geodezja wyższa i astronomia - Wykłady

Wykłady III rok, 5 semestr.

AR w Krakowie

ZSZ Geodezja

Literatura uzupełniająca:

1. „Geodezja współczesna”

Wykład 1 (Zjazd I)

Temat: Geometria elipsoidy.

Dwa podstawowe zadania geodezji wyższej:

1. Wykonanie pomiaru i obliczeń na dużych powierzchniach.

2. Wykonanie pomiarów mających na celu wyznaczenie kształtu i wielkości bryły ziemskiej.

Dwa warunki do obliczeń powierzchni geoidy:

1. wybrana powierzchnia musi się dać przedstawić wzorami,

2. musi być bliska kształtu i wielkości do geoidy rzeczywistej.

Wyżej wymienione warunki spełnia geoida zerowa - jest powierzchnią odwzorowania w niwelacji precyzyjnej. Powstaje przez przedłużenie (teoretycznie) powierzchni mórz i oceanów w stanie spoczynku pod lądami. Jest to powierzchnia ekwipotencjalna, w pełni wyznaczona mechanicznie, ale matematycznie bardzo skomplikowana. Spełnia ona obydwa warunki.

Elipsoida trójosiowa - spełnia obydwa warunki, wzory są bardzo skomplikowane, ale wyniki są podane z dużą dokładnością, ma zastosowanie w zagadnieniach naukowo - budowlanych. W elipsoidzie trójosiowej południki są elipsami posiadającymi jedną wspólną oś, równiki i równoleżniki są elipsami podobnymi.

Następną powierzchnią odniesienia jest elipsoida obrotowa (dwuosiowa). Powstaje ona przez obrót elipsy dookoła krótszej półosi. Południki są elipsami przystającymi, wszystkie równoleżniki są kołami. Powierzchnia jest stosowana w praktyce (w obliczeniach).

Kula - stosuje się tę powierzchnię odniesienia przy mniejszej dokładności, np. przy kartografii małoskalowej.

Płaszczyzna - (stosowana przy opracowaniach geodezyjnych niedużych rozmiarów) - powinna być styczna do danego obszaru. W miarę oddalania się zniekształcenia rosną.

Elipsoida obrotowa (Dwuosiowa)

Punkty końcowe osi obrotu to bieguny, krzywe przecięcia powierzchni elipsy przystające o półosiach a i b. Koła, których powierzchnie są prostopadłe do osi obrotowej - równoleżniki. Są to wszystkie koła małe - oprócz jednego - równik (koło wielkie).

Wielkość i kształt charakteryzują wielkości takie, jak:

• półosie a i b,

• mimośród e (e'),

• spłaszczenie na biegunach μ.

Wystarczy znać jedną półoś i spłaszczenie:

Elipsoida Krassowskiego:

a = 6 378 245,000 m (duża półoś),

b = 6 356 863,019 m (mała półoś),

μ = 1 : 298,3

e² = 0,669 342 162 3

e'² = 0,006 738 525 415

Współrzędne geograficzne i prostokątne

Położenie dowolnego punktu na powierzchni elipsoidy może być wyznaczone za pomocą współrzędnych geograficznych lub prostych przestrzennych.

Jedna z płaszczyzn jest płaszczyzną równika, dwie pozostałe są prostopadłe do siebie płaszczyznami południków.

Przez każdy punkt na powierzchni elipsoidy możemy przeprowadzić południk, a następnie przyjmując jeden z południków jako początkowy, to jedną ze współrzędnych geograficznych - długość - λ określamy jako kąt dwuścienny zawarty między płaszczyzną południka zerowego (początkowego) a płaszczyzną południka przechodzącego przez dany punkt.

Długość geograficzna zmienia się od 0 do - 180 długości wschodniej i od 0 do + 180 długości zachodniej.

Druga współrzędna - szerokość φ - jest to kąt jaka normalna do powierzchni elipsoidy wystawiona w danym punkcie tworzy z płaszczyzną równika. Zmienia się od 0 do +90 na północ i od 0 do - 90 na południe.

Między współrzędnymi geograficznymi a prostokątnymi zachodzą związki - mając jedne współrzędne możemy obliczyć drugie.

Wzory:

Szerokość geocentryczna i zredukowana

Szerokość geocentryczna - jest to kąt jaki tworzy promień wodzący OP z płaszczyzną równika.

Szerokość zredukowana - powstaje zataczając ze środka elipsoidy kulę o powierzchni a, następnie prostopadle do płaszczyzny równika należy przerzutować punkt P na nową otrzymana powierzchnię. Kąt jaki tworzy OP' z płaszczyzną równika nazywamy szerokością zredukowaną.

Miedzy szerokością geocentryczną a szerokością zredukowaną zachodzą związki:

Różnice między szerokością geocentryczna a zredukowaną:

Różnice między szerokością geocentryczna a zredukowaną:

φ = 45˚

(φ - ψ)_max = 11,6'

(φ - μ)_max = 5,6'

φ > μ > ψ

Długość łuku południka

Krzywizna linii na powierzchni

Zagadnienie wyznaczania krzywizny krzywych na danej powierzchni sprowadza się do wyznaczania krzywizny krzywych płaskich.

Wśród krzywych leżących na danej powierzchni i przechodzących przez punkt P możemy wyróżnić dwa zasadnicze rodzaje:

1. krzywe otrzymane z przekroju powierzchni płaszczyznami przechodzącymi przez normalną do powierzchni,

2. krzywe otrzymane z przekroju powierzchni płaszczyznami nachylonymi do normalnej w danym punkcie.

Rozpatrywane powierzchnie krzywizn przekrojów normalnych powierzchni można stwierdzić, że istnieją dwa z pośród nich wzajemnie prostopadłe do siebie, z których jeden ma wielkość maksymalną, a drugi wielkość minimalną. Dwa takie przekroje to przekroje główne.

Przekrój południkowy

M - promień krzywizny przekroju południkowego

Przekrój równoleżnikowy - (skośny), jego promień krzywizny tworzy kąt φ z promieniem odpowiedniego przekroju normalnego N.

Średni promień krzywizny - R_s

Podstawowa funkcja danej elipsoidy - W

Wykład 2 (Zjazd II)

Temat 1: Obliczenie długości łuku południka i równoleżnika.

Temat 2: Wyznaczenie elementów elipsoidy.

Temat 3: Orientacja elipsoidy względem geoidy.

1. Wzór dla długości południka:

- wzór ścisły na obliczenie dowolnej długości łuku, całka eliptyczna (wzór bardzo skomplikowany i pracochłonny).

ds = M dφ - długość łuku

Wzór na obliczenie dowolnej długości łuku - stosuje się w praktyce

Gdy łuk jest krótszy od 1/3 a, to:

φ_s - średnia szerokość

Gdy kąt środkowy nie przekracza 1˚ to wtedy:

M_s - średni promień krzywizny dla danego wycinka łuku.

