Ek Matematyczna Materia�y 1 4

Zmienność wielkości ekonomicznych

X — przedział c M

np.: [a, b], [a, b), (a,b), R+ := [0,oo), R++ := (0, oo) 1 f : X —> M |    y = f(x)

Mf(x)	:= f'(x)	wartość krańcowa f (w p. x)
Af(x)	:= f(x)/x	wartość średnia f (w p. x)
Ff(x)	:= f(0)	część stała f
Vf(x)	:= f(x) — f (0)	część zmienna f
F^ffxt	f'(x)	elastyczność f względem x
	' f(x) *

Ax — mała zmiana x Af(x) := f(x + Ax) — f(x)

— odp. zmianie x o Ax, zmiana wartości funkcji f Af(x) « Mf(x) ■ Ax (równość przybliżona)

„mała” i — w sensie rachunku różniczkowego

Przykład: C : R+ —> R+ funkcja kosztu,

tzn. „ilość produkowana” r-ł „koszt wytworzenia tej ilości”

q h-> C(q)

MC(q) — koszt krańcowy przy poziomie produkcji q Gdy Aq = 1 jest małą zmianą q: AC(q) « MC(q) • 1 koszt krańcowy ss koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki (przy poziomie produkcji q)

Elastyczność popytu

Przykład: D : R₊₊ —> M++ funkcja popytu „cena” h-> „ilość, którą konsumenci przy tej cenie kupią” E^D(p) — elastyczność cenowa popytu przy cenie p

^ względna zmiana popytu

Zakładamy prawo popytu w wersji różniczkowej: popyt jest nie tylko malejącą funkcją ceny, ale też D'(p) < 0. Stąd: elastyczność cenowa popytu < 0. Popyt przy danej cenie p popyt D jest:

Elastyczny    =    |E^D(p)|    >    1

Jednostkowo elastyczny    =    |E^D(p)|    =    1

Nieelastyczny    =    |E^D(p)|    <    ł

Elastyczność funkcji potęgowej:

f(x) = cx“,

gdzie x e R++; a ^ 0 oraz c — ustalone liczby E^f(x) = ot (stała, niezależna od x) i odwrotnie

E^f (x) = a (stała) =$ funkcja f jest funkcją potęgową

Wartość krańcowa i elastyczność

Ax := mała zmiana x; Af(x) := f(x + Ax) - f (x) Mf(x) := f'(x),    E^f(x):=^-x

Ponieważ Af(x) ss Mf(x) ■ Ax, to dla Ax ^ 0:

Mf(x)
Mf(x)	_ [bezwzględna] zmiana f(x)
	[bezwzględna] zmiana x
Analogicznie, gdy Ax ^ 0, x ^ 0, f(x)
E^f(x) s	, Af(x)/f(x) Ax/x

pf/1 względna zmiana f(x) '^xł ~ względna zmiana x

% = * ^ (mnożenie przez y^)

Gdy x zmieniło się o £, %, to y = f(x) zmieniło się o p %.

Xnowe = x + £, % x, ynowe = y + p % y = f(x) -f p % f(x)

Mf(_x) ps

^{1 M}'^xł    £,%x ’

f(x)

Ax = £,%x, Af(x) = p % f(x) _Ef(_xl ^ T]%f(x