18

3. Kratownice statycznie niewyznaczalne

3.1. Omówienie wstępne

Kryteria statycznej niewyznaczalności zostały omówione w rozdziale 2. Na rysunku 3. la przedstawiono kratę Pratta statycznie wyznaczalną zarówno zewnętrznie, jak i wewnętrznie. Natomiast na rysunku 3,lb przedstawiono tę kratownicę przesztyw-nioną przez dodanie dodatkowego pręta krzyżulcowego oraz dodatkowej podpory przegubowej przesuwnej, przez co zamieniono układ na jednokrotnie statycznie niewy-znaczalny zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie.

Rozwiązanie kratownicy statycznie niewyznaczalnej wicloprętowej najczęściej stosowaną metodą sił jak na rysunku 3.1 jest bardzo pracochłonne. Wykorzystanie metody sił zostało szczegółowo omówione w pozycjach literatury przedmiotu np. [2, 23].

Przedstawione w poprzednim rozdziale metody analizy konstrukcji kratowych charakteryzowały się poznawczym charakterem pracy konstrukcji i możliwością rozwiązania problemu bez użycia techniki komputerowej.

Możliwość wykorzystania komputerów jest przyczyną skoku zarówno ilościowego jak i jakościowego obliczeń statycznych. Dzięki pracom wybitnych naukowców oraz intensywnemu rozwojowi techniki obliczeń komputerowych powstała w 1958 r. nowa stale rozwijana metoda elementów skończonych (MES). Podstawą metody jest fundamentalna praca O. Zienkiewicza [24].

Istotne znaczenie w rozwoju metody elementów skończonych stanowią prace J. Kruszewskiego [25], G. Rakowskiego [26]. M. Kleibera [27], Z. Waszczyszyna [28].

Metoda elementów skończonych w odniesieniu do konstrukcji tworzy jej model dyskretny przez podział na części zwane elementami skończonymi, które są połączone ze sobą w węzłach.

W zależności od typu konstrukcji w MES przyjmuje się odpowiednio zdefiniowane elementy.

W odniesieniu do konstrukcji prętowych (kratownic, belek, ram) elementami skończonymi będą pręty traktowane jako elementy liniowe.

Ze względu na możliwość przemieszczeń węzły posiadają określoną liczbę stopni swobody.

Stopień swobody jest przypisany składowej przemieszczenia węzła, na które nie nałożono żadnego ograniczenia (więzy) w swobodnym jego przemieszczeniu.

W przypadku ograniczenia przemieszczenia przez nałożenie określonych ograniczeń (więzów) przypisany tej składowej stopień swobody nosi nazwę stałego lub nieruchomego.

W liniowo-sprężystym modelu konstrukcji prętowej podstawą obliczeń jest związek między siłami obciążenia zewnętrznego działającymi na węzły i odpowiadającym tym siłom składowym przemieszczeń węzłów. Model dyskretny konstrukcji określa się w odpowiednich układach współrzędnych.

W globalnym układzie współrzędnych określa się współrzędne węzłów konstrukcji dla całego dyskretnego jej modelu. W układach węzłowych wyznaczone są przemieszczenia liniowe i kątowe węzłów. W przypadku gdy nie definiuje się orientacji układu węzłowego, przyjmuje się, że jego odpowiednie osie są równoległe do osi układu globalnego.

W przypadku kratownic przyjęcie elementów równych długości prętów struktury, pozwala na istotne uproszczenie metody, która sprowadza się do metody przemieszczeń w ujęciu macierzowym, której istotę przedstawiono poniżej.

3.2. Macierzowa forma metody przemieszczeń

w zastosowaniu do analizy konstrukcji kratowych w ujęciu C.K. Wanga

W obszernej monografii S.R Timoszenki poświęconej historii wytrzymałości materiałów znajduje się omówienie podstaw metody przemieszczeń opracowanej przez Naviera [29].

57