Długość łuku zależy od jego miejsca, np.:

φ = (1”)

0˚ = 30,7 m

30˚ = 30,8 m

60˚ = 30,9 m

90˚ = 31,0 m

Długość łuku południka odpowiada 1' na elipsoidzie Clarke'a pod szerokością w obserwatorium w Greenwich wynosi 1853,181 m i jest to długość 1 mili morskiej.

2. Obliczenie kąta środkowego:

Gdy mamy długość łuku możemy obliczyć kąt środkowy. Powstaje z odwrotności wzoru na obliczenie długości południka.

Z uwagi na to, że obliczenie kąta środkowego dokonujemy przy pomocy promienia krzywizny, który jest dla danego południka zmienny, dlatego oprócz danej długości łuku południka musi być podane położenie tego łuku.

3. Obliczenie długości łuku równoleżnika:

4. Obliczenie dowolnej długości łuku na elipsoidzie:

A (φ₁, λ₁),

B (φ₂, λ₂).

Kąt środkowy δ zawarty między normalną N₁ wystawioną w punkcie A, a prostą B K_B ze znakiem A.

Wzór na obliczenie dowolnej długości łuku:

1˚ → 100 km

α - azymut łuku

5. Obliczenie dowolnej długości łuku na elipsoidzie:

Temat 2: Wyznaczenie elementów elipsoidy.

Metody wyznaczania elementów elipsoidy:

1. metoda astronomiczno - geodezyjna,

2. metoda na podstawie pomiarów grawimetrycznych (przyspieszonych),

3. metoda na podstawie ruchów sztucznych satelitów.

1. Metoda astronomiczno - geodezyjna.

W tej metodzie wychodzimy ze wzoru na obliczenie długości łuku południka:

e² - pierwszy mimośród,

a - duża półoś.

Długość łuku s miedzy dwoma punktami można pomierzyć, szerokości φ₁ i φ₂ punktu początkowego i końcowego możemy wyznaczyć przy pomocy pomiarów astronomicznych. Wszystkie obliczenia wykonujemy na elipsoidzie rzeczywistej.

2. Metoda na podstawie pomiarów grawimetrycznych (przyspieszonych).

g - przyspieszenie siły ciężkości,

g_a - przyspieszenie siły ciężkości na równiku,

g_b - przyspieszenie siły ciężkości na biegunie.

3. Metoda na podstawie ruchów sztucznych satelitów.

Do wyznaczenia elementów elipsoidy wykorzystywane są sztuczne satelity, które poruszają się po różnych orbitach i na różnych wysokościach.

Ruch sztucznego satelity wokół Ziemi podlega prawom Keflera, a jego tor jest elipsą, której jedno ognisko znajduje się w środku Ziemi.

Ponieważ Ziemia ma kształt elipsoidy wybrzuszonej na równiku, które to wybrzuszenie zakłóca ruch sztucznego satelity, co powoduje zmianę jego toru w przestrzeni.

Wzory na wyznaczenie elementów:

p - spłaszczenie Ziemi,

ω - prędkość kątowa,

g₀ - przyspieszenie siły ciężkości na równiku,

ā - duża półoś Ziemi,

a - duża półoś orbity satelity,

e -mimośród orbity,

i - nachylenie płaszczyzny orbity satelity do płaszczyzny równika,

n - średni ruch satelity

- przesuwanie się węzłów na równiku λ₀ jest długością w momencie t₀, a λ₁ jest długością w momencie t₁.

Węzły - to punkty przesunięcia orbity z płaszczyzną równika ziemskiego.

Elipsoidy:, które były stosowane i już ich się obecnie nie stosuje.

Bessela - 1841,

Hayforda - 1910,

Krassowski -1942,

Obecnie stosuje się do obliczeń Elipsoidę WGS 1984.

Temat 3: Orientacja elipsoidy względem geoidy.

Podstawowym wymogiem będzie takie zorientowanie elipsy względem geoidy, aby rozbieżności między obydwoma powierzchniami były najmniejsze, tzn. odległości między obydwoma powierzchniami powinny wynosić minimum, oraz powinna być bliskość normalnej do elipsoidy w dowolnym punkcie z linią pionu w tym samym punkcie.

Współrzędne na geoidzie (φ, λ, α) są związane z linią pionu, która jest prostopadła do powierzchni geoidy w danym punkcie. Natomiast odpowiednie współrzędne geodezyjne na elipsoidzie są odniesione do normalnej wystawionej w tym punkcie.

Linia pionu i normalna wystawiona w dowolnym punkcie nie pokrywa się, a więc i odpowiednie współrzędne nie są sobie równe.

Niezgodność ta jest spowodowana:

1. przyjętymi wymiarami elipsoidy odniesienia,

2. jej orientacją względem bryły geoidy,

3. rozbieżnościami kształtów geoidy od elipsoidy.

Elipsoida będzie zorientowana względem geoidy, gdy będą spełnione następujące warunki:

1. środek geometryczny elipsoidy pokryje się ze środkiem ciężkości geoidy,

2. płaszczyzny równików obydwu brył będą co najmniej równoległe do siebie,

3. suma odchyleń wysokościowych między obydwoma wysokościami będzie wynosić minimum,

Tak zorientowaną elipsoidę nazywamy Ogólną Elipsoidą Ziemską.

Lokalna elipsoida odniesienia - powinna spełnić następujące warunki:

1. W punkcie przyłożenia obydwie powierzchnie (elipsoidy i geoidy) powinny się stykać,

2. Linie pionu i normalna w punkcie przyłożenia powinny się pokrywać,

3. Azymut jakiegoś kierunku wychodzącego z punktu przyłożenia na elipsoidzie ma być równy azymutowi tego kierunku na geoidzie.

Punkt przyłożenia - jest to główny punkt triangulacji światowej, miejscowość: Borowo koło Warszawy, na północny wschód, później miejscowość: Pułków.

Odchylenie pionu

W dowolnym punkcie A wystawiamy trzy proste. Pierwsza prosta (p) jest prostopadła do powierzchni geoidy i nazywa się linią pionu. Druga prosta (n₁) - normalna do powierzchni elipsoidy ogólnej. Trzecia prosta (n₂) - normalna do powierzchni elipsoidy lokalnej.

Z uwagi na to, że te trzy powierzchnie nie pokrywają się, ani nie są do siebie równoległe, dlatego między tymi prostymi występują pewne kąty.

