analiza05a

Egzamin z Analizy Matematycznej

Międzywydziałowe Studium Informatyki i Ekonometrii

ZESTAW: 2003 r.

1.    Na podstawie definicji granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej wykazać, że

n³ — 5 n    1

*°° 4n³ — 3n² + 2    4

2.    Zbadać ciągłość i różniczkowałność funkcji

sin3x	dla
X
3	dla	x = 0

f(x) =

3. Wyznaczyć ekstrema i asymptoty funkcji

. z³ + lnx

f(x) =--- , x > 0

4.    Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią OX i wykresem funkcji

f(_x) =-^2j ~ ¹_

^n> (x² + l)(x + 2)

określonej dla x > 1.

5.    Obliczyć objętość obszaru Dcl³ ograniczonego płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x, y) = 3x -2y + 5 określonej na półkolu E = {(x, y) e R² : X² + y² < 4 , x > 0}.

6.    Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = e~^2x(3x² — y²) określonej na R².

7. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcji /„(x) = ———    dla x > 0.

x^J + 2n

2

8.    Na zbiorze liczb naturalnych N określona jest miara /i postaci /*({&}) ~ ~r dla k =

3^K

1,2,3,.... Wykazać, ż,c y jest miarą unormowaną i w zależności od wartości parametru a € R obliczyć całkę J f[k)dy{k) gdzie f(k) = e°*.

N

Uwaga. Z podanych zadań należy wybrać pięć, w tym przynajmniej trzy z drugiej części zestawu. Za rozwiązanie każdego z zadań 1-8 można uzyskać 10 punktów. Na ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 28 punktów w tym 24 punkty z trzech wybranych zadań. Kolejność rozwiązywanych zadań jest dowolna. Należy wyraźnie rozdzielić rozwiązania poszczególnych zadań.