Ek Matematyczna Materia�y 2 4

Rynek: podaż, popyt, równowaga cząstkowa	Równania różnicowe (in. rekurencyjne)
Rozważamy izolowany rynek ustalonego towaru, a więc w oderwaniu od reszty gospodarki (analiza cząstkowa, in. częściowa). Interesujemy się ceną i ilościami towaru. Inne czynniki są pomijalne (stosujemy ceteris paribus). Przy danej cenie towaru p zapotrzebowanie („popyt") konsumentów q^D na towar jest jednoznacznie określone przez jego cenę p. Funkcja popytu D: cena p n ilość D(p), którą konsumenci przy tej cenie kupią. Przy danej cenie sprzedaży p dostarczona przez producentów ilość (zaopatrzenie, in. „podaż”) q^s towaru jest jednoznacznie określona przez jego cenę p. Funkcja podaży S: cena p m ilość S(p), którą producenci przy tej cenie dostarczą. Rynek: para (f. popytu, f podaży), tzn. (D,S). Równowaga: stan, gdy ilość towaru dostarczona przez producentów przy założeniu, że ceną sprzedaży jest p*. jest równa ilości jaką przy tej cenie konsumenci nabędą. Cena równowagi: ww. cena p*, czyli taka cena, dla której popyt zrównuje się z podażą (czyli „rynek się oczyszcza”). Warunek równowagi: D(p*) = S(p*).	X — dowolny zbiór (np. X = R++); f — dowolna funkcja o dziedzinie X i o wartościach w X (f : X -> X); x — ciąg o wyrazach z X, czyli x = (x(t))“0; wskaźnik t wyrazu x(t) interpretujemy jako czas. Zależność x(t) = f (x(t — 1)), która wiąże wyrazy ciągu (x(t))“0 ze sobą, to równania różnicowe. Jeśli Vt = 1,2,... wyrazy ciągu x = (x(t))£L0 spełniają równość x(t) = f (x(t — 1)), to ciąg x nazywamy rozwiązaniem rozpatrywanego równania różnicowego. T\N.:Dla każdego x e X istnieje dokładnie jeden ciąg x = (x(t))~0 będący rozwiązaniem rozpatrywanego równania różnicowego i spełniający warunek początkowy x( 0) = x. Wyraz o wskaźniku t takiego rozwiązania możemy wyznaczyć t-krotnie wyliczając wartość funkcji f: dokładniej x(t) = f(f(... (f(x))...)), Vt = 1,2,. ... t razy Gdy x spełnia x = f (x), to ciąg stały taki, że x(t) = x, spełnia to równanie; x to punt równowagi r. różnicowego. Ogólniejsze równania różnicowe: x(t) = f (x(t - 1),v(t)), gdzie (v(t))“0 ustalony dany ciąg oraz g (x(t)) = f (x(t - 1)), gdzie g dana funkcja.
K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005 Dynamika 1	K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005 Dynamika 3
Dynamika ekonomiczna	Model pajęczynowy
Dynamika: w jawny sposób uwzględniamy czas; badamy zmienność („ruch”) wielkości ekonomicznych w czasie, czyli ich ścieżkę czasową. Model dynamiczny: uwzględnia „dynamikę"; bada ścieżkę czasową zmiennej na podstawie znanego schematu (opisu) jej zmian w czasie. Czas ciągły: t G K+ lub tp., np. t e przedziału (modele ciągłe, analiza zmian ciągłych, itp). Czas dyskretny („nieciągły”): t = 1,2,... (albo np. t = 0,1,..itp.) — kolejne „okresy", in. „chwile czasu” (modele dyskretne, analiza zmian okresowych). Modele dyskretne: najczęściej postać równania różnicowego (in. rekurencyjnego) wiążącego wartości zmiennej ekonomicznej w kolejnych okresach (albo, jak ktoś woli, w kolejnych chwilach czasu). Przykład: Niech liczba rzeczywita x(t) oznacza wartość w okresie t zmiennnej x. Zakładamy, że zmiany x(t) z okresu na okres, czyli dla t = 1,2,..., opisuje wzór („równanie różnicowe") x(t) = x(t - 1) + 2.8 • x(t - 1) • [1 - x(t - 1)]. Znając x(0) można wyznaczyć z tego wzoru x(ł) (bierzemy t = 1); znając x(1) można teraz wyznaczyć x(2) (bierzemy t = 2);...; znając x(t — 1) możemy oczywiście wyznaczyć x(t).	Model pajęczynowy (M. Ezekiel, 1938): dynamiczny model dyskretny wyjaśniający formowanie się cen na rynku (D, S) towaru, którego nie można magazynować (np. żywca wieprzowego). p(t) — cena panująca w okresie t; q^D(t) — ilość towaru (popyt) nabywana przez konsumentów w okresie t; q^s(t) — ilość towaru (podaż) dostarczona przez producentów na okres t; p^E(t) — cena jakiej w okresie t oczekują producenci; t = 1,2,... — czas (numeruje kolejne okresy). Model pajęczynowy Ezekiela postuluje, że dla każdego t = 1,2,... zachodzą następujące związki między q^D(t), q^s(t),p^E(t),p(t) orazp(t — 1): q^D(t) = D(p(t)) równanie popytu; q^s(t) = S (p^E(t)) równanie podaży; p^E(t) = p(t — 1) oczekiwania cenowe producentów; q^D(t) = q^s(t) warunek oczyszczania się rynku. Ww. oczekiwania cenowe są „naiwne”: warunek p^E(t) = p(t — 1) mówi, że producenci oczekują, iż cena panująca w okresie t będzie identyczna z ceną obowiązującą w okresie poprzednim (czyli w okresie t-1).
K. M. Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005 Dynamika 2	K. M Przyłuski dla Studentek i Studentów WSE-I X.2005 Dynamika 4