Kąt Q_b - miedzy linią pionu (p) a normalną do ogólnej elipsoidy odniesienia (n₁) nazywa się odchyleniem pionu bezwzględnym.

Kąt Q_w - miedzy linią pionu (p) a normalną do lokalnej elipsoidy odniesienia (n₂) nazywa się odchyleniem pionu względnym.

Odchylenie pionu wynosi kilka sekund, ma niekorzystny wpływ na wykonywane prace geodezyjne i dlatego wielkości pomierzone na powierzchni geoidy należy redukować przy przenoszeniu na powierzchnię elipsoidy (długość, szerokość i azymut).

Wykład 3 (Zjazd III)

Temat 1: Redukcja pomiarów geodezyjnych.

Temat 2: Wzajemne przekroje normalne.

Temat 3: Trójkąt sferoidalny i sferyczny.

Istnienie odchyleń pionu powoduje, że kąty pomierzone na geoidzie przy przenoszeniu na powierzchnię elipsoidy muszą podlegać redukcji.

(rys.)

AZ - linia pionu wystawiona w punkcie A,

AZ₁ - kierunek normalnej wystawionej w tym punkcie,

Q - odchylenie pionu w punkcie A,

a, b, c - są to rzuty ortogonalne punktów A, B, C na powierzchnię elipsoidy.

Na powierzchni fizycznej mamy trzy punkty A, B, C, np. wierzchołki trójkąta. W punkcie A - stanowisko, zostało pomierzony kąt BAC, który ma być przerzutowany na powierzchnię odniesienia (elipsoidę dwuosiową).

Kat pomierzony w terenie jest to kąt pomiędzy płaszczyznami pionowymi ZAB a ZAC. Rzut tego kąta na elipsoidę jest to kąt zawarty między przekrojami normalnymi ab, a ac.

Ponieważ proste Aa, Bb, Cc są to proste wichrowate, dlatego wyznaczenie różnicy pomiędzy kątem bezpośrednio pomierzonym, a jego rzutem na powierzchni elipsoidy musi odbywać się stopniowo (redukujemy małe kąty c i b na duże kąty C i B).

Wzory na redukcję:

Wzór o mniejszej dokładności:

- założono, że kąt CAB wynosi około 60˚, więc obliczono współczynnik 115.

Poprawki redukcyjne

Teren	Q	(b + c) - A
w równinach	1,5”	0,01”
w górach	60”	0,5”

Jeżeli odchylenie kąta leży w dwusiecznej, wtedy wpływ jest największy, gdy prostopadłe do dwusiecznej, wtedy wpływ byłby 0.

Temat 2: Wzajemne przekroje normalne.

W dotychczasowych rozważaniach przekroje normalne na powierzchni elipsoidy dotyczyły przekrojów prowadzonych w różnych kierunkach, przez normalną wystawioną w jednym punkcie.

Gdy będziemy mieli dwa dowolne punkty i będziemy chcieli je połączyć:

Na powierzchni elipsoidy mamy dwa punkty (P₁ i P₂). One nie leżą na tym samym południki, czy równoleżniku. Dowolne punkty - różne. W tych punktach wystawiamy normalne N₁ i N₂. Normalne wystawione są to normalne wichrowate i przez nie da się poprowadzić płaszczyzny, czyli połączyć punkty.

Możemy natomiast przesunąć płaszczyznę przez normalną wystawioną w punkcie P₁ oraz przez punkt P₂, a następnie drugą płaszczyznę przez normalną N₂ wystawioną w punkcie P₂ oraz punkcie P₁. Takie dwie płaszczyzny dadzą nam na powierzchni elipsoidy dwa różne przekroje normalne (I i II), nie pokrywające się.

Takie dwa przekroje nazywamy wzajemnymi przekrojami normalnymi. Przy czym przekrój I nazywamy przekrojem wprost, natomiast przekrój II nazywamy przekrojem odwrotnym.

Jeśli natomiast, gdy te punkty będą leżeć na tym samym południku, przekroje pokrywają się i będą leżeć w płaszczyźnie równika, jeśli na tych samych równoleżnikach, to obydwa przekroje pokrywają się wzajemnie, ale nie pokrywają się z równoleżnikami. Przekroje normalne mają właściwości koła wielkiego, a równoleżniki z małymi kołami, dlatego nie pokrywają się z równoleżnikami.

Wzór na różnice wprost, a odwrotnym przekrojem:

s - odległość między punktami,

N - promień przekroju poprzecznego,

m - średnia.

gdy:

s = 100 km,

φ_m = 45˚

α₁ - α₂ = 0,043”

q = 0,005 m

Możemy wyznaczyć również największą odległość między płaszczyznami I i II, (czyli przekrojem q). Jest to odległość liniowa.

η - jedna z dwóch składowych odchylenia pionu.

Ta różnica zawsze istnieje, bo te przekroje się nigdy nie pokrywają.

Jeżeli odległość jest mniejsza od 0,002 a, to wtedy przekroje pokrywają się.

a - duża półoś elipsoidy (127 km).

Temat 3: Trójkąt sferoidalny i sferyczny.

Na powierzchni elipsoidy przyjmujemy trzy punkty - różne, nie leżące na tym samym południku i równoleżniku, to wtedy łącząc te punkty otrzymamy trójkąt. Gdy odległości mniejsze to punkty można połączyć w sposób jednoznaczny: otrzymamy trójkąt leżący na powierzchni elipsoidy jedną linią. Otrzymamy trójkąt sferoidalny.

Odpowiednie kąty w obu trójkątach nie będą sobie równe. Jak kąty, to i azymuty boków nie będą równe na kuli i na elipsoidzie.

Wzór na różnice kątów:

Z dużym przybliżeniem można przyjąć, że E - nadmiar sferyczny trójkąta sferoidalnego jest równy nadmiarowi sferycznemu trójkąta sferycznego, o tych samych bokach i kątach.

gdy: S = 100 km to ΔP = 0,05”

S = 30 km to ΔP = 0,003”

Trójkąt sferoidalny można obliczać prawie tak, jak trójkąt sferyczny, bo wzory są prostsze.

Metody rozwiązywania małych trójkątów:

1. Metoda Legendre'a

2. Metoda Soldnera - metoda aditamentów.

Metoda Legendre'a

Trójkąt sferyczny można rozwiązać z dużymi przybliżeniami, jako trójkąt płaski o tych samych bokach i kątach zmniejszonych o 1/3 nadmiaru sferycznego.

Suma kątów w trójkącie sferycznym = 180˚ + E

Suma kątów w trójkącie płaskim = 180˚

Wykorzystujemy wzory sinusowe do figur płaskich.

