034

34 //. Odw rót od Hegla

z tych zadań Russell próbował zrealizować w książce The Fńnciples of Mathematics, opublikowanej w 1903 r. natomiast drugie, wraz ze swym daw^rnym tutorem w dziedzinie matematyki Alfredem Northern Whiteheadem. w trzech monumentalnych tomach pracy Principia Mathematica. które ukazywały się latach 1910-1913. Przedsięwzięcie to przedstawione jest bardziej przystępnie w Introduction to Maihema-rical Philosophy (przekł. poi. Wstęp do filozofii matematyki) Russella, książce, którą napisał w czasie pobytu w więzieniu w 1918 r., a opublikował rok później.

Celem, który udało się osiągnąć Russellowi i Whiteheadowi, zgodnie z przyjętą przez nich koncepcją liczby jako czegoś, co zasadniczo stosuje się do klas, było podanie czysto logicznego opisu, na czym polega to. iż klasie przysługuje pewna liczba, a także ujęcie, za pomocą metody przyporządkowywania elementów' klas. pojęcia liczby kardynalnej w ogólnej definicji. Jaki jest jednak, mógłby ktoś spytać, cel owej operacji, poza tym. iż stanowi ona pokaz, elegancji i ekonomii? Odpowiedź jest taka, iż Russell uważał taką ekonomię za gwarancję prawdziwości. W zbiorze esejów Mysticism and Logic, który ukazał się w- 1916 r.. ujął to w^r sposób następujący: ..Dwa zbiory rów-noliczne wydają się mieć ze sobą coś wspólnego; przyjmuje się, że tym czymś jest ich liczba kardynalna. Ale dopóty, dopóki liczba kardynalna jest wyprowadzana z owych zbiorów, a nie konstruowana w ich terminach, jej istnienie musi pozostawać wątpliwe, chyba że wprowadzi się je na mocy metafizycznego postulatu ad hoc. Definiując liczbę kardynalną danego zbioru jako klasę wszystkich zbiorów rówmo-licznych, unikamy konieczności owego metafizycznego postulatu, a tym samym usuwamy niepotrzebne wątpliwości z filozofii arytmetyki"¹.

Niestety, wyjaśnienie to nic uwalnia nas od kłopotów. Owe ..niepotrzebne wątpliwości" to wątpliwości dotyczące tego, czy rzeczywiście istnieją takie rzeczy jak liczby. Jakiego rodzaju są to wątpliwości? Na czym miałoby polegać odkrycie, że liczb nie ma? Jak można by takiego odkrycia dokonać? Wydaje się, iż odkrycia tego nie sposób dokonać w żaden inny sposób, jak wykazując, że liczby nie są redukowalnc do klas. cyfr lub czegokolwiek innego. Gdyby jednak można było tego dowieść, czy obligowałoby to nas do rezygnacji z arytmetyki albo do traktowania jej jako gry naszej wyobraźni? Nie muszę wspominać o tym. iż jest ona grą naszej wyobraźni w takim oto sensie, że jej sądy nie opisują świata, lecz wyrażają jedynie reguły wnioskowania zgodnie ż zasadami pewnego rachunku, który zdecydowaliśmy się przyjąć. Nie każdy matematyk zgodziłby się jednak z tym poglądem. A jak miałbym spierać się z kimś, kto zajmuje stanowisko realistyczne?

Tak czy owak. Russell unika tej trudności, o ile jego metody efektywnie redukują liczby do klas, przy założeniu, że istnienie klas nie jest dla niego czymś równie kłopotliwym; a w tym okresie nie było. Pierwsze książki filozoficzne Russella, An Essay on Foundation of Geometry, wydana w 1897 r., oraz A Critical Exposition of Philosophy of Leibniz, wydrukowana w 1900 r., zostały napisane z Karnowskiego punktu widzenia, ale do czasu publikacji The Principles of Mathematics Russell stał się pod wpływem Moore’a zwolennikiem skrajnej wersji realizmu platońskiego. O wszystkim, co może zostać użyte w wypowiedzi, mówił wówczas, iż jest terminem; każdy termin mógłby być logicznym podmiotem sądu; a wszystkiemu, co mogłoby być logicznym podmiotem sądu - włącznie z bytami nieistniejącymi, takimi jak jednorożce, a nawet bytami niemożliwymi logicznie, takimi jak największa liczba pierwsza - miałby być, w pewnym sensie, przypisywany byt. Później doszedł jednak do wniosku, że taka skrajna tolerancja wobec mnożenia bytów dowodzi, jak to ujął, iż „zawodzi owo poczucie realności, które należałoby zachować nawet w badaniach najbardziej abstrakcyjnych’*. „Logika - pisał dalej - nie może uznać jednorożca tak samo jak zoologia, albowiem logika interesuje się realnym światem zupełnie tak samo szczerze jak zoologia, chociaż interesuje się rysami bardziej oderwanymi i ogólnymi tego świata”³. Wydaje się, iż świadczy to o pewnej trwałej skłonności do realizmu logicznego, ale w istocie Russell posunął się tak daleko w odwTOtnym kierunku, że zanegował realność klas zastępując je własnościami, prawdopodobnie z pcw-nym uszczerbkiem dla swego programu matematycznego. Co więcej, po- ^{2 3}

1

Mysticism and Logic. G. Alko and Unwin, London 1917. v 56.

2

W.uęp do fUny>fti matemankt. pr/eł. Czesław Znamierowski. PWN. Warszawa

3

3958. s. 248.