12345 jpeg

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE DRUGIEGO RZĘDU

y"+p(x)y'+q(x)y = h(x)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE DRUGIEGO RZĘDU

y"+p{x)y'+q{x)y = 0

Układ fundamentalny równania jednorodnego, określony na przedziale (a,b) jest to para rozwiązań tego równania na przedziale (a,b), spełniająca dla każdego x e (a,b) warunek

y\{x) y₂(^x)

y[(^x) y₂W

Dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego jest także rozwiązaniem tego równania. Zatem dla każdego rozwiązania j/(x) takiego równania istnieją (jednoznacznie wyznaczone) stałe rzeczywiste C,,C₂ takie, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać

y(x)=C_ly_l(x) + C₂y₂(x)

RRLJ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH y''+py'+qy = 0 , gdzie p,qeR Równaniem charakterystycznym tego równania nazywamy równanie kwadratowe

w(/1) - A² + pA + q - 0

Pierwiastki równania charakterystycznego w(A) = 0	Układ fundamentalny
A > 0, At,A7 różne pierwiastki r. char.	y< (x)=e^A'\y2(x) = e^A2-'
> II o II InJ II	yl(x)=e‘^u,
A<0, A]=a + ij3, A2-Ax-a- ip	y{(x) = cosJ3x, y2(x)= smJ3x

RRLN O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH    y"+py'+qy = h{x), gdzie p,q e R

Funkcja h(x)	Warianty	Rozwiązanie szczególne RN
wielomian stopnia k	0 nie jest pierwiastkiem w(A)	Vk (x) - wielomian stopnia k
	0 jest pierwiastkiem pojedynczym w(A)	xVk[x)
	0 jest pierwiastkiem podwójnym w(A)	x^2Vk{x)
e^axWk{x)	a nie jest pierwiastkiem w{A)	Vk{xY^x
	a jest pierwiastkiem pojedynczym w{A)	^xVk(^xY^x
	a jest pierwiastkiem podwójnym w(A)	x^2Vk{x)e^a*
a cos J3x + b sin f3x, (3 > 0	fi nie jest pierwiastkiem w(A)	z4cos/?x + £sin/?x
	(3 i jest pierwiastkiem w{A)	x(A cos Px + B sin px)
Jeżeli (p(x), \p(x) są odpowiednio rozwiązaniami szczególnymi równań y"+p{x)y'+q(x)y = \ (x) oraz y"+p(x)y'+q(x)y = h2 (x) , to $>(x)+t//(x) jest rozwiązaniem szczególnym równania y"+p(x)y'+q(x)y = hx (x) + h2 (x)