Wzory na różnicę między trójkątem sferycznym, a figurą płaską (kątów).

Metoda Soldnera

Aditament - jest to poprawka do logarytmu boku.

Trójkąt sferyczny zostaje już rozwiązany logarytmami. Są wprowadzane poprawki - aditamenty.

Jeżeli mamy już wyrównane kąty w trójkącie sferycznym, na ich podstawie następuje rozwiązanie. Wychodzimy od boku zamierzonego.

μ - sami wyznaczamy,

A_s i 6R₂ - gdy, nie możemy znaleźć log wielkości.

Wykład 4 (Zjazd IV)

Temat 1: Zamiana współrzędnych - metody.

Temat 2: Wyrównanie sieci astronomiczno geodezyjnej.

Linia geodezyjna - jest to krzywa, która spełnia następujące warunki:

1. w każdym jej punkcie normalna główna do krzywej jest zarazem normalną do powierzchni w tym punkcie,

2. płaszczyzna ściśle styczna do krzywej w każdym jej punkcie zawiera normalną do powierzchni,

3. punkt poruszający się po powierzchni bez działania żadnej siły biegłby po jej krzywej,

4. linia geodezyjna jest najkrótszą odległością miedzy dwoma punktami.

Na powierzchni kuli każde koło wielkie jest ortodromą. Na dowolnej powierzchni (na płaszczyźnie) warunek taki spełnia linia prosta.

Na elipsoidzie wszystkie południki są ortodromami. Ważną właściwością linii geodezyjnej jest to, że dwa sąsiednie elementy tworzą z południkami jednakowe kąty.

Z punktu A leżącego na równiku wychodzi ortodroma α₀, który jest mniejszy od 90˚ (α₀ < 90˚). Gdy punkt porusza się po ortodromie, jego szerokość zredukowana rośnie i osiąga największą wartość, gdy α₀ = 90˚, sin α = 1, od tego punktu szerokość maleje.

Azymut wyjściowy określa nam z góry równoleżnik styczności.

μ_max = 90˚ - α₀

Analiza przebiegu linii geodezyjnej względem wzajemnych przekrojów normalnych:

P₁ i P₂ są połączone wzajemnie przekrojami: P₁ a P₂, P₂ b P₁. Azymuty są w punktach:

P₁ - α₁, α'₁; P₂ - β₁, β'₁. Azymut jest liczony od południowej części południka. Linia geodezyjna przebiega: P₁ s P₂.

Na podstawie różnicy azymutów określa się położenie linii geodezyjnej:

α₁ - α, α - α'₁; β - β'₁, β₁ - β.

Wzory na różnice azymutów:

Kąt jaki tworzą między sobą wzajemne przekroje normalne:

S - mimośród,

N - przekrój krzywizny pierwszego wertykału.

Linia geodezyjna w otoczeniu punktu P₁ (wyjściowego), przebiega w odległości kątowej od przekroju wprost wynoszącej 1/3 rozwartości kątowej wzajemnych przekrojów normalnych.

W otoczeniu punktu końcowego odległość linii geodezyjnej od przekroju normalnego wprost, czyli A, wynosi 2/3 rozwartości kątowej.

Wzajemność przekrojów normalnych

P₁ a P₂ = w (przekrój wprost),

P₂ b P₁ = v (przekrój odwrotny).

Wzór na różnicę długości pomiędzy przekrojem a linią geodezyjną:

w = v

Przy założeniu:

Linia geodezyjna nie jest nigdy przedmiotem bezpośredniego pomiaru a tylko obliczeń. Wprowadzanie do geodezji linii geodezyjnej polega na tym, że spełnia ona zadanie łącznika pomiędzy bezpośrednimi pomiarami geodezyjnymi i astronomicznymi a przyjętymi danymi odnośnie powierzchni Ziemi.

Wprowadzenie linii geodezyjnej pozwala na zestawienie niezbędnych zwiazków matematycznych.

Temat 2: Wyrównanie sieci astronomiczno geodezyjnej.

Przy pomocy wyrównywania sieci astronomiczno geodezyjnej możemy wyznaczyć elementy służące do wyznaczenia odchylenia pionu.

Mimo to musi być jedna taka sieć, w której oprócz niezbędnych wielkości astronomicznych w punkcie początkowym i końcowym (długość, szerokość, azymut) pomierzono te same wielkości na kilku innych punktach.

Te nadliczbowe pomiary posłużą do lepszego i dokładniejszego wyznaczenia elipsoidy na danym obszarze.

Wystawiono dwa przypadki.

Elipsoida lokalna.

W punkcie przyłożenia (początkowy) nie ma odchylenia pionu (normalna pokrywa się z linią pionu).

Elipsoida normalna.

W punkcie początkowym istnieje pewne odchylenie pionu o składowych wyznaczonych: (v, η), które jest wyznaczone na podstawie pomiarów grawimetrycznych lub innych.

Mając w sieci punkt astronomiczny, po obliczeniu współrzędnych geodezyjnych (b, l), możemy wyznaczyć różnicę pomiędzy współrzędnymi astronomicznymi a współrzędnymi geodezyjnymi: φ, λ → B, L. Obliczone różnice prowadzą do odchylenia (jakie jest).

Kolejność prac przy obliczaniu sieci astronomiczno - geodezyjnej.

1. Obserwacje geodezyjne wyrównujemy w oddzielnych łańcuchach triangulacji pomiędzy dwoma punktami astronomicznymi. Następnie obliczamy długości boków łączących punkty astronomiczne oraz kąty wierzchołkowe przy astronomicznych punktach załamania.

2. W punkcie wyjściowym przyjmujemy współrzędne geodezyjne równe współrzędnym astronomicznym. Obliczenia prowadzimy na przyjętej elipsoidzie odniesienia.

3. Ze współrzędnych astronomicznych wierzchołków poligonu obliczamy długości boków oraz ich azymuty, a następnie obliczamy składowe odchylenia pionu dla punktu początkowego.

4. Zestawiamy równania na obliczenie składowych odchylenia pionu dla każdych dwóch sąsiednich punktów, a następnie wstawiamy do równania La'palsea wielkości odchylenia pionu w celu ich rozwiązania.

Geometria elipsoidy

Obliczanie współrzędnych

Wzajemne położenie punktów na powierzchni Ziemi, które zostały wyznaczone przy pomocy triangulacji musi być odniesione do jakiegoś układu współrzędnych i takim najogólniejszym jest układ współrzędnych geograficznych - długość i szerokość.

Z żadnych obserwacji nie jesteśmy w stanie uzyskać współrzędnych w sposób bezpieczny, dlatego musimy skorzystać z obserwacji astronomicznych, które pozwalają na uzyskanie współrzędnych punktu wyjściowego i azymutu kierunku początkowego.

