analiza06a

Międzywydziałowe Studium Informatyki i Ekonometrii Pytania na egzamin ustny z analizy matematycznej

1.    Podać definicję granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej. Podać twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego.

2.    Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego o wyrazach a_n i warunek konieczny zbieżności takiego szeregu. Podać wybrane kryteria zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych.

3.    Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie i w przedziale oraz interpretację geometryczną ciągłości. Podać przykłady funkcji nieciągłych.

4.    Podać definicję metryki i przestrzeni metrycznej. Podać definicję zbioru otwartego, domkniętego, punktu skupienia i brzegu zbioru.

5.    Podać definicję przestrzeni zwartej, spójnej i zupełnej. Podać odpowiednie przykłady.

6.    Podać definicję przekształcenia ciągłego przestrzeni metrycznych i twierdzenie o równoważnych określeniach ciągłości. Co to jest przekształcenie jednostajnie ciągłe.

7.    Podać twierdzenia o własnościach przekształceń ciągłych, w szczególności twierdzenie o własnościach funkcji ciągłej określonej na zbiorze zwartym oraz na zbiorze spójnym.

8.    Podać definicję pochodnej funkcji /(z) w punkcie x₀ i jej interpretację geometryczną.

9.    Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum w punkcie funkcji różniczkowalnej.

10.    Podać definicję zbieżności jednostajnej (w metryce sup)i punktowej ciągu funkcyjnego. Sformułować twierdzenie dotyczące własności granicy ciągu funkcyjnego.

11.    Podać definicję wielomianu Taylora i szeregu Taylora funkcji. Podać przykład zastosowania.

12.    Podać definicję szeregu potęgowego i twierdzenie o jego różniczkowaniu. Jak obliczamy promień zbieżności takiego szeregu.

13.    Podać definicję funkcji pierwotnej dla funkcji }{x) . Jakie funkcje mają funkcje pierwotne.

Czy funkcja pierwotna jest wyznaczona jednoznacznie.

14.    Podać definicję całki Riemanna z funkcji ciągłej w przedziale [a,/;]. Podać interpretację całki oznaczonej i wymienić jej zastosowania.

15.    Podać definicję u-algebry 9Jt podzbiorów zbioru X. Podać definicję miary określonej na tej er-algebrze. Podać przykłady.

16.    Podać definicję zbioru zaniedbywalnego i zbioru mierzalnego w sensie Lcbcsguc’a w Kⁿ. Co to jest (T-algebra podzbiorów borelowskich w R”.

17.    Podać definicję całki Lcbesgue’a z funkcji charakterystycznej zbioru, funkcji prostej i z funkcji nieujemnej. Podać definicję funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue’a.

18.    Sformułować twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a. Opisać na przykładzie ich zastosowanie.

19.    Wymienić własności całki względem dowolnej miary //. z funkcji nieujemnej lub całkowalnej.

20.    Podać definicję funkcji Gamma i opisać jej podstawowe własności. Podać definicję funkcji Beta.