0000001

1 Logika matematyczna

l. Czy prawdziwe jest zdanie: Vp € 3x € R x^{1 2 3} — px -f p² = 0?

2.    Zbudować zaprzeczenie zdania Vx € R x² - 2r — 3 = 0.

Zbadać wartość logiczą obu zdań.

3.    Wykazać przemienność i łączność alternatywy i koniunkcji, czyli udowodnić, że poniższe zdania są. tautologiami.

a) (p V 7)    (7 V p)

b) (p A 7)    (7 A p)

c) [(P V <7) V r]    [p V (7 V r)]

d) [(p A 7) A r]    [p A (7 A r)].

4. Zbadać przemienność i łączność implikacji, czyli przeanalizować zdania

a)    (p => 7)    (9 => P)<

b)    [(P => <?) => r] [7 => (p => r)].

a.) p) O (p « p)

b)    (p A 7)    [~ (p * 9)] «■ [(p ♦ 9) ♦ (p ♦ 9)]

c)    (p V q) <=> [~((~ p) ♦ (~ 7$    [(~ p) * (~ g)] ** [(p * p) * (9 * 9)]

d)    (p => ₇) <=> {[~ [(pA (~g)U <=> [P * (~ 9)1 |P * (? * ?)!

d) (p 7) <=> [(p^> 9) A (9 => p)| O [(p*(9*9)) A (7* (p + p))] •» {{[p* (7- 7)!* iP *(7 *7)]} * {[7 “ (P * P>] * [7 * (P " ?)]})•

9. Udowodnić, że odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest ani przemienne, ani łączne, czyli wykazać prawdziwość zaprzeczeń zdań Vu, b E R a - b =■ b — a, Vn, bc € R (a - J») - c = a - {b - c).

1

   Definiujemy nowy funktor nand (not and) oznaczany symbolem *

P * <7 :=~ (P A 7>-

Zbudować tabelę wartości logicznych tego funktora.

2

   Wykazać przemienność i brak łączności funktora *.

3

   Wyrazić funktory negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności popizez funktor nand. Sprowadza się tc do wykazania, że poniższe udania

są tautologiami.