W dalszej kolejności wyłania się zagadnienie wyznaczenia współrzędnych punktu następnego, który jest połączony z punktem wyjściowym linią geodezyjna o znanej długości i azymucie - i jest to tzw. główne zadanie geodezyjne, które może być rozważane różnymi metodami. Istnieje jeszcze zadanie odwrotne - liczymy długość linii geodezyjnej i azymut.

Wzór na błąd określenia współrzędnych punktów:

±Δα - średni błąd pomiaru kąta w trójkącie (±Δα = ±0”5)

s - średnia długość boku, s = 30 km.

Odcinek na powierzchni kuli

R = 6370 km odpowiada kątowi środkowemu, który jest równy 0”,005

- liczymy z taka dokładnością.

Układ liniowy na powierzchni wynosi około 6 mm.

Metody rozwiązywania głównego zadania geodezyjnego (głównego):

1. Metoda Clarka.

Dla typowych boków o długości 30 km spotykanych w triangulacji. Przy takich długościach jest rozważane dla kuli.

Na powierzchni odniesienia jaką jest elipsoida: a, e - dwie znane wielkości.

Mamy znane:

Współrzędne punktu: P₁, φ₁, λ₁,

Azymut w punkcie wyjściowym: α_1-2,

Odległość: P₁ - P₂ = s,

Szukane:

P₂, φ₂, λ₂,

Przez punkt P₂ prowadzimy ortodromę, która jest prostopadła do południka przechodzącego przez punkt P₁. otrzymujemy trójkąt P₁, P₂, P'₂ (trójkąt prostokątny, jeżeli zagadnienia na kuli to jest to trójkąt sferyczny o tych samych kołach co trójkąt sferoidalny, przy czym R kuli przyjmujemy jako średni przekroju południka i poprzecznego R₁ = MN. Ponadto przez punkt P₂ prowadzimy równoleżnik, który w przecięciu z południkiem punktu P₁ daje punkt P⁰₂.

Z rozwiązania trójkąta prostokątnego (sferycznego) obliczamy wielkości u i v, które posłużą nam do dalszych obliczeń:

Szerokość geograficzna punktu P'₂:

Średnia szerokość: P'₂ i P˚₂:

[3] - współczynnik, który obliczamy lub wyciągamy z tablic dla argumentu φ₀.

Mając wielkość d, obliczamy:

Różnica długości:

Zbieżność południków:

Wykład 5 (Zjazd V)

Temat: Zamiana współrzędnych - metody c. d.

Metoda Gaussa (metoda średniej szerokości).

Wzory otrzymujemy z rozwinięcia wielkości φ, λ, α w szereg. W metodzie tej dane wyjściowe to współrzędne między punktami P₁ i P₂ oraz ich azymut i długości.

Wprowadza się dodatkowe oznaczenia:

Metoda Krügera.

Rozwijamy w szereg różnicę szerokości, długości oraz azymutów, przy czym w takiej formie jak to się robi dla elipsoidy, ale Krüger robi to dla kuli wprowadzając:

e² = e'² = 0

Wzory na rozwinięcia w szereg:

• różnica szerokości:

• różnica długości:

Kula.

Elipsoida.

N₁ - promień kuli, na której prowadzimy obliczenia.

Na kuli obieramy punkt P'₁ w ten sposób, aby miał tę samą długość i szerokość co punkt P₁ leżący na elipsoidzie. Następnie przyjmujemy na kuli łuk koła wielkiego, który oznaczamy: δ → δ = s, ponadto azymut tego boku a_1-2 = α_1-2. różnica długości pomiędzy punktami: P₁ i P₂ = Δλ. Na kuli różnica długości między punktami: P'₁ i P'₂ = l.

Żeby to zadanie rozwiązać wprowadza się dodatkowe oznaczenia:

Rozwiązujemy dwa trójkąty sferyczne: I trójkąt P₁ P”₂ P'₂, II trójkąt P'₂ P”₂ B'. Potem wyliczamy x, y.

Metoda Schreibera.

Można przenosić współrzędne na odległość 100 km. Metoda ta polega na rozwinięciu różnic: φ, λ, α w szeregi. Jeżeli w szeregach zachowamy wyrazy czwartego rzędu można będzie wtedy przenosić współrzędne na odległość 150 km.

Przez punkt P₂ prowadzimy łuk ortodromy prostopadle do południka punktu P₁. otrzymamy trójkąt sferoidalny, który oznaczamy P₁ φ₂ P' φ - rozwiązujemy jako trójkąt sferyczny o promieniu R = √(M₁N₁) - (promienie krzywizn).

Wzory na współrzędne (wartości pomocnicze):

Ostateczna postać wzorów:

W zadaniu tym w pierwszej kolejności przenosimy współrzędne z punktu P₁ do punktu P'₂ po ortodromie x, której azymut wynosi 0˚ lub 180˚, a następnie z P'₂ przenosimy współrzędne do punktu P₂ po ortodromie y, której azymut wynosi 90˚ lub 270˚.

Metody tablicowe przenoszenia współrzędnych:

1. Tablice Hausbraudta.

Opracowane zostały w 1948 roku, ułożone dla elipsy Bessela, można rozwiązywać przy użyciu tych tablic zadania wprost i odwrotne.

Zakres tablic:

φ → 48˚ - 56˚

s ≤ 100 km

Przygotowanie tych tablic opiera się przez rozwinięcie w szereg długości i szerokości:

Wyrażenia w nawiasach są to współrzędne pobierane z tablic, wielkości x i y oznaczają składowe linii geodezyjnej w punkcie początkowym i końcowym.

2. Tablice Boltza.

Oparte jest na rozwinięciu w szereg (bez użycia logarytmów). Zestawione dla elipsoidy Bessela, szerokości geograficzne φ → 45˚ - 57˚.

3. Tablice Milberta i Moczara.

Wydane w 1960 roku i można rozwiązywać z nimi na elipsoidzie Krassowskiego za pomocą rachunku krakowianowego. Zakres szerokości dla Polski: φ → 48˚ - 56˚. W tej metodzie wielkości tabelaryczne obliczamy na podstawie szeregów potęgowych metodą opracowaną przez prof. Milberta. Dokładność obliczeń uzyskana przy pomocy tych tablic wynosi 0”,00001 (dla φ, λ, α). W tej metodzie współrzędne przenosi się na odległość 100 km.

4. Metoda przenoszenia współrzędnych za pomocą szeregów potęgowych, - metoda szeregów potęgowych.

Różnice szerokości φ ₂ - φ₁, λ₂ - λ₁, α₂ - α₁, są przedstawione w postaci szeregów potęgowych według s.

