egz04

Egzamin z Analizy Matematycznej

Międzywydziałowe Studium Informatyki i Ekonometrii

ZESTAW:    2004

1.    Na podstawie definicji granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej wykazać, że

2n³ - n^! + 1 _ 2 “ 3n³ — 2n + 2    3

dla z ^ 7T

2.    Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji 1 + cos 3x

Z-7T

0 dla x = 7r

f(x) =

2x² — 5# -j- 4

3.    Wyznaczyć ekstrema i asymptoty funkcji f(x) =--- określonej dla x ^ 2.

2 — x

4.    Zbadać zbieżność punktową, i jednostajną ciągu funkcji /_n(x) = z³ⁿe~^2nz dla z > 0.

5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego osiami GX ,OY i wykresem funkcji

dla a: > 0

{( y    4s + 10

(® + l)(* + 2)(* + 4)

6.    Obliczyć objętość obszaru DcE³ ograniczonego płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x.y) = y⁴ określonej na trójkącie ABC, gdzie A ==(—4,0), J9 = (4_}0), C = (0,2).

7.    Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x, y. z) = e~^2x(y² + 2z² — z²) określonej na R³.

8.    Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f(z, y) = 2x³ -l- 3y^z na kole z² + y² < 13.

9. Dla ustalonego p £ (0, 1} określamy na zbiorze liczb naturalnych N nuarę p postaci /i({fc}) = p*^_1(l -p) dla k = 1,2,3,.... Wykazać, że p jest. miarą unormowaną i obliczyć

miarę zbioru liczb naturalnych podzielnycli przez 3 oraz całkę J p^2kdji(k) .

w

Uwaga. Z podanych zadań należy wybrać sześć. Za rozwiązanie każdego z zadań 1-9 można uzyskać 10 punktów. Na ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 32 punkty z czterech wybranych zadań w tym co najmniej jedno zadanie z pierwszej części zestawu (zadania 1-4) i dwa zadania z długiej części (zadania 5-9). Kolejność rozwiązywanych zadań jest dowolna. Należy wyraźnie rozdzielić rozwiązania poszczególnych zadań.