Cel ćwiczenia: Sprawozdanie ocenione na 5 (Wosińska)

Celem ćwiczenia jest prześledzenie procesu powstawania błędów przypadkowych przy użyciu tablicy Galtona. Celem doświadczenia jest także porównanie otrzymanego roz­kładu wyników z rozkładem teoretycznym Gaussa. W ćwiczeniu należy także określić wa­runki, w jakich tablicę Galtona można wykorzystywać do symulacji procesu powstawania błędów przypadkowych.

Wykonanie ćwiczenia:

Ćwiczenie przeprowadziliśmy przy pomocy tablicy Galtona. Przyrząd ten składa się z wielu rzędów kołeczków umieszczonych na płaskiej tablicy ustawionej pionowo lub pod pewnym kątem do pionu. Na kołeczki spuszcza się z góry kulki, które tocząc się po tablicy w dół zderzają się z kołeczkami i wpadają do przegródek umieszczonych w dolnej części ta­blicy. W wyniku wielokrotnych zderzeń kulki przemieszczają się także w kierunku pozio­mym. Ruch kulki na tablicy Galtona stanowi model procesu powstawania błędu przypadko­wego. Wynikowi pomiaru odpowiada numer przegródki, do której trafiła kulka, zaś całkowite poziome przemieszczenie kulki błędowi przypadkowemu jaki towarzyszy pomiarowi. Zreali­zowaliśmy szereg niezależnych serii pomiarowych składających się z różnej liczby elemen­tów (kulek). Maksymalna ilość elementów była określona parametrami tablicy - wysokość kolumny.

Wyniki pomiarów przedstawiono w tabelach 1- 5:

Dla 20 pomiarów:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
													2	3	4	2	1	1	1	2	1		1			1				1

Tabela 1

Dla 50 pomiarów:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
							2			1	4	2	2	3	3	5	5	4	2	4	1	3	4	2	1	1	1

Tabela 2

Dla 100 pomiarów:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
				1	1		2	4	1	1	3	6	4	5	6	12	11	7	10	7	5	6	3	1	1			1		2

Tabela 3

Dla 687 pomiarów:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
	2	1	3	6	3	5	10	9	7	18	18	31	40	33	54	54	53	51	53	50	38	43	24	13	42	5	5	7	2	3	4

Tabela 4

Dla 1767 pomiarów:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
	5	3	4	11	4	13	22	24	35	43	49	88	97	98	131	141	160	144	138	128	95	92	50	39	72	15	15	19	6	8	8

Tabela 5

Na podstawie wyników badań obliczyliśmy wartości średnie pomiarów dla liczby pomiarów n = 20, 50, 100, 687, 1767. Zależność
przedstawia wykres nr 1

Dla 20 Dla 50 Dla 100 Dla 687 Dla 1757	n 20 50 100 687 1757 17,70 17,30 16,69 17,11 17,13

Analogicznie obliczyliśmy wartości średniego błędu kwadratowego pojedynczego po­miaru (wykres nr 2)

Dla 20 Dla 50 Dla 100 Dla 687 Dla 1757	n 20 50 100 687 1757 4,54 4,82 4,89 5,07 5,07

oraz odchylenie standardowe średniej (wykres nr 3)

Dla 20 Dla 50 Dla 100 Dla 687 Dla 1757	n 20 50 100 687 1757 1,02 0,68 0,49 0,20 0,12

Na wykresie nr 4, 5, 6, 7, 8 przedstawiliśmy jednocześnie (w celu lepszej prezentacji wniosków) histogram wyników pomiarów dla poszczególnych n = 20, 50, 100, 687, 1757 oraz funkcję rozkładu Gaussa
pomnożoną przez n (liczbę pomiarów).

Następnie policzyliśmy wartość testu
dla liczby pomiarów n = 1757. Test ten służy do weryfikacji zgodności rozkładu normalnego z rozkładem wyników uzyskanych w doświadczeniu przeprowadzonym dla n kulek.

, gdzie
- prawdopodobieństwo uzyskania wielkości
(f-cja Gaussa)

- liczba elementów przypadających na k-ty przedział

- liczba wszystkich pomiarów

Dodatkowo wprowadziliśmy wielkość zwaną liczbą stopni swobody.

L = m - r -1

gdzie r jest liczbą parametrów określających rozkład teoretyczny (r = 2 dla rozkładu Gaussa), a m = 31 (rząd), toteż wykonując proste działania wyznaczamy liczbę stopni swobody na

L = 28.

Wnioski:

1. W ćwiczeniu badaliśmy zmienność parametrów: odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru (
) i odchylenia standardowego średniej (
) w zależności od ilości pomiarów. Stwierdziliśmy, że
maleje wraz ze wzrostem ilości pomiarów, natomiast
nie zależy od ilości pomiarów.

2. W ćwiczeniu badaliśmy także zgodność rozkładu wyników doświadczalnych z teoretycz­nym rozkładem Gaussa i doszliśmy do następujących wniosków:

Na podstawie przedstawionych powyżej wyników otrzymano wartość
= 101,14. Dla 28 stopni swobody wartość
wynosi 48,3 , a więc
co oznacza, że dla poziomu ufności P = 0,01 hipoteza mówiąca, że nasze dane doświadczalne opisane są rozkładem gaussa jest fałszywa.

Dla
= 101,14 przy 28 stopniach swobody poziom ufności jest praktycznie równy 0 w stosunku poziomu ufności 0,01.

Poziom ufności P odczytaliśmy z tabeli rozkładu
umieszczonej w skrypcie CLF rachunku błędów (Tabela nr 3), dla stopnia swobody L = 28 oraz odpowiadających im wartości
przez nas obliczonych.

Obliczenia parametrów charakteryzyjących rozkład Gaussa dokonaliśmy przy pomocy programu Microsoft Excel© oraz MathCad™.

Do sprawozdania dołączamy tabelę, obliczeń potrzebnych wielkości, wykonaną w programie Microsoft Excel©.

---