Te ostatnie dwa liczymy do trzeciego miejsca po przecinku.

Wykład 6 (Zjazd VI)

Temat: Potencjał ciężkościowy ziemi.

Podstawą wszystkich rozważań dotyczących budowy Ziemi i związanych z tym zagadnień, tj. rozkład masy ziemskiej, przyspieszenia na powierzchni Ziemi oraz w jej otoczeniu, oraz przebieg linii pionowych jest prawo Newtona o powszechnym ciążeniu:

k - współczynnik grawitacyjny,

r² - kwadrat przyspieszenia.

Punkt materialny położony na powierzchni Ziemi lub znajdujących się w pobliżu, biorący udział w ruchu obrotowym Ziemi i nie mający żadnej prędkości względem Ziemi znajduje się pod działaniem siły przyciągania, oraz siły od środka, która działa prostopadle do osi obrotu Ziemi.

Siła wypadkowa sił przyciągania i odśrodkowej, nazywa się siłą ciężkości. Przyspieszenie siły ciężkości i siły przyciągania dają odpowiednie wektory pola sił ciężkości, przyciągania i odśrodkowej.

W każdym punkcie przestrzeni P_x,y,z istnieje ściśle określone co do wielkości i kierunku przyspieszenie ciężkości g. Pod wpływem tego przyspieszenia swobody punkt materialny może poruszać się po linii krzywej do której styczna w każdym punkcie ma kierunek przyspieszenia ciężkości.

Linię krzywą o tej własności nazywamy linią siły ciężkości lub linią pionową.

Z Ziemią związany jest układ nieskończonych lin siły ciężkości. Styczna do tej linii w każdej jej punkcie jest pionem.

Przebieg linii pionowych w otoczeniu Ziemi jest taki, że są one wklęsłościami zwrócone do osi obrotu i są płaskie.

Na biegunach linie pionowe pokrywają się z osią bieguna, na równiku leżą w płaszczyźnie równika. Jeżeli punkt porusza się prostopadle do kierunku działania siły ciężkości to ruch ten odbywa się po powierzchni krzywej, na której potencjał ma wartość stałą. Powierzchnię tę nazywamy powierzchnią stałego potencjału ciężkościowego (powierzchnia ekwipotencjalna).

Powierzchni ekwipotencjalnych jest nieskończenie wiele, a te które pokrywają się z powierzchniami oceanów nazywamy geoidą zerową.

Przyspieszenie ciężkości jest w każdym miejscu prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej. Linie pionowe są więc prostopadłe do tej powierzchni. Z uwagi na układ linii pionowych w otoczeniu Ziemi powierzchnie ekwipotencjalne przebiegają w ten sposób, że są bliższe siebie na biegunach, a oddalają się na równiku.

Powierzchnie ekwipotencjalne składają się z dwóch części. Jedna jest zbliżona do elipsoidy obrotowej spłaszczonej na biegunach i obejmującej Ziemię w niewielkiej odległości. Natomiast druga część jest zbliżona do walca obrotowego zwężonego w otoczeniu płaszczyzny równika Ziemi i znajduje się ona w znanej odległości od Ziemi.

Powierzchnie ekwipotencjalne są zamknięte, albo rozciągają się w nieskończoność. W miarę oddalania się od Ziemi maleje przyspieszenie, a rośnie przyspieszenie odśrodkowe. W przekroju równikowym w odległości wynoszącej około 40 000 km obydwa przyspieszenia są sobie równe, lecz skierowane przeciwnie, oznacza przyspieszenie zerowe.

Przyspieszenie ciężkościowe nie jest stałe na całej powierzchni ekwipotencjalnej. Najmniejsze jest na równiku, ponieważ przyspieszenie grawitacyjne jest najmniejsze (największa odległość od środka masy - na równiku) a przyspieszenie odśrodkowe jest największe.

W miarę zbliżania się do biegunów przyspieszenie grawitacyjne rośnie, oraz przyspieszenie ciężkościowe też rośnie - a przyspieszenie odśrodkowe maleje (na biegunach zanika całkowicie).

W miarę zbliżania się do równika odległości między powierzchniami ekwipotencjalnymi rosną. Wynika to z zasady mechaniki. Praca wykonana przy przejściu punktu materialnego z jednej powierzchni ekwipotencjalnej na sąsiednią jest stała, niezależna od przebytej przez ten punkt drogi.

ponieważ: g₁ (na równiku) < g₂ (na biegunie)

to: h₁ (na równiku) > g₂ (na biegunie)

Wykład 7 (Zjazd VII)

Temat: Twierdzenie Stoksa. Wzory na przyspieszenie.

STOKS, przyjmuje brzyłę o masie M,która obraca się dookoła własnej osi z predkością ω. Nastepnie przyjmuje powierzchnię zamkniętą S, która w całości obejmuje bryłe M.

Powierzchnia S jest powierzchnią stałego potencjału ciężkościowego. Nastepnie informuje, że wewnątrz powierzchni S następuje zmiana rozkładu masy bryły M, W ten sposób, że powierzchnia S pozostaje dalej powierzchnią stałego potencjału ciezkościowego. Przy takich założeniach wartości potencjału ciężkościowego są określone nie tylko na powierzchni s, ale także we wszystkich jej punktach na zewnątrz powierzchni.

Na podstawie tego twierdzenia zostały wyprowadzone wzory na potencjał ciężkościowy W, który to potencjał jest funkcją masy Ziemi, predkości obrotowej, stałej elipsoidy, współrzednych biegunowych punktu P i wielkości samej elipsoidy.

Wzory na przyspieszenie siły ciężkości:

gdzie:

a - duża półoś,

b - mniejsza półoś,

g_a - przyspieszenie siły ciężkości na równiku,

g_b - przyspieszenie siły ciężkości na biegunie,

φ - szerokości, pod którymi mierzone jest dane przyspieszenie,

α - spłaszczenie elipsoidy,

β - spłaszczenie grawitacyjne elipsoidy

ω² - predkość kątowa obrotu Ziemi.

Powyższe wzory na przyspieszenie siły ciężkości są wzorami teoretycznymi. Otrzymane z pochodnych potencjału przy założeniu określonego kształtu bryły ziemskiej i rozmieszczeniu mas przyciągających. Przyspieszenie obliczone na podstawie tych wzorów jest ptrzyspieszeniem normalnym, które oznaczamy {γ}, a stosowane dotychczas oznaczenie g odnosi się do przyspieszenia siły ciężkości otrzymanej bezpośrednio z pomiaru w terenie.

