DSC07301

24

Liczby zespolone

• Przykład 1.12

Korzystając ze wzoru de Moivrc'a wyrazić:

a)    cos .Ir przez funkcję cosi;

b)    sin 6x przez funkcje sin x i cosx; c“) ctg4x przez funkcję ctgx.

Rozwiązanie

a) Obliczymy wartość wyrażenia (cos x + i sin x)³ wykorzystując dwa wzory: wzór de Moine’a oraz wzór dwumianowy Newtona. Stosując wzór de Moivre’a otrzymamy rów-Dok

(cosx + i sin z)³ = cos3x + i sin 3z.

Z kolei ze wzoru dwumianowego Newtona wynika równość

(cosx -f :sinx)^J = (cosx)^J + j (cosx)²(isinx) *f j|jp (cosx)(zsin z)² |- (tainx)^J

= cos³ z + 3icos² z sin z - 3 cos x sin³ z - i sin³ x = (cos³z - 3co>xsm^az) + i (3cos²xsinx — sin³ x) .

Porównując części rzeczywiste prawych stron obu równości otrzymamy

cos3x = cos² x - 3 cos x sin² x = cos x (cos²z — 3 sin² z)

= cos z (cos² x - 3 + 3 cos² z) = cos x (*l cos² x — 3) .

b) Obbczymy warttńe wyrażenia (cos z + i sin z)⁶ wykorzystując dwa wzory: wzór de Monrre*a oraz wiór dwumianowy Newtona. Stosując wzór de Moivre*a otrzymamy równość

(cos z -fr ismz) = cosGz + i sin 6z.

Z kdei ze wzoru dwumianowego Newtona wynika równość

(cosz + iónr)⁴ = (cos z)" +

x(i«nx)^J +

(cosx)^a(ismx)⁴ +

+ (*⁸>ⁿ *)^#

= cos⁴ z -f (W cos" x sin z - 15 cos⁴ sin² z — 20i cos² z sin³ x +15co*²zsn)⁴x + 6ścoszsm^ftz - sin⁶ z = (cos⁴* - l5cos⁴zsm³x+ 15cos²zsin⁴z — sin⁴x)

44 (6 cos* z sin z-20 cos³ x sin³ z + 6coszałn*z).

Porównując części urojone prawych '.tron obu równości otrzymamy

mntrt ■ im\T - 20 cos³ z sin* z + 6cos z sin⁵ z.

c*) Podobnie jak pĄmMnirj wyrazimy r.in 4x i cos4z przez arnz i cos z. Ze wzoru dwu-niasewąp Newtona mamy

» **m*/ • {m⁴ x - óc/*³ zstn² z + sir*⁴ z) I i (d cos³ sin z - 4 coszsln³ x) .

Przykłady

25

Z kolei ze wzoru de Moivre’a mamy (cosx + isinx)⁴ = cos4x + isin4x. Zatem cos4x = cos¹ x — 6 cos²xsin³x + sin⁴x oraz sin4x = 4cos³xsinx — 4cosxsm³x. Stąd dla x ^ gdzie k € Z, mamy

ctg4x =

cos4x sin 4x

cos⁴ x — 6 cos² sin² x + sin⁴ x 4 cos³ sin x — 4 cos x sin³ x

cos⁴ x — 6 cos² sin² x 4* sin'* x

_ sin⁴ x_

4 cos³ sin x — 4 cos x sin³ z sin¹ x

ctg⁴x - (i ctg² x ł I 4 ci.g^:l x — 4ctgx

• Przykład 1.13

Narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki: a) Re (z²) >0; b) Im (z⁶) < 0.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy postać trygonometryczną liczby zespolonej oraz wzór de Moivre*a.

a) Dla z = r (cos <p 4* i sin v>), gdzie r ^ 0 oraz 0 $ <p < 2» mamy

Re (z²) ^0 <=> Re {[r(cosv? + śsin^)]²} ^ 0 <=> Rc [r² (cos 2<^ -fisin 2</?)] ^ 0 <=> r² cos 2v? ^ 0

<=> r = 0 lub r > 0 i cos 2^5 ^ 0

b) Dla z = r (cos p -ł- isin y>), gdzie r ^ 0 oraz 0 <    < 2ir. mamy

Im (*^fl) < 0 <=> Im {[r (catip + iain•?))*} < 0

<=>

Im [r⁶(cos0^-f tsinfly>)] < 0<=>r®ain6^ < 0 r > 0 i win Gy? < 0