Ek Matematyczna Materia�y 3 4

i«iv/uoi pujy    iwii j ^luukuiuji

następujące związki między

(1)    q^D(t) = D(p(t))    równanie popytu

(2)    q^s(t) = S (p^E(tj)    równanie podaży;

(3)    p^E(t)=p(t-l) q°(t) = q^s(t)

(4)

Model pajęczynowy Ezekiela (cd.)

Model pajęczynowy postuluje, że dla każdego t = 1,2,... zachodzą następujące związki między q^D(t), q^s(t), p^E(t), p(t) orazpjt— 1): oczekiwania cenowe producentów; warunek oczyszczania się rynku.

Równanie podaży (2): Producenci dostarczając towar kierują się ceną oczekiwaną p^E(t) na okres t. Oczekiwania cenowe (3): Są zwane tu naiwnymi, bo producenci do ich wyznaczenia wykorzystują jedynie informację o cenie z okresu poprzedzającego.

Żądanie oczyszczania się rynku (4): Cała ilość dostarczona w okresie t, jest przez konsumentów nabyta w tym samym okresie; w szczególności towar nie jest magazynowany w żadnym okresie (nie ma zapasów). Równanie popytu (1): Określa jaką ilość q^D(t) towaru konsumenci nabędą, jeśli ceną obowiązującą w okresie t jest p(t). Ale i „ na odwrót": jeśli ilość dostarczona w danym okresie t jest ustalona i musi być sprzedana (bo zakładamy oczyszczenie się rynku), to ta ilość poprzez (1) określa panującą w okresie t cenę towaru p(t).

Zakładamy zawsze, że obie funkcje są ciągłe oraz, że D jest funkcją malejącą („prawo popytu"), a S jest funkcją rosnącą („prawo podaży").

RRMP:    |vt = 1,2,...:    D(p(t)) = S(p(t - 1))

Jeśli p, spełnia D(p) = S(p), to ciąg stały taki, że p(t) = p, spełnia RRMP.

p to punt („położenie") równowagi tego r. różnicowego, p — przypomnijmy — cena równowagi rynku (D, S).

W dynamice ekonomicznej, p określa cenę równowagi międzyokresowej (rozróżnienie między równowagą, a oczyszczaniem się rynku).

Mówimy, że punkt równowagi p jest trwały, gdy każdy ciąg (p(t))£l₀ spełniający RRMP i taki, że p(0) « p, jest zbieżny do p.

Trwałość oznacza, że każda ścieżka czasowa RRMP „zaczynająca się" dostatecznie blisko p, w dostatecznie odległych okresach przybliża się dowolnie blisko do p.

Formowanie się cen na rynku (D,S): to inaczej „dostosowania cenowe”, „zmienność cen", kształtowanie się cen, itp.

Jaki charakter mają ścieżki czasowe RRMP? Czy równowaga jest trwała? Jeśli tak, to czy ciąg (p(t))~₀ dąży monotonicznie do p, czy może oscylacyjnie?

Czy istnieją okresowe ścieżki czasowe?

K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005

Dynamika 5

K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005

Dynamika 7

D(p(t)) = S(p(t - 1))

P(t)) = P(_P(t-1)),

Założenia „ogólne" prowadzące do modelu pajęczynowego Ezekiela nie są łatwe do ustalenia. Nie jest to ani model mikroekonomiczny (brak indywidualnych decyzji agentów), ani makroekonomiczny (nie opisuje całości gospodarki). Być może trzeba uznać go (wraz z modelem równowagi cząstkowej Marshalla) za model mezoekonomiczny.

Równanie różnicowe modelu pajęczynowego

Podstawiając do obu stron równania (4) prawe strony równań (1) i (2) oraz zastępując zgodnie z (3) p^E(t) przez p(t - 1) otrzymamy podstawowe równanie różnicowe modelu pajęczynowego (RRMP) które powinno być spełnione V t = 1,2,....

RRMP mówi, że ilość faktycznie dostarczona na rynek przy przewidywaniu, że ceną panująca będzie cena poprzednia, zrównuje się z ilością nabytą przez konsumentów po „nowej” aktalnej cenie.

RRMP opisuje (dla danego p(0)) ścieżkę czasową cen.

Równanie D(p(t)) = S(p(t - 1)) jest „uogólnionym” równaniem różnicowym, bo p(t) nie występuje „jawnie” w lewej stronie tego równania, a tylko za pośrednictwem funkcji D. By wyznaczyć ścieżkę czasową (p(t))“₀ (lub jej właściwości) precyzujemy rynek (D, S) nakładając różne warunki na funkcje D i S.

Przykład 1. Rynek ściśle monotoniczny

D, S : R++ —* R₊₊ i obie są funkcjami na;

D jest ściśle malejąca, a S ściśle rosnąca.

K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005

Dynamika 6

K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005

Dynamika 8