Z uwagi na to, że pomiary wykonywane są na fizycznej powierzchni Ziemi, otrzymane wyniki muszą być poddane odpowiednim redukcjom.

Wzór na normalne przyspieszenie odniesione do Ziemi, jako elipsoidy obrotowej.

gdzie:

φ,λ - współrzędnie geograficzne,

λ₀ - południk zerowy,

γ_a, β, β', β” - współrzędne obliczone na podstawie wartoiści g pomniejszonego i zredukowanego na punktach o znanych współrzednych - φ, λ.

Podany wzór na przyspieszenie normalne γ przyjmuje pewne idealne warunki, które nie isnieją w rzeczywistości, dlatego też pommniejszone wartości przyspieszenia g różnią się od obliczonego g - γ = Δg.

Różnice pomiędzy wartoscią pomierzoną a obliczoną nazywa się anomalią przyspieszenia siły ciężkości w danym punkcie.

Anomalia ta jest spowodowana:

1. zniesieniem mas ponad geoidę,

2. nierównym rozmieszczeniem mas przyciągających,

3. geoida nie jest elipsoidą.

Wielkość anomalii zależy od wzoru przyjętego do obliczenia wielkości γ oraz od sposobu redukowania pomierzonej wartości g.

SEMESTR VI

Wykład 1 (Zjazd I)

Temat: Brak

Wykład 2 (Zjazd II)

Temat 1: Hipoteza izostazy.

Temat 2: Wyznaczanie odchylenia pionu.

Temat 3: Niwelacja astroniomiczna.

Są dwie hipotezy:

1. Hipoteza izostazji PRATTA (ang. Geodeta) - masywy górskie nie stanowią dodatkowej masy, lecz są skomponowane L gęstością mas w głębszych pokładach. Przyjmuje on, że masa jest jednakowa w każdym słupie pionowym o jednakowej podstawie, a słupy te sięgają dolnej powierzchni ziemi, aż do pewnej głębokości. Wynika z tego, że słupom o różnych wysokościach muszą odpowiadać niejednakowe gęstości. Hipoteza izostazji wg PRATTA jest hipotezą o istnieniu równowagi mas w skorupie ziemskiej. Istnieje (wg hipotezy PRATTA) stała głębokość wyrównanych ciśnień i stała masa słupów, a zmienną jest ich wysokość oraz gęstość.

2. Hipoteza AIRY - w tej hipotezie gęstość słupów jest stała i stała jest głębokość wyrównania ciśnień, natomiast zmienne są wysokość słupów, ich masy oraz głębokość zanurzenia tych słupów.

II Prawo Stoksa, przy pomocy którego na podstawie znajomości anomalii przyspieszenia ciężkościowego można określić odstęp pomiędzy geoidą, a elipsoidą.

(anomalia - różnica między przyspieszeniem obliczonym, a pomierzonym)

{G - g}

Jako elipsoidę ziemską przyjmujemy elipsoidę zorientowaną względem geoidy w ten sposób, aby były spełnione warunki:

1. suma anomalii grawimetrycznych powinna być równa 0, oraz suma kwadratów tych anomalii powinna wynosić minimum,

2. środek elipsoidy ma się pokrywać ze środkiem mas geoidy,

3. osie obrotu obydwu brył powinny się pokrywać a tym samym powierzchnie równików obu brył powinny być co najmniej równoległe do siebie.

Zamiast 1 - 1a

1a. suma kwadratów odchyleń wysokościowych między elipsoidą a geoidą ma być równa minimum.

Warunek 1 jest warunkiem dynamicznym,

Warunek 1a jest warunkiem geometrycznym, który bardziej odpowiada zagadnieniom geodezyjnym.

Wzór na twierdzenie Stoksa:

a - promień równika Ziemi,

G - średnia wartość ze wszystkich powierzchni zredukowanych przyspieszeń sił ciężkości,

γ - (ni) zmienna całkowania,

Δq - średnia anomalii ciężkości we wszystkich punktach, gdzie pomierzono q,

F - funkcja Stoksa.

Temat 2: Wyznaczanie odchylenia pionu.

(kąt zawarty między linią pionu a normalną do elipsoidy)

Odchylenie względne

Odchylenie bezwzględne

Znajomość wielkości odchylenia pionu oraz odległości między geoidą i przyjętą geoidę odnalezienie jest niezbędne od dokonania redukcji, pomiarów z geoidą. To odchylenie może wynosić od kilku do kilkunastu sekund.

1. Metoda astronomiczno - geodezyjna - polega na określeniu składowych odchylenia pionu na podstawie porównania współrzędnych astronomicznych i geodezyjnych tych samych punktów.

Współrzędne astronomiczne są odniesione do linii pionu, a współrzędne geodezyjne są odniesione do normalnej do elipsoidy.

Odchylenie pionu:

- składowa odchylenia pionu wzdłuż południka,

η - druga składowa odchylenia pionu wzdłuż pierwszego wertykału

Wzór na różnicę azymutów astronomicznych i geodezyjnych:

z - kąt przy triangulacji

2. Metoda astronomiczno - geodezyjna na podstawie tw. Stoksa

Profil południka występuje w punkcie A przechodząc od punktu A' do którego punkt B' można przyjąć, że A'B'₁ || AB.

AA' || BB'₁ = N

W przejściu od A' do B' odpowiada bardzo mała zmiana N przyjmujemy oś x w płaszczyźnie południka stycznie do geoidy, a następnie oś y prostopadle do płaszczyzny południka i otrzymujemy kąt ksi..................... ....., a następnie po odpowiednim przekształceniu wzoru Stoksa można otrzymać wzór na drugą składową odchylenia pionu. Odchylenie pionu może być wyznaczone przy pomocy wagi skręceń.

Temat 3: Niwelacja astroniomiczna.

Jest to metoda wyznaczania odstępów pomiędzy elipsoidą a geoidą oparta na znajomości odchyleń pionu. W tym celu w terenie zakłada się punkty, na których zostają wyznaczone wielkości astronomiczne ............ a wielkości geodezyjne ......... otrzymujemy z obliczeń.

Zasada niwelacji astronomicznej jest następująca:

Punkt A leży na geoidzie, jak i elipsoidzie, wysokość tego punktu nad elipsoidą wynosi 0 {h_a = 0}.

Odchylenie w tym punkcie Q; natomiast w kierunku azymutu α, jego składowa Q_α.

Jeżeli weźmiemy punkt B położony na geoidzie w dowolnie bliskiej odległości ds. od punktu A i wzniesione nad elipsoidą o dh to wielkość tą wyliczymy: dh = Q_α ds. Wzór ten odnosi się do całego szeregu elementarnych odcinków tworzących profil geoidy o kierunku α.

