc} d) f(x) = x^1/4 , g(x) = x⁴

Odpowiedzi.

Zadanie 4.1.

a) 2, 2, 2, 2

b) 1, 2, 1/3, 4

c) -1, 3/2, -1/3, 5/4

d) 3/2, -1, ľ, -3/5

e) -1, -6, -3, -12

Zadanie 4.2.

a) rosnący

b) malejący

c) malejący

d) rosnący

e) rosnący

f) malejący

g) malejący

h) rosnący

i) rosnący

j) rosnący

k) rosnący

l) malejący

Zadanie 4.3.

a) +∞ i) 0 q) 24/20

b) -∞ j) +∞ r) +∞

c) -3 k) +∞ s) -∞

d) 1 l) 2/3 t) 0

e) 0 m) 1 u) 1

f) +∞ n) 1 v) 0

g) -∞ o) 3 w) 1/8

h) -∞ p) 1 z) 1/3

Zadanie 4.4.

a) 1 c) 0 e) -1/2

b) 1 d) 0 f) -3/2

g) 0 k) 0 o) 0

h) 1 l) 5/2 p) 1/3

i) 0 m) -4/3 q) 1/2

j) 1/4 n) 4 r) 1

Zadanie 4.5.

a) 7

b) 7

c) 3/4

d) 1

e) 1

f) 1

g) 1

h) 2

i) 3

Zadanie 4.6.

a) e²

b) e^-1

c) e^-2/3

d) e⁴

e) 1

f) e^-8

g) e^-2

h)  e⁴

i)   e³

Zadanie 4.7.

a_n + b_n a_n - b_n a_n b_n a_n / b_n

a) +∞ -1 +∞ 1

b) +∞ +∞ +∞ 3/2

c) +∞ +∞ 1 +∞

d) +∞ -∞ +∞ 0

Zadanie 4.8.

1. (-∞, -1) ∪ (-1, +∞)

2. [-1, 1]

c) (-∞, 0) ∪ (4, +∞)

d) [-1, 1)

e) [-1, 0)

f) (-∞, -1) ∪ (-1, 2) ∪ (2, +∞)

g) [-2, 0) ∪ (0, 1)

h) (-∞, 0) ∪ (0, +∞)

Zadanie 4.9.

a) Nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

b) Jest nieparzysta.

c) Jest parzysta.

d) Jest parzysta.

e) Jest nieparzysta.

f) Jest nieparzysta.

g) Jest nieparzysta.

h) Nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

i) Nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

Zadanie 4.10.

a) Jest różnowartościowa.

b) Jest różnowartościowa.

c) Jest różnowartościowa.

d) Nie jest różnowartościowa. f(-1) = f(1)

e) Nie jest różnowartościowa. f(-1) = f(1)

f) Nie jest różnowartościowa. f(0) = f(2)

g) Nie jest różnowartościowa. f(1) = f(-1)

h) Jest różnowartościowa.

Zadanie 4.11.

f(f(x)) g(g(x)) f(g(x)) g(f(x))

a) x⁴ ₂2^x 4^x ₂x²

b) log₂(log₂(x)) x⁹ log₂(x³) (log₂(x))³

c) log(log(x)) ₁₀10^x x x

d) x^1/16 x¹⁶ x x

Na ćwiczeniach proponujemy do rozwiązania:

Ćwiczenia

1. e) 2. h) 3. o) 4. e) 5. c) 6. f) 7. c) 8. g) 9. b) 10. g) 11. d)

1

---