3226794629

2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe, w którym występuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennych.

Rząd równania

— najwyższy rząd występującej w danym równaniu pochodnej cząstkowej niewiadomej funkcji.

Zapis matematyczny

Równanie różniczkowe cząstkowe ///-tego rzędu możemy zapisać w jednej z poniższych postaci.

= o

(*)    /    du du d²u d²u d²u    d²u

O*¹’*².....^Xn-^u’J7_l.....JZ²..........dżdż’"'

(**) f(x, u(x), Xu(x),.... X^m-1u(x), X^mu(x)) = 0

A X'"u(x)==[x"uW=^_r-^:|a|=mj

gdzie:

u —funkcja niewiadoma minimum dwóch zmiennych niezależnych, u = u(x₁,x₂, ..., x„) = u(x), Xi, x₂, x_n —zmienne niezależne funkcji u, n E N^T, x_i -i-ta zmienna niezależna, x_£ E X c R”, i<n,

X -obszar (otwarty podzbiór) w którym funkcja i jej pochodne są ciągłe, X c R’¹, m - rząd równania różniczkowego: m >1, m E N,

R” —n-wymiarowa prz.estrz.eń, nEN⁺, gdzie n - wymiar tej przestrzeni, a -n-wymiarowy wielowskaźn ik,

z -funkcja będąca szukanym rozwiązaniem, z = z(x_l,x₂, ...,x_n) = z[x).

Przykłady równań różniczkowych cząstkowych różnych rządów:

Równanie I-go rzędu dwóch zmiennych niezależnych	du du ^xir + yir ^= 0 dx dy	Równanie lll-go rzędu dwóch zmiennych niezależnych	d^3u d^3u d^3u dx^3 1 dy^3 1 dx^2dy
Równanie ll-go rzędu dwóch zmiennych niezależnych	d^2u d^2u _ dx^2 dy^2	Równanie I-go rzędu trzech zmiennych niezależnych	du du du x — + y — - z^2y — = 0 dx dy dz

A.    D e f i n i c je i p oj ęę i ą p o d staw o vy.e

Całka szczególna (rozwiązanie szczególne) równania różniczkowego cząstkowego

Całką szczególną równania różniczkowego cząstkowego rzędu m w obszarze U, nazywamy funkcję która posiada ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu /// włącznie i spełniającą dane równanie w każdym punkcie obszaru U.

Całka ogólna (rozwiązanie ogólne) równania różniczkowego cząstkowego

Całką ogólną równania różniczkowego cząstkowego rzędu ///, nazywamy zbiór wszystkich całek szczególnych tego równania.

Zagadnienie Cauchy’ego [zagadnienie początkowe)

Zagadnienie Cauchy’ego dla równania u'(x) = /(x,y, u, u'_y) polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania z = u(x,y) w obszarze U, które spełnia warunek początkowy u(x₀,y) = <p(y).

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

- 207 -

w w w. malenia tyka.s osnowiec.pl