Wykład 3 (Zjazd III)

Temat 1: Odwzorowania stosowane w geodezji.

1. Odwzorowanie wiernokątne.

2. Współrzędne izometryczne.

3. Odwzorowanie Soldnera.

4. Odwzorowanie Gaussa - Krügera.

1. Odwzorowanie wiernokątne.

P₁ P₂ - położone w odległości ds. Współrzędne punktów P₁ i P₂.

Współrzędną X liczy się po południku osiowym od przyjętego na nim punkcie O. Współrzędną Y liczy się po kołach wielkich - przecinają się w osie Q. Ten punkt nazywa się biegunem łuku południka osiowego. Wycinek łuku koła małego jest równoległy do południka osiowego to P₁H.

Obraz rozprostowanego południka osiowego:

Punkty, które leżą na południku osiowym będą odwzorowane bez zniekształceń.

dS - ds,

dY - dy,

Y₁ - y₁,

wzór:

Jest to ścisłe wyrażenie rzędnych odwzorowania wiernokątnego kuli na płaszczyźnie.

- wzór na skalę odwzorowania wiernokątnego.

Skala odwzorowania stała jest we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punkt. W odwzorowaniach wiernokątnych następuje zawsze powiększenie liczbowe, które dotyczy odwzorowań na powierzchni obrazu styczną do powierzchni oryginału.

2. Współrzędne izometryczne.

u, v - układ współrzędnych prostokątnych.

Jeżeli zmiana wielkości u o → Δu równe E pociąga za sobą zmianę v o → Δv równe wielkości ζ (eta), a następnie jeżeli zmiana v o → Δv równa E pociąga za sobą zmianę wielkości u o → Δu = ζ' a następnie jeżeli ζ = ζ' to taki układ jest układem izometrycznym.

Układ współrzędnych prostokątnych płaskich jest układem współrzędnych izometrycznych, współrzędne geograficzne (φ, λ) nie jest układem izometrycznym.

Jeżeli natomiast szerokości φ wprowadzimy szerokość izometryczną (ω)

czyli współrzędne (λ, ω) to taki układ jest izometryczny.

3. Odwzorowanie Soldnera.

OB. - południk osiowy.

Położenie dowolnego punktu P określamy następująco:

Przez punkt P prowadzimy łuk koła wielkiego, który jest prostopadły do południka osiowego, a odcinki OP₀ = x; P₀O = y, wyznaczają one jednoznacznie położenie punktu P i nazywa się je współrzędnymi prostokątnymi sferycznymi.

Punkt O leży zwykle na równiku. Jeżeli na kuli przez punkt P poprowadzimy koła małe równolegle do południka osiowego to otrzymamy południk Soldnerowski a wszystkie punkty leżące na tym samym południku będą miały taką samą wartość y.

Na kuli południk Soldnerowski jest krzywą płaską, w przypadku elipsoidy nie jest krzywą płaską, ponieważ w pobliżu równika punkty południka leżą bliżej płaszczyzny południka osiowego niż punkty leżące w sąsiedztwie bieguna, powodem tego jest zmiana.

Południk Soldnerowski oraz południk geograficzny tworzą ze sobą kąt γ, który nazywamy zbieżnością południka Soldnerowskiego. Kąt ten jest dodatni, gdy punkt P leży na wschód od południka osiowego, ujemny gdy punkt P leży na zachód od południka osiowego.

W sytuacji, gdy jest płaszczyzna

F'G' = A'B' = C'D'

Dla uwidocznienia jakiego rzędu są te zniekształcenia:

FG = 5 km,

AC = BD = 10 km,

FC = CD = 100 km

CD → 60 cm,

AB → 50 cm.

W odwzorowaniu Soldnera zniekształcenia rosną w miarę oddalania się od południka osiowego, natomiast współrzędne x nie odgrywają przy tym żadnej roli. Największe zniekształcenia występują w przypadku odcinków równoległych do osi x. Natomiast dla odcinków prostopadłych do południka osiowego zniekształceń nie ma.

Odwzorowanie to jest stosowane w pasie o szerokości do 80 km.

4. Odwzorowanie Gaussa - Krügera.

O

P'

P

φ

ψ

μ

b

a

C

P

P₁

ds

dφ

x

y

90˚-φ

y

n₂

n₁

p

Q_w

Q_b

A

elipsoida ogólna

geoida

elipsoida lokalna

B

A

α

α₀

α₀

równik

a

b

s

P₂

P₁

α₁

α'₁

α

β'₁

β₁

β

Δλ

P₁

P₂

B

P₂

P'₂

y

u

s

α_2-1

α_1-2

Δλ

P₁

P

3/2

P₂

3/2

α₁

α₂

α_m

90˚-φ₁

90˚-φ₂

90˚-φ₁ = 30˚-φ₁

a_{2 - 1}

a_{1 - 2}

P₁ = P'₁

B'

l

N₁

δ

P'₂

B

Δλ

90˚-φ₁

90˚-φ₂

P₂

s

α_{1 - 2}

α_{2 - 1}

P₁

N₁

90˚-φ₁

90˚= φ₂

B'

x

90˚-φ₁

90˚-φ₁ - x

P'₂

δ = s

α_{1 - 2}

α_{2 - 1}

P₂

y

B'

P”₂

B'

Δλ

P'₂

y

x

s

P₂

α_{1 - 2}

α_{2 - 1}

P₁

Δλ

_

F

G

_

F

P₂ (λ₂, φ₂)

α_{1 - 2}

s

α_{2 - 1}

P₁ (λ₁, φ₁)

x

z

elipsoida

geoida

S

E

r_s

r_e

O

- środek ciężkości geoidy pokrywa ją

OS = r_s

OE = r_e

N = r_s - r_e

(odstęp między geoidą a elipsoidą)

geoida

elipsoida

A'

x

B'

B

A

N

C

α_N

B'

geoida

elipsoida

B

C

A

ds

φ_α

d_h

B

B'

A C

A' C'

- można mówić, że jest spełniony warunek podobieństwa figur - odwz. wiernokątne.

N

E

D

dx

x₁

O

S

dy

H

P₂

P₁

Q

SN - południk przechodzi przez środek obszaru do odwzorowania. Względem tego południka osiowego będziemy wyznaczać współrzędne prost. sferyczne dowolnego punktu.

x

E

dx

D Y₁ P'₁

H' dy P'₂

ds

v

u

E

ζ

B

O

P

P₀

x

y

B D

A C

B'

F

O

Q

Koła wielkie prostopadłe do południka osiowego, obieramy 4 punkty (A, B, C, D) tworząc pewien prostokąt.

B

B' D'

A' C'

G'

F'

x

y

---