0298

299

§ 1. Pojęcia podstawowe

Stąd uważając na przykład v i T za zmienne niezależne można wyrazić przez nie funkcję p wzorem

RT

P = — . v

Przykład 4. Przy badaniu stanu fizycznego jakiegoś ciała musimy często obserwować zmiany jego własności od punktu do punktu. Tak jest na przykład z gęstością, temperaturą, potencjałem elektrycznym itp. Wszystkie te wielkości są funkcjami punktu lub, jeśli kto woli, funkcjami współrzędnych x, y, z punktu. Jeśli stan fizyczny ciała zmienia się w czasie, to do tych zmiennych niezależnych dołącza się jeszcze czas t. W tym wypadku mamy do czynienia z funkcjami czterech zmiennych niezależnych.

Czytelnik sam może zwiększyć dowolnie liczbę podobnych przykładów.

Sprecyzowanie pojęcia funkcji w przypadku wielu zmiennych niezależnych zaczniemy od najprostszego przypadku, gdy są tylko dwie zmienne niezależne.

160. Funkcje dwóch zmiennych i obszary zmienności ich argumentów. Mówiąc o zmianie dwóch zmiennych niezależnych x i y musimy wskazywać zawsze, jakie pary wartości (x, y) mogą one łącznie przyjmować. Zbiór M tych par będzie obszarem zmienności zmiennych x, y.

Sama definicja pojęcia funkcji brzmi tak samo, jak i w przypadku funkcji jednej zmiennej niezależnej:

Zmienna z (z obszarem zmienności df) nazywa się funkcją zmiennych niezależnych x, y w zbiorze M, jeśli każdej parze (x, y) ich wartości z J( przyporządkowana jest według pewnej reguły lub pewnego prawa jedna określona wartość z z 2t.

Mamy tu na myśli funkcję jednoznaczną; łatwo jest rozszerzyć tę definicję również na przypadek funkcji wieloznacznej.

Zbiór J(, o którym mówiliśmy wyżej, jest właśnie obszarem, w którym funkcja jest określona, same zmienne x, y nazywają się argumentami funkcji z. Zależność funkcyjną między z a x, y oznaczamy analogicznie jak w przypadku jednej zmiennej niezależnej w sposób następujący:

z=/(x,y),    2=ę{x,y), z = z(x,y) itd.

Jeśli para (x₀, y₀) jest wzięta z Jl, to /(x₀, y₀) oznacza tę szczególną wartość liczbową funkcji f(x,y), którą przybiera ona, gdy x=x₀, y=y₀-

Przytoczymy kilka przykładów funkcji określonych analitycznie wzorami ze wskazaniem obszaru zmienności ich argumentów. Wzory

(a)    z=xy i z=x²+y² określają funkcje dla wszystkich bez wyjątku par (x, y). Wzory

(b)    z=_sj\-x²-y² i z= i r⁼1

a/1 x -y

nadają się do określenia funkcji, jeśli chcemy mieć do czynienia z wartościami skończonymi rzeczy-