994 105

a) L : C²-C\ /,(x,y) = (3x

b) L    C² —C², /,(x,y) = ((l

y, 10x - 3y);

2r)x 4- 5y, (1 + i)x — (L — 3i)y);

c) L    C³—»C³, L(x_ty, 2) = (z, 3y, —x);

d) £ : C³—*C³. L(z,y,z) = (—tx — 2x,y,2r — 12).

Odpowiedzi i wskazówki

0    o    1

0    1    0

1    0    0

0 0 -]

0    1    0

1-1    0    oj

-1    4 -I

0-4    2

1 2 -1

(2y — jz — 5 z, z — 2y, |r 4- y — y*); c) przekształcenie nie jest odwracalne; 1 0 0 0

Ał«JoK = A^o/Coj = AkoLoJ =

10.3 a)

d)

3    -2

4    -3

0 0

o    0-0

¹ n ¹ 0--0 -

16 8

I-¹ = i; b) I

, L"¹ (az³ 4- bz² + cz 4- d) =

£ (*.*,*) =

2o-c 3    6₃ c

-jg-r _+;[x +-* + ,f

' 1 3 3‘ -1 -3 -3		5-3 6	_. f-2 r		'0 0'
14 0 6 [ 2 -6 0.	1	1 3 3		1	0 1 .4 0.

10.2 AjoKtl, =    = AjaLoK =

10.4    a) 285; — 16£₂ 4- 7U3; b) i n₂ 4- £3.

10.5 a) W_i = i?²; b) W₀ = płaszczyzna zOy, Wi = ośOz; c) W₀ = płaszczyzna x : z 4 y 4 2 = 0, W; = prosta!; d) W_c = prosta! : z = y = z, W_: = płaszczyznax; e)    = oś Oz, W\ = płaszczyzna zOy f) W_j = płaszczyzna x : x = y, TVi = prosta/.

10.6    a) \V₂ = lin {(1,-1)}, W, = lin {(-2,1)}; b) W, = lin {(1.1)}; c) Wi = lin {(2,-4.1)}, W₂ = Im {(0,-3,1)}, FK_, = lin {(0,0,1)}; d) tV₃ = lin {(1,3,1)}, IV! = lin {(1.2.0), (0,0.1)}; e) W₀ = lin {l,z}; f) W₀ = lin {x² -4}.

W₂ = Im {x² — 3r — 2}. W₅ = lin {x² + l}

10.7    a) W = linc {(1.3-i)}, W._x = lin_c {(1,3 + «)}; b) W_c = lin_c {(5,2i - 1)}, W = linc {(5,3t — l)}; c) W₃ = Un_c {(0.1,0)}, W, = linc {(1,0,1*)},

W__% = linc {(i,0,l)}; d) W) = Un_c {(0.1.0)}, W_x = Unc {(*.0,1)},

_3ł = Unc {(1.0,0).

Jedenasty tydzień - przykłady    105

Jedenasty tydzień

Wartości i wektory własne przekształceń liniowych (3.5). Wartości i wektory własne macierzy (3.6).

Przykłady

• Przykład 11.1

Jak:e są możliwe wartości własne przekształceń liniowych spełniających podane warunki

a) L? = L\ b) l? = 0 ?

Rozwiązanie

Niech V będzie rzeczywistą (zespoloną) przestrzenią liniową, L V—* V przekształceniem liniowym oraz niech L{v) = Xv dla pewnej lic2by A € Jfc(C) : niezerowego wektora i € V

a)    Z warunku 1? = L wynika, że L² (») = L{v) = A?. Z drugiej strony £²(5) =

L(L[v)) = £(Av) = A²v. Zachodzi więc równość Xv = A²i, którą można zapisać w postaci (A² — A) v = 0. Ale v ^ 0, zatem A² — A = A(A — 1) =0. Możliwe są tylko dwie wartości własne przekształcenia L, mianowicie Aj = 0, A2 =1 Przekształceniem mającym obie te wartości własne i czyniącym zadość warunkowi zadania jest np. prze-kształcenie L R²-R² określone wzorem L(x,y) = (r,0).

b)    Podobnie jak w poprzednim przykładzie spełniona jest równość L² (v) = A² u. Ale F² = G, zatem A² ii = 0. Oznacza to, że A = 0 jest jedyną możliwą warLością własną przekształcenia L. Przykładem takiego przekształcenia działającego w przestrzeni R jest L(x, y) = (y, 0).

• Przykład 11.2

Sprawdzić, czy wektory własne podanych przekształceń liniowych twarzą bazy przestrzeni R² lub jR³. Jeżeli tak, napisać macierze rozważanych przekształceń w tych bazach:

a) L(x, y) = (4x + 2y, y - x); b) L(x, y, z) = (2x, -5y - Sz, 2y + 5z);

c) L(x. y) = (3x - y, 3x);    d) L(x, y, z) = (4x - 2y + 2z, 2x -f 2z, y + z - x).

Rozwiązanie

Jak wiadomo, macierz przekształcenia liniowego w bazie jego wektorów własnych (o ile taka baza istnieje) jest macierzą diagonalną, w której na głównej przekątnej znajdują się wartości własne odpowiadające kolejnym wektorom własnym bazy. Ponadto, jeżeli ilość różnych wartości własnych przekształcenia liniowego jest równa wymiarowi przestrzeni liniowej, to wektory własne odpowiadające tym wartościom tworzą bazę tej przestrzeni

a) Wartości własne przekształcenia L są pierwiastkami równania

det (/l - XI) =

4-A

-1 1

= (A-2)(A-3) = 0